體會新教材變化意圖,落實“大概念”教學(xué)理念

朱建平

依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》編寫的人教A版高中數(shù)學(xué)教材（以下簡稱“新教材”），為了落實培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的新課標(biāo)理念，注重“大概念”視野下的“大單元”“大主題”設(shè)計。重點分析比較新舊教材中三角函數(shù)定義變更以及正弦定理形成方式調(diào)整的意圖，在新教材三角函數(shù)定義和正弦定理的教學(xué)基礎(chǔ)上領(lǐng)會“大概念”教學(xué)理念的樣態(tài)，體會“大概念”教學(xué)的價值。

一、關(guān)于三角函數(shù)定義的教學(xué)

1.新舊教材中三角函數(shù)定義的比較

以往，幾乎所有教材都是從銳角三角函數(shù)的定義出發(fā)，先將直角三角形放置到平面直角坐標(biāo)系xoy中，從而得到基于坐標(biāo)化思想的正弦、余弦及正切定義，再將銳角推廣到任意角α，從而得到三角函數(shù)的定義：若α的終邊經(jīng)過點P（x，y），記r=OP=，則sinα=，cosα=，tanα=（x≠0）。得到這一定義后，依據(jù)相似三角形的邊對應(yīng)成比例，得出α的正弦、余弦、正切值只與α的終邊有關(guān)，而與點P的位置無關(guān)。也就是說，只要α確定，它的正弦、余弦、正切值就確定了。于是，它們都是關(guān)于α的函數(shù)，可以分別稱為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。然后，從一般到特殊，在單位圓中引進(jìn)三角函數(shù)線，為后續(xù)學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、兩角和與差的三角函數(shù)等內(nèi)容提供便捷的幾何工具。

這樣的定義編寫注重數(shù)學(xué)本身的邏輯性，但是相應(yīng)的定義編寫抽象性比較強，與學(xué)生的認(rèn)知水平不匹配。教學(xué)中，教師倘若照本宣科，學(xué)生就會只知其然，而不知其所以然。

2.新教材中三角函數(shù)定義“大概念”理念下的教學(xué)設(shè)計

新教材將“三角函數(shù)”單元從與“平面向量”單元、“解三角形”單元鄰近（在前）變?yōu)榕c“函數(shù)的概念與性質(zhì)”單元、“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”單元鄰近（在后），凸顯“函數(shù)”“建?！钡取按蟾拍睢钡拇?lián)整合作用。

新教材中從建立刻畫周期性變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型（單位圓O上的點P以點A為起點做逆時針方向旋轉(zhuǎn)，建立一個數(shù)學(xué)模型，刻畫點P的位置變化情況）出發(fā)，在前一節(jié)用任意角的概念刻畫點P的位置變化情況的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步建立平面直角坐標(biāo)系xoy，通過角α的終邊與單位圓交點P坐標(biāo)的求解，得出三角函數(shù)的定義：設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于P（x，y），則y叫作α的正弦函數(shù)，即y=sinα;x叫作α的余弦函數(shù)，即x=cosα;y與x的比值叫作α的正切函數(shù)，即=tanα（x≠0）。

這樣的定義編寫關(guān)注數(shù)學(xué)產(chǎn)生的現(xiàn)實性，顯得更為直觀和簡潔，便于學(xué)生理解和記憶。在運動思想（旋轉(zhuǎn)變換）、函數(shù)思想（定義及性質(zhì)）及數(shù)學(xué)建模（用數(shù)學(xué)模型刻畫圓周運動這一周期現(xiàn)象）三個“大概念”的統(tǒng)領(lǐng)下，基于任意角的概念，利用單位圓上點的坐標(biāo)，得出關(guān)于單個自變量的函數(shù)模型，體現(xiàn)三角函數(shù)定義的科學(xué)性、合理性和發(fā)展性，同時自然地省略了三角函數(shù)線的內(nèi)容。

二、關(guān)于正弦定理的教學(xué)

1.新舊教材中正弦定理形成的比較

以往，正弦定理和余弦定理的教學(xué)是在“解三角形”中先獲得正弦定理，再推導(dǎo)出余弦定理。而證明用的方法是向量法，雖然教材也在引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探究，但由于“平面向量”和“解三角形”分布在不同的章節(jié)中，向量法的引入就顯得突兀，有強植的嫌疑。同時，沒有余弦定理向量法證明的鋪墊，“引入向量（是與△ABC某一邊垂直的單位向量）”“在向量等式+=兩邊同乘以向量”這兩個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，課堂上就只能是教師自說自話了，根本無法體現(xiàn)知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程。

新教材將正弦定理和余弦定理的內(nèi)容放在平面向量的應(yīng)用中，向量有著幾何與代數(shù)的雙重特征，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，而正弦定理和余弦定理就是將三角形從初中的定性分析轉(zhuǎn)化到高中階段的定量計算的有力工具，凸顯向量與解三角形之間的關(guān)聯(lián)。新教材將傳統(tǒng)先學(xué)習(xí)正弦定理再學(xué)習(xí)余弦定理的順序顛倒過來，一方面，余弦定理是解決已知兩邊及其夾角和已知三邊這兩類確定性問題的，而正弦定理中已知兩邊及一邊的對角，其解的情況就不唯一確定了。

2.新教材中正弦定理的教學(xué)設(shè)計

新教材把正弦定理和余弦定理放在平面向量的應(yīng)用中，并借助向量的運算探索兩個定理的證明，突出向量在解三角形中的應(yīng)用。教材將余弦定理的內(nèi)容放在正弦定理之前，正弦定理的學(xué)習(xí)就可以類比余弦定理的探究思路和方法，更好地突破重難點，讓學(xué)生的認(rèn)知過程更加自然順暢。

“大概念”是指抽象概括出的具有廣泛聯(lián)系整合作用并能夠廣泛遷移應(yīng)用的概念。數(shù)學(xué)“大概念”包括高層次的數(shù)學(xué)觀點、觀念，具有核心地位的數(shù)學(xué)知識（概念和命題）、思想方法，具有本原性和派生性的數(shù)學(xué)問題和潛藏于數(shù)學(xué)中的科學(xué)及人文精神與價值等。新課標(biāo)提出的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析六個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)就是數(shù)學(xué)“大概念”。

通過不同方面、不同層次的“大概念”組織（重構(gòu)）教學(xué)內(nèi)容，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)（理解）真正有“深度”。