譚宏杰

摘? 要：2020年全國各地區(qū)中考“事件的概率”相關(guān)試題穩(wěn)中求新、“活”而不難，從題量、題型、思想、素養(yǎng)、深度與難度出發(fā)展開命題分析，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)價值、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的角度提出概率模塊知識點(diǎn)的應(yīng)對復(fù)習(xí)、知識體系的完整復(fù)習(xí)，以及與其他知識同步開展的融合復(fù)習(xí)等復(fù)習(xí)建議.

關(guān)鍵詞：事件的概率;命題分析;復(fù)習(xí)建議

“概率”是初中數(shù)學(xué)四個課程內(nèi)容之一的“統(tǒng)計(jì)與概率”知識的組成模塊，主要內(nèi)容包括了解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件及其概率的有關(guān)概念，理解用列舉法（枚舉法、列表法和畫樹狀圖法）求簡單隨機(jī)試驗(yàn)中事件的概率，利用頻率估計(jì)概率.“概率”也是歷年中考的常考內(nèi)容之一. 筆者對2020年全國各地區(qū)98份中考試卷進(jìn)行整理、剖析、歸納，對其中“事件的概率”試題的命題分析如下.

一、考查內(nèi)容分析

2020年中考數(shù)學(xué)“事件的概率”命題以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）為依據(jù)，其對“事件的概率”教學(xué)與考查的要求是：（1）能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率;（2）知道通過大量地重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率來估計(jì)概率. 整理的98份中考試卷都是嚴(yán)格按照《標(biāo)準(zhǔn)》要求進(jìn)行命題的.

1. 考查的題量與題型

2020年全國大部分地區(qū)的中考試卷對概率的考查題量一般是1道題（76份試卷）或2道題（16份試卷），但也存在如廣東卷、江蘇南京卷、山東聊城卷、山東淄博卷、四川宜賓卷、浙江嘉興卷中將統(tǒng)計(jì)與概率作為一個整體考查，命制了統(tǒng)計(jì)部分的試題，沒有單獨(dú)考查概率的情況.

整理的98份中考試卷中共有108道概率相關(guān)的試題，其在各份試卷中分布較廣，在選擇題、填空題與解答題中均有涉及. 其中，解答題占比最大，接近半數(shù);純概率知識的試題和概率與其他知識復(fù)合的試題各占一半，客觀題中仍是純概率知識題占據(jù)主流，而解答題除了河北卷第25題外，都是由概率與統(tǒng)計(jì)知識復(fù)合而成.

2. 考查的知識與思想

在知識層面，以判斷命題的形式考查學(xué)生對隨機(jī)事件的認(rèn)識，對必然事件、不可能事件及其概率的理解;以主觀題考查利用試驗(yàn)的頻率估計(jì)事件發(fā)生的概率;以選擇題、填空題或解答題的形式考查列表或畫樹狀圖求隨機(jī)事件的概率.

在思想層面，以“摸球”過程中“放回”與“不放回”為基本數(shù)學(xué)模型，考查學(xué)生的建模思想和分類討論思想;以概率的古典定義公式[PA=mn]（其中，[PA]為簡單隨機(jī)事件[A]的概率，n為列出所有可能的結(jié)果，m為指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果）考查學(xué)生的化歸思想.

3. 考查的深度與難度

《標(biāo)準(zhǔn)》雖然沒有明確說明“事件的概率”教學(xué)要求是“了解”“理解”還是“應(yīng)用”，但從表述中可知概率的概念是“了解”層面，頻率估計(jì)概率是“理解”層面，求簡單隨機(jī)事件的概率是“應(yīng)用”層面. 從考查的概率知識來看，試題對概率知識命題判斷、一次試驗(yàn)概率、二次試驗(yàn)概率、頻率估計(jì)概率分別以不同的數(shù)學(xué)或生活情境進(jìn)行考查，考查的深度適中，沒有涉及偏、難、怪題，但難度有所差異，差異的根源在于試題中復(fù)合的其他知識的考查難度不同.

二、命題思路分析

從“事件的概率”考查的內(nèi)容分析，我們可以初步揣度命題者的命題思路：（1）命題者開始衡量統(tǒng)計(jì)知識和概率知識哪個現(xiàn)實(shí)價值更大，是否必須考查概率知識;（2）從概率知識的內(nèi)涵及應(yīng)用角度看，概率依舊是初中數(shù)學(xué)知識體系中的重要內(nèi)容，是承接初中學(xué)業(yè)水平檢測及高中選拔考試良好的知識載體，同時也是拓展、復(fù)合其他知識的良好命題載體;（3）概率知識能很好地反映學(xué)生的數(shù)感、符號意識、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識;（4）概率知識的考查可以基于社會熱點(diǎn)、時事問題等現(xiàn)實(shí)生活情境，能有效引導(dǎo)教師在日常教學(xué)中踐行“立德樹人”的教育根本任務(wù).

1. 立足基礎(chǔ)常規(guī)，重視“四基”經(jīng)驗(yàn)

《標(biāo)準(zhǔn)》對概率內(nèi)容的要求處于初級水平，教學(xué)重點(diǎn)在于概率意義的理解和隨機(jī)觀念的培養(yǎng). 命題過程中會把握重點(diǎn)和控制難度，不會在概率的深層次理解和應(yīng)用上做文章，也不會在繁難的計(jì)算上做要求，試題中的試驗(yàn)結(jié)果有限且數(shù)量不多，能通過列舉法（枚舉法、列表法或畫樹狀圖法）或用頻率估計(jì)概率能求出事件的概率. 根據(jù)試題中給出的條件，學(xué)生能快速從試題中抽取信息，對號入座相關(guān)的初中數(shù)學(xué)概率模型，如放回型或不放回型，進(jìn)而通過熟悉的解決事件的概率方法解答試題. 例如，黑龍江齊齊哈爾卷第4題考查了一次試驗(yàn)、直接應(yīng)用概率的古典定義公式[PA=mn.]

例1 （黑龍江·齊齊哈爾卷）一個質(zhì)地均勻的小正方體，六個面分別標(biāo)有數(shù)字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，擲小正方體后，觀察朝上一面的數(shù)字出現(xiàn)偶數(shù)的概率是（? ? ）.

（A）[12]? （B）[13] ? （C）[14]? （D）[23]

又如，湖南衡陽卷第20題第（2）小題考查了二次試驗(yàn)、通過列表法或畫樹狀圖，最后使用概率的古典定義公式求解.

例2 （湖南·衡陽卷）一個不透明的盒子里裝有除顏色外其余均相同的2個黑球和n個白球，攪勻后從盒子里隨機(jī)摸出一個球，摸到白球的概率為[13.]

（1）求n的值;

（2）所有球放入盒中，攪勻后隨機(jī)從中摸出1個球，放回?cái)噭?，再隨機(jī)摸出第2個球，求兩次摸球摸到一個白球和一個黑球的概率.試用畫樹狀圖或列表的方法進(jìn)行說明.

個別試題考查了“事件的概率”相關(guān)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經(jīng)驗(yàn)中最質(zhì)樸、最本源的內(nèi)容. 例如，湖南衡陽卷第20題第（1）小題和黑龍江綏化卷第8題，考查學(xué)生對概率的古典定義公式中每個變量的理解及應(yīng)用.

例3 （黑龍江·綏化卷）在一個不透明的袋子中裝有黑球[m]個、白球[n]個、紅球3個，除顏色外無其他差別，任意摸出一個球是紅球的概率是（? ? ）.

（A）[3m+n] （B）[3m+n+3]

（C）[m+nm+n+3] （D）[m+n3]

內(nèi)蒙古通遼卷第21題考查三次試驗(yàn)概率情況，是對二次試驗(yàn)概率的深刻理解與拓展應(yīng)用.

例4 （內(nèi)蒙古·通遼卷）甲口袋中裝有2個相同小球，它們分別寫有數(shù)字1，2;乙口袋中裝有3個相同小球，它們分別寫有數(shù)字3，4，5;丙口袋中裝有2個相同小球，它們分別寫有數(shù)字6，7.從三個口袋各隨機(jī)取出1個小球.用畫樹狀圖或列表法求：

（1）取出的3個小球上恰好有一個偶數(shù)的概率;

（2）取出的3個小球上全是奇數(shù)的概率.

2020年全國各地區(qū)中考“事件的概率”試題中很多是以上述典型常規(guī)概率試題為命題方向，由于概率知識對學(xué)生應(yīng)用能力要求不高，是定位給大部分學(xué)生“摘到果子”之所在. 在今后的中考相關(guān)試題中，這一趨勢應(yīng)該仍會保持.

2. 凝練生活氣息，體現(xiàn)數(shù)學(xué)價值

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊第二十五章“概率初步”的教學(xué)建議為“概率與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系非常緊密，這一領(lǐng)域的內(nèi)容對學(xué)生來說應(yīng)該是充滿趣味性和吸引力的……選擇典型的、學(xué)生感興趣的和富有時代氣息的現(xiàn)實(shí)問題作為例子，在解決這些實(shí)際問題的過程中學(xué)習(xí)計(jì)算概率的方法、理解概率的意義”.

很多試題素材來源于生活，在看似平凡的問題中體現(xiàn)概率最基本的知識原理和思想方法，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、理解世界，解決生活中的實(shí)際問題. 例如，廣西玉林卷第16題考查紅綠燈時車輛通行的隨機(jī)事件及其某一事件發(fā)生的可能性.

例5 （廣西·玉林卷）經(jīng)過人民中路十字路口紅綠燈處的兩輛汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)，如果這兩種可能性大小相同，則至少有一輛向左轉(zhuǎn)的概率是 ? ? ? ? .

又如，湖北恩施卷第6題以選粽子為背景命制試題，體現(xiàn)了濃濃的生活氣息.

例6 （湖北·恩施卷）“彩縷碧筠粽，香粳白玉團(tuán)”.端午佳節(jié)，小明媽媽準(zhǔn)備了豆沙粽2個、紅棗粽4個、臘肉粽3個、白米粽2個，其中豆沙粽和紅棗粽是甜粽.小明任意選取一個，選到甜粽的概率是（? ? ）.

（A）[211]? （B）[411]? （C）[511]? （D）[611]

在調(diào)查的98份2020年全國各地區(qū)中考試題中，有11道“事件的概率”試題以“新冠肺炎疫情”這一熱點(diǎn)問題作為情境展開命題，如江蘇徐州卷第21題.

例7 （江蘇·徐州卷）小紅的爸爸積極參加社區(qū)抗疫志愿服務(wù)工作.根據(jù)社區(qū)的安排，志愿者被隨機(jī)分到A組（體溫檢測）、B組（便民代購）、C組（環(huán)境消殺）.

（1）小紅的爸爸被分到B組的概率是 ? ? ;

（2）某中學(xué)王老師也參加了該社區(qū)的志愿者隊(duì)伍，他和小紅爸爸被分到同一組的概率是多少？（試用畫樹狀圖或列表的方法寫出分析過程.）

此題除了一次試驗(yàn)和二次試驗(yàn)求概率這一知識性考查外，還有在知識外的命制目的，即讓學(xué)生銘記我國抗擊“新冠肺炎疫情”的艱辛，以及對志愿者在抗疫期間的付出的認(rèn)可，傳遞著一心為公、有所擔(dān)當(dāng)?shù)牡掠?，這是初中數(shù)學(xué)學(xué)科德育的呈現(xiàn)方式之一. 同時也向初中數(shù)學(xué)教師傳遞了“數(shù)學(xué)教學(xué)”向“數(shù)學(xué)教育”轉(zhuǎn)化的要求，提醒教師在教學(xué)概率知識時要注重選取與生活密切聯(lián)系的素材.

3. 知識復(fù)合考查，凸顯學(xué)科素養(yǎng)

在近幾年的中考中，將統(tǒng)計(jì)與概率知識復(fù)合在同一道試題中進(jìn)行考查成為常態(tài)，嚴(yán)格來說是概率借助統(tǒng)計(jì)考查試題的現(xiàn)實(shí)情境，是對統(tǒng)計(jì)知識考查結(jié)果的拓展，是相對比較松散的知識復(fù)合考查. 這種考查方式在2020年中考中仍然普遍存在，知識復(fù)合概率將是未來中考考查的重點(diǎn)方向之一.

知識復(fù)合概率考查的試題根據(jù)知識復(fù)合程度分三種類型.

第一種：涇渭分明型，即概率知識和其他知識涇渭分明，可以先完成其他知識再根據(jù)結(jié)果完成概率的內(nèi)容. 例如，內(nèi)蒙古通遼卷第10題先讓學(xué)生根據(jù)無理數(shù)概念、因式分解、正方體的性質(zhì)、扇形弧長及面積公式判斷命題的正確與否，再通過概率公式求出最后結(jié)果，兩者雖有正確解題的相互支撐，但又在解題過程中相對獨(dú)立.

例8 （內(nèi)蒙古·通遼卷）從下列命題中，隨機(jī)抽取一個是真命題的概率是（? ? ）.

（1）無理數(shù)都是無限小數(shù);

（2）因式分解[ax2-a=ax+1x-1;]

（3）棱長是1 cm的正方體的表面展開圖的周長一定是14 cm;

（4）弧長是20π cm，面積是240π cm2的扇形的圓心角是120°.

（A）[14]? （B）[12]? （C）[34]? （D）1

第二種：知識融合型，即從概率角度入手必須使用其他知識解題，從其他知識角度入手也是概率解題的必要步驟，特別是面積類求概率的試題. 例如，湖北隨州卷第14題.

例9 （湖北·隨州卷）如圖1，△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，M，N分別為DE，DF，EF的中點(diǎn)，若隨機(jī)向△ABC內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為 ? ? ?.

第三種：綠葉參與型，即當(dāng)完成其他知識的考查后，試題的概率結(jié)果已經(jīng)顯而易見了. 例如，山東濱州卷第17題.

例10 （山東·濱州卷）現(xiàn)有下列長度的五根木棒：3，5，8，10，13，從中任取三根，可以組成三角形的概率為 ? ? ? .

隨著知識復(fù)合考查概率的試題增多，概率試題將出現(xiàn)“新”的命題趨勢. 此“新”更多的是指概率題將復(fù)合不同的知識及知識要點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)對學(xué)生綜合能力和學(xué)科素養(yǎng)的考查.

三、復(fù)習(xí)教學(xué)建議

根據(jù)穩(wěn)中求新的“事件的概率”知識模塊命題思想，復(fù)習(xí)的教學(xué)思想應(yīng)該遵循常規(guī)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)為主、適度前瞻滾動、動態(tài)分層提升的策略.

1. 檢測選拔的目標(biāo)背景下，概率模塊應(yīng)對復(fù)習(xí)

為實(shí)現(xiàn)初中學(xué)業(yè)水平檢測和高中入學(xué)選拔的雙重目標(biāo)，讓學(xué)生“做對題”是考試最“社會化”的要求. 在此背景下，要從歷年中考試題中“事件的概率”及其趨勢所考查的題型、難度入手，依標(biāo)據(jù)本，選取難度適當(dāng)?shù)念}目，分門別類進(jìn)行系統(tǒng)訓(xùn)練與鞏固，應(yīng)對中考常規(guī)試題展開復(fù)習(xí). 筆者在“事件的概率”專題復(fù)習(xí)中常以一個題干（摸球模型）將初中階段需要掌握的概率知識命題判斷、一次試驗(yàn)概率典型題、二次試驗(yàn)概率典型題、使用頻率估計(jì)概率、三次試驗(yàn)概率典型題、概率應(yīng)用能力題整合在一起復(fù)習(xí)（詳見下文模擬套題）.

2. 思維素養(yǎng)的考查背景下，概率模塊完整復(fù)習(xí)

“事件的概率”知識模塊命題將考查基礎(chǔ)知識、基本能力、基本素養(yǎng)，側(cè)重?cái)?shù)學(xué)思維、實(shí)踐應(yīng)用、創(chuàng)新融合，兼顧知識的“生長點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”.

在思維素養(yǎng)的考查背景下，對概率模塊的復(fù)習(xí)需要有完整的初中數(shù)學(xué)概率知識框架（如圖2），對框架中的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法要做到胸有成竹.

3.“活”而不難的命題背景下，概率模塊融合復(fù)習(xí)

“事件的概率”中考試題以常規(guī)考查為主，同時也存在創(chuàng)新命題，集中在試題的情境及復(fù)合其他基礎(chǔ)知識. 因此，對概率的復(fù)習(xí)不必過于刻板和集中，可以采取“cháng”備考復(fù)習(xí)策略——拉“長”概率部分備考復(fù)習(xí)時長;“?！本毾嚓P(guān)難點(diǎn)、易錯題型，在其他知識模塊的備考復(fù)習(xí)過程中融合概率知識的復(fù)習(xí). 概率模塊與其他知識模塊進(jìn)行融合復(fù)習(xí)的設(shè)計(jì)，有助于實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)過程中知識間的咬合、滾動與不斷夯實(shí)鞏固.

4.“培養(yǎng)人”的教育背景下，善于命題指引復(fù)習(xí)

2019年3月18日，習(xí)近平主持召開學(xué)校思想政治理論課教師座談會并發(fā)表重要講話，最根本的是要全面貫徹黨的教育方針，解決好培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人這個根本問題. 正如《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用. 中考試題是引導(dǎo)教師“教”與學(xué)生“學(xué)”的指揮棒，教師應(yīng)該與時俱進(jìn)，提升自身的命題能力，緊握這根指揮棒，實(shí)現(xiàn)知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度的教學(xué)總體目標(biāo).

四、模擬題欣賞

筆者編制了一組“模擬套題”，是以“不放回摸球模型”為背景，圍繞《標(biāo)準(zhǔn)》要求命制的符合“了解概率概念、理解頻率表示概率、應(yīng)用樹狀圖或列表解決概率問題”的基礎(chǔ)題目，能夠讓學(xué)生更好地感受隨機(jī)事件、概率內(nèi)涵及應(yīng)用. 其中，問題6增加了題目情境和開放性的設(shè)計(jì)，既考查學(xué)生對概率知識的深層次認(rèn)知，又能讓學(xué)生感受到概率知識的實(shí)用價值、感悟數(shù)學(xué)的思維與嚴(yán)謹(jǐn). 這6個問題以適當(dāng)?shù)奶荻日归_，對學(xué)生的知識及其他層面的素養(yǎng)要求有著由淺入深的考查，可以為學(xué)生不斷進(jìn)步鋪設(shè)階梯，讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.

題目? 在一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為1，2，3，4.

問題1：（概率知識命題判斷）以下說法錯誤的是（? ? ）.

（A）摸出標(biāo)號為6的小球是不可能事件

（B）摸出的小球標(biāo)號都小于6是必然事件

（C）摸一次球，摸出標(biāo)號分別為1，2，3，4的小球雖然是隨機(jī)的，但可能性是不一樣的

（D）摸出標(biāo)號為5的小球的概率是0

參考答案：C.

問題2：（一次試驗(yàn)概率典型題）若隨機(jī)摸出一個小球，則摸出標(biāo)號為3的概率是（? ? ）.

（A）[14]? ?（B）[13]? ?（C）[12] ? （D）[34]

參考答案：A.

問題3：（二次試驗(yàn)概率典型題）若隨機(jī)摸出一個小球后不放回，再隨機(jī)摸出一個小球.試用樹狀圖或列表求兩次取出小球標(biāo)號的和等于5的概率.

解：依題意可得樹狀圖如圖3所示.

[7][開始][第一次][第二次][和][1][2][3][4][5][6][2][3][4][1][3][4][1][2][4][1][2][3] [3][4][3][5][4][5][5][6][7][圖3]

所有等可能的情況有12種，其中兩次取出的小球的標(biāo)號的和等5的情況是4種，

所以[P和為5=412=13.]

問題4：（使用頻率估計(jì)概率）在口袋中再放入若干個完全相同但沒有標(biāo)號的白色小球，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)：將球攪勻后從中任意摸出1個球，摸到白色小球打“√”，摸到標(biāo)號小球打“○”，之后放回、攪勻，不斷重復(fù)這個過程，獲得數(shù)據(jù)如下表所示.

[摸球的次數(shù) 200 300 400 1 000 1 600 2 000 打“√”的頻數(shù) 72 93 130 334 532 667 打“√”的頻率 0.360 0 0.310 0 0.325 0 0.334 0 0.332 5 0.333 5 ]

估計(jì)該學(xué)習(xí)小組摸一次球，摸到白球的概率是? ? ? ? .（精確到0.01），由此估出白球的個數(shù)為? ? ?.

參考答案：0.33，2.

問題5：（三次試驗(yàn)概率典型題）若隨機(jī)摸出一個小球后不放回，再隨機(jī)摸出一個小球后仍不放回，第三次隨機(jī)摸出一個小球. 試用樹狀圖或列表求三次取出小球標(biāo)號的和等于6的概率.

解：依題意可得樹狀圖如圖4所示.

[開始][第一次][第二次][和][1][2][3][4][2][3][4][1][3][4][1][2][4][1][2][3] [3][4][2][4][2][3][3][4][1][4][1][3][2][4][1][4][1][2][2][3][1][3][1][2] [6][7][6][8][7][8][6][7][6][9][7][9][6][8][6][9][8][9][7][8][7][9][8][9][圖4]

所有等可能的情況有24種，其中三次取出的小球的標(biāo)號的和等6的情況是6種，

所以[P和為6=624=14.]

問題6：（概率應(yīng)用能力題）小明和小亮都想去觀看電影，但必須有一個人留在家里等候簽收重要快遞，于是他們設(shè)計(jì)了一個“摸球”游戲：若隨機(jī)摸出一個小球后記下標(biāo)號但不放回，再隨機(jī)摸出一個小球也記下標(biāo)號. 試補(bǔ)充完整、公平的“摸球”游戲規(guī)則，并說明其公平性.

解：游戲規(guī)則如下：第一次摸出小球標(biāo)號大于第二次摸出的小球標(biāo)號，則小明勝;反之，則小亮勝.

畫樹狀圖如圖5所示.

[開始][第一次][第二次][1][2][3][4][2][3][4][1][3][4][1][2][4][1][2][3] [圖5]

因?yàn)閇P小明勝=P小亮勝=612=12，]

所以這樣的游戲規(guī)則公平.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.