基于建模思想的解析幾何教學(xué)設(shè)計(jì)

張穎 楊廷堯

摘要：結(jié)合數(shù)學(xué)建模思想，借助線上教學(xué)平臺(tái)，以二次曲線的方程化簡(jiǎn)為例，從問題背景、建模實(shí)例選擇及信息化技術(shù)選擇等方面創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)，并實(shí)踐于課堂教學(xué)。通過數(shù)學(xué)建模，提高學(xué)生運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，提高解析幾何課堂的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：建模思想、二次曲線、坐標(biāo)變換

解析幾何的主要思想是通過代數(shù)的方法來研究幾何圖形性質(zhì)，通過建立坐標(biāo)系把空間的幾何結(jié)構(gòu)系統(tǒng)地代數(shù)化，確定曲線或曲面的方程或解析式，進(jìn)行平面解析幾何和立體解析幾何研究。數(shù)學(xué)建模思想是利用數(shù)學(xué)理論結(jié)合實(shí)際問題，建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，根據(jù)結(jié)果解決實(shí)際問題。接下來以二次曲線的方程化簡(jiǎn)為例，借助現(xiàn)代化信息技術(shù)，結(jié)合線上線下教學(xué)平臺(tái)，創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)。

一、教學(xué)背景

在互聯(lián)網(wǎng)普及的大環(huán)境下成長(zhǎng)的學(xué)生，相對(duì)于傳統(tǒng)教學(xué)課堂，借助信息技術(shù)平臺(tái)教學(xué)，可以更有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。大部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，且缺乏空間幾何想象能力，利用解析幾何理論知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，可以讓學(xué)生直觀地理解理論知識(shí)的實(shí)質(zhì)與應(yīng)用?；趯?duì)解析幾何課程的研究，選擇恰當(dāng)?shù)慕?shí)例，創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)。

二、教學(xué)分析

2.1 教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課以二次曲線的方程化簡(jiǎn)為切入點(diǎn)，講解二次曲線的方程化簡(jiǎn)及應(yīng)用。授課時(shí)長(zhǎng)2學(xué)時(shí)。

2.2 學(xué)情分析

學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)分析：通過前期的知識(shí)學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握向量與坐標(biāo)、二次曲線的方程、基本符號(hào)、幾何性質(zhì)。學(xué)生能力基礎(chǔ)分析：學(xué)生動(dòng)手操作能力強(qiáng)，應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題不足，遷移能力不足，對(duì)問題本質(zhì)分析不到位，對(duì)理論知識(shí)理解不夠透徹且遺忘快。學(xué)生素質(zhì)基礎(chǔ)分析：學(xué)生具有探究精神，缺乏主動(dòng)學(xué)習(xí)意識(shí)，數(shù)學(xué)建模思想薄弱。

2.3 教學(xué)目標(biāo)

第一，知識(shí)目標(biāo)。掌握平面直角坐標(biāo)變換概念;掌握二次曲線方程的化簡(jiǎn)和作圖方法;第二，能力目標(biāo)。理解移軸變換和轉(zhuǎn)軸變換對(duì)曲線坐標(biāo)位置的影響，提高學(xué)生應(yīng)用幾何知識(shí)解決問題的能力。第三，素質(zhì)目標(biāo)。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維，增強(qiáng)學(xué)生的專業(yè)探究精神。

2.4 教學(xué)重難點(diǎn)及教學(xué)策略

本次課程重點(diǎn)是二次曲線方程的化簡(jiǎn)與步驟，難點(diǎn)是結(jié)合坐標(biāo)變換，利用化簡(jiǎn)后的二次曲線方程進(jìn)行作圖，并利用所學(xué)知識(shí)建模解決實(shí)際問題。針對(duì)學(xué)生的學(xué)情特點(diǎn)及教學(xué)內(nèi)容，本課程遵循簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生建模思維的原則完成教學(xué)設(shè)計(jì)。由課程相關(guān)的實(shí)際案例導(dǎo)入，充分利用多媒體與數(shù)學(xué)軟件，激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

本課程教學(xué)過程分為建模實(shí)例導(dǎo)入、新課講授、實(shí)例講解、建模求解、課堂小結(jié)五部分。針對(duì)本課程二次曲線方程化簡(jiǎn)采用的直角變換公式，結(jié)合2020年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽D題進(jìn)行應(yīng)用教學(xué)。

3.1建模實(shí)例導(dǎo)入

引入接觸式輪廓儀的自動(dòng)標(biāo)注問題，輪廓儀是一種兩坐標(biāo)測(cè)量?jī)x器，其通過對(duì)工件表面進(jìn)行幾何輪廓測(cè)量，采樣得到一組數(shù)據(jù)。同一工件放置的位置和角度不同時(shí)，測(cè)量得到的輪廓線參數(shù)的數(shù)據(jù)值也會(huì)存在差異。給定一組水平測(cè)量數(shù)據(jù)，一組傾斜測(cè)量數(shù)據(jù)。提問：如何計(jì)算該工件測(cè)量時(shí)的傾斜角度，并對(duì)傾斜數(shù)據(jù)作水平校正。利用建模相關(guān)案例引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，參與到課堂的思考與討論中，從而引入本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容。

3.2新課講授

在平面上，通過移軸建立新舊坐標(biāo)系，分析同一個(gè)點(diǎn)在新舊坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示，引導(dǎo)學(xué)生得出新舊坐標(biāo)的移軸坐標(biāo)變換公式;同理通過轉(zhuǎn)軸建立新舊坐標(biāo)系，導(dǎo)出轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)變換公式;最后結(jié)合移軸與轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)變換，推導(dǎo)出由舊坐標(biāo)系變成新坐標(biāo)系的一般坐標(biāo)變換公式及其逆變換公式。利用移軸與轉(zhuǎn)軸的幾何意義，結(jié)合二次曲線的性質(zhì)，得出二次曲線方程化簡(jiǎn)規(guī)律：中心曲線方程化簡(jiǎn)先移軸再轉(zhuǎn)軸;非中心曲線方程化簡(jiǎn)先轉(zhuǎn)軸再移軸。

3.3實(shí)例講解

給出中心曲線方程與非中心曲線方程化簡(jiǎn)實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行化簡(jiǎn)，并根據(jù)化簡(jiǎn)后的方程在新坐標(biāo)系中作出二次曲線的圖形。利用多媒體課件展示，并對(duì)所作圖形進(jìn)行新舊坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，由學(xué)生自由討論，總結(jié)出變換前后圖形形狀不變，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生變化，且符合一般變換公式規(guī)律。

3.4建模求解

結(jié)合本課程的一般坐標(biāo)變換公式與圖形變換坐標(biāo)規(guī)律，針對(duì)課堂導(dǎo)入中提出的建模實(shí)例，要求學(xué)生分組進(jìn)行討論，利用本課程內(nèi)容進(jìn)行建模求解。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)案例進(jìn)行分析，由于案例測(cè)量數(shù)據(jù)量較大，教師通過利用MATLAB軟件進(jìn)行建模求解，首先對(duì)水平與傾斜兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行作圖，利用直線的斜率計(jì)算出傾斜數(shù)據(jù)的傾斜角度，得到一般坐標(biāo)變換公式作旋轉(zhuǎn)變換，輸入傾斜測(cè)量數(shù)據(jù)作水平校正。

3.5課堂小結(jié)

對(duì)本課程的移軸、轉(zhuǎn)軸及一般坐標(biāo)變換公式作小結(jié)，根據(jù)坐標(biāo)變換公式可以對(duì)二次曲線方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，也可以對(duì)實(shí)際案例中的傾斜問題作水平校正，引導(dǎo)學(xué)生課后尋找一些與水平校正相關(guān)的問題，利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行建立求解模型。

四、教學(xué)反思

課堂通過往年數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽真題中的實(shí)際問題展開教學(xué)，學(xué)生帶著問題進(jìn)入課堂學(xué)習(xí)，利用所學(xué)的知識(shí)建立模型，對(duì)所提出的實(shí)際問題利用MATLAB軟件進(jìn)行求解，讓學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)變換公式規(guī)律實(shí)際的意義與應(yīng)用，切身感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，以及利用數(shù)學(xué)軟件解決實(shí)際問題的便利與高效。

實(shí)踐證明，將數(shù)學(xué)建模思想與解析幾何教學(xué)相融合，可以使學(xué)生更加具體地領(lǐng)悟解析幾何在實(shí)際問題中的應(yīng)用，也能進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，提高數(shù)學(xué)建模能力，相互促進(jìn)，相輔相成。本課堂教學(xué)設(shè)計(jì)目的是通過導(dǎo)入競(jìng)賽案例，在完成課堂知識(shí)學(xué)習(xí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思維，進(jìn)而更好地將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合。

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