虞秀云 何詩雨

摘? 要：“N段·四環(huán)”項目化教學(xué)范式以超循環(huán)理論和新生態(tài)教育理論為指導(dǎo)，基于項目化教學(xué)設(shè)計理論，選取“奇偶性”為案例，以“N段”劃分層次，以“四環(huán)”圍繞內(nèi)容展開教學(xué)，從而促進“深度之學(xué)”“深度之習(xí)”“深度之思”的融合，達到深度學(xué)習(xí)的目的.

關(guān)鍵詞：超循環(huán)理論;項目化教學(xué);深度學(xué)習(xí);函數(shù)奇偶性

一、超循環(huán)理論下的項目化教學(xué)的內(nèi)涵

超循環(huán)理論最早是由德國生物物理學(xué)家曼弗雷德·艾根針對生態(tài)系統(tǒng)所提出的理論，而課堂教學(xué)就是一個生態(tài)系統(tǒng)，同樣遵循著超循環(huán)理論. 據(jù)此，文獻[1]提出了“N段·四環(huán)”項目化教學(xué)范式，這種教學(xué)范式遵循著生態(tài)發(fā)展規(guī)律，將教學(xué)看作是以育人為目的的超循環(huán)生態(tài)系統(tǒng)工程.“N段·四環(huán)”項目化教學(xué)范式以“N段”把控教學(xué)節(jié)奏，以“四環(huán)”引領(lǐng)教學(xué)開展.“N段”是劃分課堂教學(xué)的不同階段以實現(xiàn)不同層次的教學(xué)目標的需要，也是為了保證課堂的完整性.“四環(huán)”是“學(xué)、思、行、省”的生態(tài)循環(huán).“學(xué)”是通過聽講、閱讀、觀察獲取知識的過程;“思”是構(gòu)建、發(fā)現(xiàn)或解決問題的過程;“行”是通過參與課堂活動提升綜合能力;“省”是對“學(xué)，思，行”的反思.

二、項目化教學(xué)對深度學(xué)習(xí)的促進作用

基于超循環(huán)理論的項目化教學(xué)范式推動學(xué)生進行深度學(xué)習(xí)，如圖1所示.“N段·四環(huán)”項目化教學(xué)范式使知識間的聯(lián)系清晰明了，利于建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，著力于遷移應(yīng)用，注重反思性思維，均與深度學(xué)習(xí)的理念不謀而合. 隨著循環(huán)的深入，學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷了“了解、理解、應(yīng)用、分析、綜合、評價”的層層遞進，逐步從淺層學(xué)習(xí)向深度學(xué)習(xí)發(fā)展.

三、基于項目化教學(xué)的教學(xué)設(shè)計

1. 項目主題的確立

基于項目化的教學(xué)設(shè)計理念，本案例選取人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)1（必修）》中“奇偶性”一節(jié)為例. 本節(jié)內(nèi)容包含偶函數(shù)和奇函數(shù)，以及反思總結(jié)，可以劃分為三部分進行研究. 本節(jié)課以“研究函數(shù)的奇偶性”為主題，先觀察函數(shù)的圖象，從圖象中尋找奇函數(shù)和偶函數(shù)的特征，再轉(zhuǎn)化到數(shù)值中進行研究，在研究函數(shù)中滲透從“形”到“數(shù)”的方法. 通過結(jié)合函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)，從自然語言轉(zhuǎn)化為符號語言描述奇函數(shù)和偶函數(shù)，為奇函數(shù)和偶函數(shù)下定義. 奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它既是對函數(shù)概念的完善，也為繼續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)，起著承上啟下的重要作用.

2. 項目教學(xué)目標的確定

（1）結(jié)合具體函數(shù)及其圖象，了解函數(shù)奇偶性的概念及幾何意義，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和幾何直觀素養(yǎng).

（2）通過自主研究，運用類比思想，掌握研究函數(shù)性質(zhì)的方法，掌握函數(shù)奇偶性的判斷與證明的方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

（3）在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上研究函數(shù)的奇偶性，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合、類比的基本思想，以及研究函數(shù)性質(zhì)的基本活動經(jīng)驗.

3. 項目規(guī)劃

本節(jié)課的項目由三個階段組成：偶函數(shù)的學(xué)習(xí)研究;奇函數(shù)的自主研究;反思總結(jié)，構(gòu)成“學(xué)、思、行、省”的總循環(huán). 偶函數(shù)的學(xué)習(xí)研究是整個“學(xué)”的過程，重在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會研究函數(shù)奇偶性的方法，以“學(xué)”加深“深度的學(xué)”（聯(lián)系與建構(gòu)）. 奇函數(shù)的自主研究是整個“思、行”的過程，重在讓學(xué)生自主研究奇函數(shù)的性質(zhì)，以“思、行”推動“深度的習(xí)”（遷移與應(yīng)用）. 反思總結(jié)則是整個“省”的過程，綜觀全課反思所學(xué)，以“省”增長“深度的思”（整理與反思）. 除此之外，每個環(huán)節(jié)都融入“學(xué)、思、行、省”的循環(huán)建構(gòu)自然生長的生態(tài)課堂，以循環(huán)促進深度學(xué)習(xí)，項目規(guī)劃圖如圖2所示.

4. 項目實施

（1）偶函數(shù)的學(xué)習(xí)研究——“學(xué)”.

① 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課.

展示課件中的圖片，如圖3所示.

問題1：仔細觀察并思考兩張圖在結(jié)構(gòu)上有什么共同特征，它們分別又是什么圖形.

預(yù)設(shè)回答：都對稱，分別為軸對稱圖形和中心對稱圖形.

師：函數(shù)中是否也存在軸對稱圖形和中心對稱圖形？

【設(shè)計意圖】從生活引入數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 喚起學(xué)生的已有經(jīng)驗，連接新舊知識，建立知識間的橋梁.

② 運用方法，研究性質(zhì).

問題2：在上節(jié)課中，我們研究了函數(shù)的圖象在定義域中的某個區(qū)間上“上升”（或“下降”）的性質(zhì)，即單調(diào)性. 回憶一下，我們是如何研究函數(shù)的單調(diào)性的？

預(yù)設(shè)回答：畫函數(shù)圖象，觀察圖象，得到特征，得出結(jié)論.

師：我們先畫出函數(shù)圖象并觀察.

課件中分別呈現(xiàn)兩個函數(shù)的圖象，如圖4和圖5所示.

問題3：根據(jù)圖象，回顧如何描述這兩個函數(shù)的單調(diào)性.

問題4：回到本課的研究，仔細觀察這兩個函數(shù)圖象，思考有什么共同特征.

【設(shè)計意圖】研究函數(shù)奇偶性的第一步：繪制圖形、觀察圖象. 觀察圖象得到函數(shù)的直觀特征是“四環(huán)”中的“學(xué)”. 回顧函數(shù)單調(diào)性，將學(xué)生研究函數(shù)單調(diào)性的已有經(jīng)驗，以及軸對稱圖形和中心對稱圖形已有知識與即將學(xué)習(xí)的函數(shù)奇偶性聯(lián)系在一起，初步構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，同時在研究中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

師：我們根據(jù)函數(shù)圖象得出兩個函數(shù)的共同特征：函數(shù)圖象關(guān)于[y]軸對稱. 類比函數(shù)單調(diào)性，接下來我們需要用符號語言精確地描述“函數(shù)圖象關(guān)于[y]軸對稱”這一特征.

問題5：既然是將自然語言轉(zhuǎn)化為符號語言，就需要由“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”進行研究. 那么，該如何轉(zhuǎn)化為符號語言進行研究呢？

預(yù)設(shè)回答：根據(jù)自變量尋找數(shù)值.

師：尋找你認為合適的數(shù)值，在圖6的學(xué)習(xí)單表格中填寫，并找出規(guī)律.

【設(shè)計意圖】研究函數(shù)奇偶性的第二步：尋找特值、匯總規(guī)律、尋找特殊值. 思考規(guī)律并相互討論得出結(jié)果是“四環(huán)”中的“思、行”. 以問題串的方式引導(dǎo)學(xué)生完成研究函數(shù)奇偶性的第二步，并滲透由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的數(shù)形結(jié)合思想.

問題6：從表格中，你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

問題7：從“形”到“數(shù)”，這兩個函數(shù)有什么共同特征？

預(yù)設(shè)回答：“形”——兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于[y]軸對稱，“數(shù)”——每對互為相反數(shù)的自變量所對應(yīng)的函數(shù)值都相等.

問題8：我們將具有以上特征的函數(shù)稱為偶函數(shù). 轉(zhuǎn)化為符號語言該如何表示？注意函數(shù)的定義域.

將學(xué)生的定義細化：一般地，設(shè)函數(shù)[fx]的定義域為[I]，如果[?x∈I]，都有[-x∈I]，且[f-x=fx]，那么函數(shù)[fx]就叫做偶函數(shù).

【設(shè)計意圖】研究函數(shù)奇偶性的第三步：觀察反思得出結(jié)論. 深度反思所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律得出結(jié)論是“四環(huán)”中的“省”. 教師引導(dǎo)學(xué)生進行深度反思，從特殊規(guī)律得到一般規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

學(xué)生回答自己的求解思路：找特值，繪制圖象;利用偶函數(shù)的定義證明. 比較兩種方法的優(yōu)缺點，如繪制圖象的直觀與符號語言的簡潔等.

例2? 判斷下列兩個函數(shù)的奇偶性.

教師根據(jù)學(xué)生的回答再次強調(diào)函數(shù)為偶函數(shù)的必要條件：定義域關(guān)于原點對稱，且[f-x=fx].

【設(shè)計意圖】通過習(xí)題及時鞏固偶函數(shù)的性質(zhì)，強調(diào)偶函數(shù)的必要條件，加固知識體系，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng). 解答習(xí)題的過程從發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題到解決問題是“學(xué)、思、行、省”的小循環(huán)，促進知識生長.

（2）奇函數(shù)的學(xué)習(xí)研究——“思、行”.

① 自主研究，得出結(jié)論.

列出函數(shù)[fx=x]和[gx=1x].

問題9：你能根據(jù)研究函數(shù)性質(zhì)的步驟自主研究以上函數(shù)嗎？找出共同特征，并嘗試給以上函數(shù)的特征下定義. 在學(xué)習(xí)單上動手試一試.

學(xué)習(xí)單與圖6相似. 給予學(xué)生充足的時間，自主研究奇函數(shù)的性質(zhì)，遇到困難時可以相互討論，研究完成后由學(xué)生根據(jù)自己的研究思路，展示研究成果. 教師在其中負責(zé)引導(dǎo)和及時糾正錯誤.

根據(jù)學(xué)生的研究結(jié)果得出：一般地，設(shè)函數(shù)[fx]的定義域為[I]，如果[?x∈I]，都有[-x∈I]，且[f-x=][-fx]，那么函數(shù)[fx]就叫做奇函數(shù).

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生親身經(jīng)歷研究奇函數(shù)性質(zhì)的過程，根據(jù)由“學(xué)”獲得的知識，經(jīng)歷“思、行”得出結(jié)論. 通過提問思考，學(xué)生親身經(jīng)歷實踐操作、小組討論、成果展示等一系列活動，旨在使學(xué)生學(xué)會研究函數(shù)性質(zhì)的方法，滲透研究時運用的類比思想.

例3? 完成思考題.

（1）判斷函數(shù)[fx=x3+x]的奇偶性;

（2）圖7中的圖象是函數(shù)[fx=x3+x]的圖象的一部分，你能根據(jù)[fx]的奇偶性畫出它在[y]軸左側(cè)的函數(shù)圖象嗎？

（3）一般地，如果知道[fx]為偶（奇）函數(shù)，那么我們可以怎樣簡化對它的研究？

第（2）小題中，利用幾何畫板軟件更改函數(shù)定義域，從而控制函數(shù)圖象的變化，得到如圖8所示的函數(shù)圖象，加深學(xué)生對奇偶函數(shù)必要條件的理解.

第（3）小題中，由教師引導(dǎo)加上學(xué)生自主推論得出：當(dāng)[fx]為偶函數(shù)時，[f-x+fx=2fx]. 當(dāng)[fx]為奇函數(shù)時，[f-x+fx=0].

【設(shè)計意圖】利用現(xiàn)代教育技術(shù)，直觀呈現(xiàn)隨著函數(shù)定義域的變化函數(shù)圖象也隨之改變，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想. 通過第（3）小題中提出的簡化對函數(shù)的研究，重點培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

② 遷移應(yīng)用，鞏固知識.

例4? 判斷下列函數(shù)的奇偶性.

【設(shè)計意圖】鞏固訓(xùn)練，解題中再次點明判斷函數(shù)奇偶性的方法與條件，加深學(xué)生對知識的理解. 題目中存在非奇非偶函數(shù)及既奇又偶函數(shù)，不再是簡單的奇偶性判斷，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維. 在應(yīng)用知識的過程中中依舊貫穿著“學(xué)、思、行、省”的循環(huán).

（3）反思總結(jié)——“省”.

綜觀全課，歸納總結(jié).

問題10：如何研究函數(shù)的奇偶性？在研究中運用了哪些數(shù)學(xué)思想？得到了什么結(jié)論？

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)全課學(xué)習(xí)內(nèi)容，如圖9所示.

【設(shè)計意圖】教師通過提問調(diào)動學(xué)生的思維，以“如何得到”“是什么”“為什么”的問題引導(dǎo)學(xué)生反思所學(xué)，整合全課的知識點及數(shù)學(xué)思想. 繪制知識流程圖，使知識環(huán)環(huán)相扣，形成完備的知識體系，促進知識的遷移與應(yīng)用.

四、項目反思

1. 以“學(xué)”促“深度之學(xué)”

偶函數(shù)的學(xué)習(xí)研究作為循環(huán)的起始“學(xué)”，起著奠基的作用. 調(diào)動舊的知識參與函數(shù)性質(zhì)的研究學(xué)習(xí)，又將剛掌握的學(xué)習(xí)內(nèi)容與已有的經(jīng)驗建立起結(jié)構(gòu)性的關(guān)聯(lián). 學(xué)習(xí)研究函數(shù)性質(zhì)時，將零散、孤立的知識點 整合，形成有邏輯、有體系的知識鏈，從而建構(gòu)出自己的知識體系. 教師傳遞知識，學(xué)生自主建構(gòu)，以“學(xué)”加深“深度之學(xué)”，師生相互依存、共同發(fā)展.

2. 以“思、行”促“深度之習(xí)”

奇函數(shù)的自主研究作為循環(huán)的中堅部分“思、行”，推動課堂正向生長. 以學(xué)生為主體研究奇函數(shù)的性質(zhì)，從“聯(lián)系建構(gòu)”到“親身經(jīng)歷”，學(xué)生切身地投入到實踐中，真切地體會函數(shù)奇偶性的本質(zhì)，從深層次獲得知識，領(lǐng)悟到深度學(xué)習(xí)的核心. 學(xué)生運用所獲得的方法研究奇函數(shù)的性質(zhì)，是將間接經(jīng)驗直接化的過程，運用所學(xué)知識解決問題是對知識的遷移與應(yīng)用，也是學(xué)生學(xué)習(xí)成果的體現(xiàn).“思、行”是“學(xué)”與“習(xí)”的平衡，“活”與“動”融合，促進著課堂的生態(tài)平衡，推動著“深度之習(xí)”，使知識的嫩芽破土而出.

3. 以“省”促“深度之思”

反思總結(jié)作為循環(huán)的總結(jié)“省”，使循環(huán)暢通無阻，也是下個循環(huán)的開始.“省”不只存在于反思總結(jié)中，也分布于每個環(huán)節(jié)中，起著不可或缺的作用. 深度學(xué)習(xí)追求實現(xiàn)知識的內(nèi)在發(fā)展價值，因而深度學(xué)習(xí)極其強調(diào)反思性學(xué)習(xí). 通過反省達到深度學(xué)習(xí)的目的，同時推動循環(huán)，實現(xiàn)課堂的動態(tài)化發(fā)展，為接下來的學(xué)習(xí)做準備. 反思促成深度學(xué)習(xí)的完備，使“深度之學(xué)”“深度之習(xí)”“深度之思”整合為“深度學(xué)習(xí)”，知識之樹茁壯成長.

函數(shù)奇偶性作為“函數(shù)樹”的“根基”，為接下來的學(xué)習(xí)打下了堅實的基礎(chǔ). 研究函數(shù)的奇偶性，就是為繼續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等做鋪墊. 以“N段·四環(huán)”項目化教學(xué)模式促進深度學(xué)習(xí)，所影響的不只是一堂課，更會延展到未來的學(xué)習(xí).

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