祁慧淵 薛紅霞

摘 要：綜合與實(shí)踐是指一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng). 依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的目標(biāo)和內(nèi)容要求，梳理2020年全國(guó)部分地區(qū)中考試卷中有關(guān)“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容的試題，從數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)的角度對(duì)此類試題進(jìn)行分析，總結(jié)“綜合與實(shí)踐”在這六方面體現(xiàn)出來(lái)的命題特點(diǎn)，并提供相關(guān)模擬試題.

關(guān)鍵詞：中考試題;綜合與實(shí)踐;命題分析;學(xué)科核心素養(yǎng)

一、內(nèi)容分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，“綜合與實(shí)踐”是一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng). 它有別于學(xué)習(xí)具體知識(shí)的探索活動(dòng)，更有別于課堂上教師的直接講授. 它是教師問題引領(lǐng)、學(xué)生全程參與、實(shí)踐過程相對(duì)完整的學(xué)習(xí)活動(dòng).“綜合與實(shí)踐”是實(shí)現(xiàn)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等目標(biāo)的重要和有效的載體. 教師要適當(dāng)?shù)拈_發(fā)出適合本地學(xué)生開展的結(jié)合實(shí)際情境的數(shù)學(xué)活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)層層深入的問題，給學(xué)生更多思考和操作的空間，鼓勵(lì)學(xué)生大膽設(shè)計(jì)活動(dòng)方案，提倡學(xué)生之間進(jìn)行更多的合作交流，在活動(dòng)中激發(fā)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，凸顯問題性，注重綜合性，落實(shí)實(shí)踐性. 2020年全國(guó)各地區(qū)中考“綜合與實(shí)踐”試題從不同的知識(shí)與能力角度，體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)此部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求與理念，充分地體現(xiàn)了對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》提出的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)學(xué)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)十個(gè)關(guān)鍵詞的重視，使“綜合與實(shí)踐”的實(shí)施成為提高教師自身和學(xué)生素質(zhì)的有效過程.

二、命題思路分析

依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》，“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的考查主要關(guān)注問題、過程和綜合三個(gè)層面. 教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)出有利于提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的恰當(dāng)問題. 情境的設(shè)置可以從數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)間的聯(lián)系與綜合、跨學(xué)科領(lǐng)域的整合、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的融合等方面去設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在思考和分析問題的活動(dòng)過程中，充分利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問題，進(jìn)而積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

綜觀2020年全國(guó)各地區(qū)中考試卷，“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容的考查呈現(xiàn)形式為選擇題、填空題和解答題，分值和題量基本保持穩(wěn)定，且略有上升趨勢(shì). 選擇題和填空題的分值在4 ～ 6分之間;解答題和綜合性問題的分值在10 ～ 18分之間. 試題分值占全卷總分值的20%左右. 在研究的109份2020年中考數(shù)學(xué)試卷中，發(fā)現(xiàn)“綜合與實(shí)踐”的相關(guān)試題背景豐富，有現(xiàn)實(shí)生活中幾何圖形的研究，有跨學(xué)科問題情境的設(shè)置，有數(shù)學(xué)操作問題的探究，呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)問題生活化、熱點(diǎn)化、操作化的特點(diǎn)，特別注重?cái)?shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和數(shù)學(xué)思想的滲透. 以下將從數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)出發(fā)，選取一些具有代表性的試題進(jìn)行具體分析.

1. 數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程. 數(shù)學(xué)抽象主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系;從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征. 數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中. 數(shù)學(xué)抽象是綜合與實(shí)踐的起點(diǎn). 數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，對(duì)運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)等方面的感悟;符號(hào)意識(shí)有助于理解并運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，知道使用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理得到一般性結(jié)論，這些都是數(shù)學(xué)抽象的載體.

例1 （湖南·婁底卷）如圖1，各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，x的值為（? ? ）.

（A）135 （B）153

（C）170 （D）189

例2 （黑龍江·齊齊哈爾卷）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動(dòng)并且按一定規(guī)律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形. 第一次滾動(dòng)后點(diǎn)[A10，2]變換到點(diǎn)[A26，0]，得到等腰直角三角形②;第二次滾動(dòng)后點(diǎn)A2變換到點(diǎn)[A36，0]，得到等腰直角三角形③;第三次滾動(dòng)后點(diǎn)A3變換到點(diǎn)[A410，42]，得到等腰直角三角形④;第四次滾動(dòng)后點(diǎn)A4變換到點(diǎn)[A510+122，0，] 得到等腰直角三角形⑤;……依此規(guī)律，則第2 020個(gè)等腰直角三角形的面積是? ? ? .

【評(píng)析】例1和例2從數(shù)感和符號(hào)意識(shí)方面突出對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的考查，在探究中體會(huì)過程性. 例1的設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔，通過方格中數(shù)的擺放位置來(lái)尋找數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)換為字母間的規(guī)律，關(guān)注對(duì)學(xué)生使用符號(hào)意識(shí)的考查和數(shù)感中數(shù)量關(guān)系的感悟. 例2是對(duì)等腰直角三角形性質(zhì)應(yīng)用的考查，要求學(xué)生思考圖形中的頂點(diǎn)在翻轉(zhuǎn)變換中的關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，突出考查學(xué)生理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律. 此類問題的設(shè)計(jì)既讓學(xué)生在解題過程中體會(huì)圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，又激發(fā)學(xué)生在思考過程中建立符號(hào)意識(shí)，進(jìn)而要求教師在數(shù)學(xué)問題的創(chuàng)設(shè)上具有從知識(shí)立意轉(zhuǎn)向關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)立意的意識(shí).

2. 邏輯推理

《標(biāo)準(zhǔn)》中提出，推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中. 推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式. 推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則進(jìn)行證明和計(jì)算. 在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理用于證明結(jié)論. 2020年中考“綜合與實(shí)踐”試題更注重通過與生活中的情境結(jié)合、跨學(xué)科整合來(lái)解決具體的實(shí)際問題.

例3 （湖南·婁底卷）如圖3，撬釘子的工具是一個(gè)杠桿，動(dòng)力臂L1 = Lcos α，阻力臂L2 = lcos β，如果動(dòng)力F的用力方向始終保持豎直向下，當(dāng)阻力不變時(shí)，杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力變化情況是（? ? ）.

（A）越來(lái)越小 （B）不變

（C）越來(lái)越大? ? （D）無(wú)法確定

例4 （湖南·株洲卷）據(jù)《漢書·律歷志》記載：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也.”斛是中國(guó)古代的一種量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”. 意思是說：“斛的底面為：正方形外接一個(gè)圓，此圓外是一個(gè)同心圓.”

問題：如圖4，現(xiàn)有一斛，其底面的外圓直徑為

兩尺五寸（即2.5尺），“庣旁”為兩寸五分（即兩同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺），則此斛底面的正方形的周長(zhǎng)為? ? ? ?.（結(jié)果用最簡(jiǎn)根式表示.）

【評(píng)析】例3借助物理學(xué)中撬釘子的情境，利用杠桿原理進(jìn)行數(shù)學(xué)的推理分析，動(dòng)力 × 動(dòng)力臂 = 阻力 × 阻力臂，當(dāng)阻力及阻力臂不變時(shí)，動(dòng)力 × 動(dòng)力臂為定值，且定值大于0，考查了利用銳角三角函數(shù)cos α的增減性來(lái)說明動(dòng)力的變化. 例4以古代的一種量器為背景命制，將圓與正方形組合，考查圖形的推理與計(jì)算. 此類試題意在讓學(xué)生體會(huì)在不同的問題情境中運(yùn)用直觀的邏輯推理，并綜合不同領(lǐng)域的跨學(xué)科知識(shí)，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

例5 （河南卷）我們學(xué)習(xí)過利用尺規(guī)作圖平分一個(gè)任意角，而“利用尺規(guī)作圖三等分一個(gè)任意角”曾是數(shù)學(xué)史上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的. 人們根據(jù)實(shí)際需要，發(fā)明了一種簡(jiǎn)易操作工具——三分角器. 圖5（1）是它的示意圖，其中AB與半圓O的直徑BC在同一直線上，且AB的長(zhǎng)度與半圓的半徑相等，DB與AC垂直于點(diǎn)B，DB足夠長(zhǎng).

使用方法如圖5（2）所示，若要把∠MEN三等分，只需適當(dāng)放置三分角器，使DB經(jīng)過∠MEN的頂點(diǎn)E，點(diǎn)A落在邊EM上，半圓O與另一邊EN恰好相切，切點(diǎn)為F，則EB，EO就把∠MEN三等分了.

為了說明這一方法的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明. 如下給出了不完整的“已知”和“求證”，試補(bǔ)充完整，并寫出“證明”過程.

已知：如圖5（2），點(diǎn)A，B，O，C在同一直線上，EB⊥AC，垂足為點(diǎn)B， ? ?   ? ? ? ? ? ? .

求證：? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

【評(píng)析】例5以數(shù)學(xué)知識(shí)中“利用尺規(guī)作圖三等分一個(gè)任意角”的問題為情境，將數(shù)學(xué)中的難題轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N簡(jiǎn)易操作工具——三分角器來(lái)解決問題. 要把∠MEN三等分，只需適當(dāng)放置三分角器，使DB經(jīng)過∠MEN的頂點(diǎn)E，點(diǎn)A落在邊EM上，半圓O與另一邊EN恰好相切，切點(diǎn)為F，則EB，EO就把∠MEN三等分了. 在說明了所有的操作過程后，讓學(xué)生自己填寫已知和求證并完成證明過程，既考查了學(xué)生推理過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性、完整性，又關(guān)注了歸納與演繹的綜合. 此題注重把數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)看作是數(shù)學(xué)活動(dòng)的學(xué)習(xí)，在探究過程中提出問題，綜合應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)來(lái)分析和解決問題，在“做”的過程和“思考”的過程中積淀數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有效考查了綜合與實(shí)踐的基本要素.

3. 數(shù)學(xué)建模

《標(biāo)準(zhǔn)》中指出，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑. 建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義. 這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí). 建立數(shù)學(xué)模型就是要培養(yǎng)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)活動(dòng)中，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，進(jìn)而建立模型得出結(jié)論，還要驗(yàn)證結(jié)果和改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題. 綜合與實(shí)踐活動(dòng)不僅提升了學(xué)生從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力，也培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí). 數(shù)學(xué)建模是綜合與實(shí)踐的實(shí)施途徑之一.

例6 （山東·青島卷）某公司生產(chǎn)A型活動(dòng)板房成本是每個(gè)425元. 圖6（1）表示A型活動(dòng)板房的一面墻，它由長(zhǎng)方形和拋物線構(gòu)成，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)AD = 4 m，寬AB = 3 m，拋物線的最高點(diǎn)E到BC的距離為4 m.

（1）按如圖6（1）所示的直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y = kx2+m （k ≠ 0）表示. 求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）現(xiàn)將A型活動(dòng)板房改造為B型活動(dòng)板房. 如圖6（2），在拋物線與AD之間的區(qū)域內(nèi)加裝一扇長(zhǎng)方形窗戶FGMN，點(diǎn)G，M在AD上，點(diǎn)N，F(xiàn)在拋物線上，窗戶的成本為50元 / m2. 已知GM = 2 m，求每個(gè)B型活動(dòng)板房的成本是多少？（每個(gè)B型活動(dòng)板房的成本 = 每個(gè)A型活動(dòng)板房的成本 + 一扇窗戶FGMN的成本.）

（3）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，以單價(jià)650元銷售（2）中的B型活動(dòng)板房，每月能售出100個(gè)，而單價(jià)每降低10元，每月能多售出20個(gè). 公司每月最多能生產(chǎn)160個(gè)B型活動(dòng)板房. 不考慮其他因素，公司將銷售單價(jià)n（元）定為多少時(shí)，每月銷售B型活動(dòng)板房所獲利潤(rùn)w（元）最大？最大利潤(rùn)是多少？

例7 （江蘇·南京卷）如圖7（1），要在一條筆直的路邊[l]上建一個(gè)燃?xì)庹荆騕l]同側(cè)的[A，B]兩個(gè)城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)? 試確定燃?xì)庹镜奈恢?，使鋪設(shè)管道的路線最短.

（1）如圖7（2），作出點(diǎn)[A]關(guān)于[l]的對(duì)稱點(diǎn)[A，] 線段[AB]與直線[l]的交點(diǎn)[C]的位置即為所求，即在點(diǎn)[C]處建燃?xì)庹?，所得路線[ACB]是最短的.

為了證明點(diǎn)[C]的位置即為所求，不妨在直線[l]上另外任取一點(diǎn)[C，] 連接[AC，BC，] 證明[AC+CB<][AC′+C′B.] 試完成這個(gè)證明.

（2）如果在[A，B]兩個(gè)城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^該區(qū)域. 試分別給出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案（不需說明理由）.

① 生態(tài)保護(hù)區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖7（3）所示;

② 生態(tài)保護(hù)區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖7（4）所示.

【評(píng)析】例6考查學(xué)生在實(shí)際生活情境中體會(huì)變量之間的關(guān)系，根據(jù)題意建立函數(shù)模型來(lái)解決問題，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí). 在這個(gè)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，學(xué)生進(jìn)行了兩次建模：第一次建模是把矩形窗戶邊框與墻抽象成數(shù)學(xué)圖形，并建立關(guān)系，理解數(shù)學(xué)圖形中的點(diǎn)的意義，建構(gòu)二次函數(shù)模型;第二次建模是在第（2）小題中，求每月銷售活動(dòng)板房所獲的最大利潤(rùn)，比對(duì)二次函數(shù)模型，找到頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)的增減性和不等式的范圍確定最值. 例7為模擬真實(shí)情境的綜合實(shí)踐活動(dòng)，通過最短距離問題模型，再次提出生活情境問題，根據(jù)不同的方案設(shè)計(jì)，經(jīng)過計(jì)算確定管道鋪設(shè)方案，再現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過程性、實(shí)踐性和綜合性. 解決此類問題還是要引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行真實(shí)任務(wù)情境下的綜合實(shí)踐活動(dòng).

4. 直觀想象

直觀想象主要是指利用圖形進(jìn)行描述和分析問題，感知事物的形態(tài)與變化，理解和解決數(shù)學(xué)問題. 直觀想象主要表現(xiàn)為：建立形與數(shù)的聯(lián)系，借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系與形態(tài)變化及運(yùn)動(dòng)規(guī)律，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型分析問題，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化、形象化，進(jìn)而探索解決問題的思路. 綜合與實(shí)踐重在實(shí)踐和綜合，教師要設(shè)置貼近學(xué)生的生活情境，充分發(fā)揮學(xué)生的直觀想象、展現(xiàn)學(xué)生的思考過程，合作交流收獲體會(huì)，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造潛能.

例8 （湖北·荊州卷）“健康荊州，你我同行”，市民小張積極響應(yīng)“全民健身動(dòng)起來(lái)”號(hào)召，堅(jiān)持在某環(huán)形步道上跑步. 已知此步道外形近似于如圖8所示的Rt△ABC，其中∠C = 90°，AB與BC間另有步道DE相連，D地在AB正中位置，E地與C地相距1 km. 若tan∠ABC =[34]，∠DEB = 45°，小張某天沿A→C→E→B→D→A路線跑一圈，則他跑了 ? ? ? .

例9 （山西卷）閱讀與思考：下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

[× 年 × 月 × 日? 星期日

沒有直角尺也能作出直角

今天，我在書店一本書上看到下面材料：木工師傅有一塊如圖9所示的四邊形木板，他已經(jīng)在木板上畫出一條裁割線AB，現(xiàn)根據(jù)木板的情況，要過AB上的一點(diǎn)C，作出AB的垂線，用鋸子進(jìn)行裁割，然而手頭沒有直角尺，怎么辦呢？

辦法一：如圖9，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD = 30 cm，然后分別以D，C為圓心，以50 cm與40 cm為半徑畫圓弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作直線CE，則∠DCE必為90°.

辦法二：如圖10，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點(diǎn)出M，N兩點(diǎn)，然后把木棒斜放在木板上，使點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，用鉛筆在木板上將點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)Q，保持點(diǎn)N不動(dòng)，將木棒繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)M落在AB上，在木板上將點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)R. 然后將RQ延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上截取線段QS = MN，得到點(diǎn)S，作直線SC，則∠RCS = 90°.

我有如下思考：以上兩種辦法依據(jù)的是什么數(shù)學(xué)原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能作出垂線呢？…… ]

任務(wù)：

（1）填空：“辦法一”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

（2）根據(jù)“辦法二”的操作過程，證明∠RCS = 90°.

（3）① 尺規(guī)作圖：試在圖11的木板上，過點(diǎn)C作出AB的垂線.（在木板上保留作圖痕跡，不寫作法.）

② 說明你的作法依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實(shí).（寫出一個(gè)即可.）

【評(píng)析】例8通過直觀化表達(dá)健身運(yùn)動(dòng)路徑，考查三角函數(shù)的概念，根據(jù)模型解釋實(shí)際意義，需要學(xué)生運(yùn)用幾何直觀促進(jìn)理解. 例9為真實(shí)情境的“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)，該活動(dòng)利用不同方案解決在沒有直角尺的情況下作直角的問題，先以閱讀材料的方式給出兩種具體的操作方法，然后讓學(xué)生在理解此操作過程的同時(shí)寫出數(shù)學(xué)依據(jù)，進(jìn)而思考是否還有其他作出垂線的方法. 例9讓學(xué)生根據(jù)圖形的特點(diǎn)，借助幾何直觀觀察圖形、分析問題、發(fā)現(xiàn)解題途徑，有效開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生解決問題的創(chuàng)新意識(shí).

5. 數(shù)學(xué)運(yùn)算

《標(biāo)準(zhǔn)》中指出，運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確進(jìn)行運(yùn)算的能力. 培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問題. 數(shù)學(xué)運(yùn)算在綜合實(shí)踐活動(dòng)中的應(yīng)用最常見、最廣泛，有助于學(xué)生理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、形成程序化思維.

例10 （四川·自貢卷）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法. 例如，代數(shù)式[x-2]的幾何意義是數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離：因?yàn)閇x+1=x--1]，所以[x+1]的幾何意義就是數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.

（1）發(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式[x+1+x-2]的最小值是多少？

（2）探究問題：如圖12，點(diǎn)A，B，P分別表示數(shù)-1，2，x，AB = 3.

因?yàn)閇x+1+x-2]的幾何意義是線段PA與PB的長(zhǎng)度之和，

所以當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，PA + PB = 3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，PA + PB > 3.

所以[x+1+x-2]的最小值是3.

（3）解決問題：

① [x-4+x+2]的最小值是 ? ? ;

② 如圖13，利用上述思想方法解不等式[x+3+][x-1] > 4;

③ 當(dāng)a為何值時(shí)，代數(shù)式[x+a+x-3]的最小值是2.

【評(píng)析】例10以學(xué)生非常熟悉的兩點(diǎn)之間的距離為情境，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、探究問題、解決問題，這是非常好的綜合與實(shí)踐的學(xué)習(xí)方式. 這些問題要求學(xué)生在已經(jīng)具備一定的數(shù)式運(yùn)算能力的基礎(chǔ)上，依據(jù)法則正確運(yùn)算，體會(huì)運(yùn)算的算理，轉(zhuǎn)化為熟悉的運(yùn)算方式，也考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算法則使用的遷移能力，進(jìn)一步體現(xiàn)了在學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要性，為教學(xué)指明方向.

6. 數(shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心.“綜合與實(shí)踐”在此方面的考查具體表現(xiàn)在數(shù)據(jù)的收集和整理，對(duì)數(shù)據(jù)信息的理解和處理，提取信息和解釋結(jié)論. 綜觀2020年中考試題，數(shù)據(jù)分析類綜合試題呈現(xiàn)出情境生活化、熱點(diǎn)化的特點(diǎn)，更加重視對(duì)統(tǒng)計(jì)量意義的理解和利用數(shù)據(jù)分析結(jié)果并進(jìn)行方案的決策評(píng)估和預(yù)測(cè).

例11 （山東·臨沂卷）2020年是脫貧攻堅(jiān)年. 為實(shí)現(xiàn)全員脫貧目標(biāo)，某村貧困戶在當(dāng)?shù)卣С謳椭?，辦起了養(yǎng)雞場(chǎng). 經(jīng)過一段時(shí)間精心飼養(yǎng)，總量為3 000只的一批雞可以出售. 現(xiàn)從中隨機(jī)抽取50只，得到它們質(zhì)量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1和圖14所示.

根據(jù)以上信息，解答下列問題.

（1）表中a的值為 ? ? ，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

（2）這批雞中質(zhì)量不小于1.7 kg的數(shù)量大約有多少？

（3）這些貧困戶的總收入達(dá)到54 000元，就能實(shí)現(xiàn)全員脫貧目標(biāo). 按15元 / kg的價(jià)格售出這批雞后，該村貧困戶能否脫貧？

【評(píng)析】數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)主要體現(xiàn)在“統(tǒng)計(jì)與概率”中，其與實(shí)際生活聯(lián)系緊密，能更好地體現(xiàn)綜合與實(shí)踐的考查意圖. 例11從學(xué)生熟悉的生活背景及社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問題等方面進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和處理. 對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的問題先做調(diào)查研究、收集數(shù)據(jù)，通過統(tǒng)計(jì)圖或表格進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，做出判斷. 此類試題突出對(duì)抽樣調(diào)查中分析數(shù)據(jù)的方法和解決問題能力方面的考查，更加注重對(duì)學(xué)生獲取信息能力和分析決策能力的考查，真正體現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)的作用.

三、復(fù)習(xí)建議

通過對(duì)2020年中考試卷中“綜合與實(shí)踐”部分試題的分析，發(fā)現(xiàn)這些試題充分體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)此部分內(nèi)容的引領(lǐng)作用. 在教學(xué)過程中，教師要特別注意問題情境的設(shè)計(jì)、活動(dòng)過程的探究和解決問題方法的綜合，強(qiáng)化綜合與實(shí)踐活動(dòng)中知識(shí)的整合、延伸與拓展，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生思維能力、運(yùn)算能力、探究能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng). 在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要對(duì)以下幾個(gè)方面予以關(guān)注：一是創(chuàng)設(shè)更貼近生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)的情境，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí);二是加強(qiáng)初中數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性與綜合性;三是讓學(xué)生在探究活動(dòng)過程中感悟知識(shí)的生成和運(yùn)用，提升解決問題的能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng). 針對(duì)以上情況，對(duì)2021年中考復(fù)習(xí)提出以下幾點(diǎn)建議.

1. 夯實(shí)基礎(chǔ)，提升能力

在日常教學(xué)中，若學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)不過關(guān)，會(huì)體現(xiàn)在概念辨析不到位，基本運(yùn)算算理不清楚，以及解題方法不適當(dāng)?shù)确矫? 因此，在教學(xué)中，教師一定要回歸教材、落實(shí)基礎(chǔ)，強(qiáng)化對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的訓(xùn)練，多研究典型題和易錯(cuò)題，多對(duì)比、多變式，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)體系，將基礎(chǔ)知識(shí)的掌握落到實(shí)處. 一是要讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的概念、公式、定理進(jìn)行深度剖析與解讀;二是讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的生成與生長(zhǎng)過程，對(duì)問題的解決方法進(jìn)行歸納梳理;三是通過課堂內(nèi)外綜合與實(shí)踐活動(dòng)的開展，強(qiáng)化學(xué)生的“四基”及知識(shí)的融會(huì)貫通.

2020年全國(guó)各地區(qū)中考“綜合與實(shí)踐”類試題中都創(chuàng)設(shè)了現(xiàn)實(shí)生活或跨學(xué)科的情境，解題時(shí)需要學(xué)生具備豐富的知識(shí)與問題間的鏈接能力，這就要求教師在教學(xué)中要注重揭示知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，使學(xué)生的思維得到高密度的訓(xùn)練，能力得到高層次的發(fā)展.

2. 經(jīng)歷過程，提升思維

如果把數(shù)學(xué)問題的解決看成是“目”，那么數(shù)學(xué)思維就是“綱”，綱舉目張. 在教學(xué)中，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生理解知識(shí)的形成過程，在活動(dòng)中讓學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，經(jīng)歷自主學(xué)習(xí)、合作交流、探索研究的過程，創(chuàng)設(shè)一些能引發(fā)學(xué)生深度思考的過程性問題，并運(yùn)用研究方法進(jìn)行解題思路的遷移，開闊學(xué)生的思維視野，拓寬學(xué)生的觀察角度，促使其自覺養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì). 教師也可以通過編擬一些貼近生活實(shí)際的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)歷更多真實(shí)情境問題的探究過程，在活動(dòng)中不斷進(jìn)行思維碰撞，體會(huì)問題解決方法的多樣性，從而引導(dǎo)學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)與人類社會(huì)的密切聯(lián)系，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的理解，用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，進(jìn)而形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力，切實(shí)提高學(xué)生的思維品質(zhì).

3. 加強(qiáng)閱讀，提升素養(yǎng)

“綜合與實(shí)踐”類試題中經(jīng)常會(huì)呈現(xiàn)一些閱讀材料，提供一些解決問題的知識(shí)或方法，需要學(xué)生在閱讀的過程中獲取信息和理解信息，還要應(yīng)用所學(xué)到的思想或方法解答提出的新問題. 因此，建議教師在日常教學(xué)中補(bǔ)充一些與教材內(nèi)容相關(guān)的閱讀材料，通過對(duì)教材的例、習(xí)題進(jìn)行整合，挖掘一些綜合與實(shí)踐學(xué)習(xí)的素材，設(shè)計(jì)一些相關(guān)的綜合與實(shí)踐活動(dòng)，并要求學(xué)生經(jīng)歷活動(dòng)后嘗試寫出實(shí)踐報(bào)告和活動(dòng)反思，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)與解決的探究過程，發(fā)現(xiàn)不同解決問題的途徑，積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而提升學(xué)生的綜合解題能力. 通過讓學(xué)生在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中將自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式融入數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成過程，把學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣作為發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的推動(dòng)力，以激發(fā)教學(xué)創(chuàng)新.

我們欣喜地看到，越來(lái)越多的教師在“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的日常教學(xué)中進(jìn)行更深層次的思考與創(chuàng)新，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為培養(yǎng)目標(biāo)，真正回歸教育本源，實(shí)現(xiàn)對(duì)人的培養(yǎng).

四、模擬題欣賞

1. 定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a⊕b =ab + a + b，其中等式右邊是通常的加法、乘法運(yùn)算，例如，2⊕3 = 2 × 3 + 2 + 3 = 11. 若y關(guān)于x的函數(shù)y = （kx + 1）⊕（x - 1）圖象與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為 ? ? .

參考答案：0或-1.

2. 圖15（1）為一張寬為6 cm的平行四邊形紙帶ABCD，AB = 10 cm，小明用這張紙帶對(duì)底面周長(zhǎng)為10 cm直三棱柱紙盒的側(cè)面進(jìn)行包貼（要求包貼時(shí)沒有重疊部分）. 小明通過操作后發(fā)現(xiàn)此類包貼問題可將直三棱柱的側(cè)面展開進(jìn)行分析.

（1）如圖15（2），若紙帶在側(cè)面纏繞三圈，正好將這個(gè)直三棱柱紙盒的側(cè)面全部包貼滿. 則紙帶AD的長(zhǎng)度為 ? ? ?;

（2）如圖15（3），若AD = 100 cm，紙帶在側(cè)面纏繞多圈，正好將這個(gè)直三棱柱紙盒的側(cè)面全部包貼滿. 則這個(gè)直三棱柱紙盒的高度是 ? ? .

參考答案：（1）25 cm;（2）60 cm.

3. 某市景區(qū)內(nèi)有一座歷史名人塑像，“綜合與實(shí)踐”小組的學(xué)生開展了測(cè)量這一塑像高度的活動(dòng).他們?cè)谠撍芟竦撞克诘钠降厣线x取一個(gè)測(cè)點(diǎn)，測(cè)量了塑像頂端的仰角，調(diào)高測(cè)傾器后二次測(cè)量了塑像頂端的仰角. 為了減小測(cè)量誤差，小組在測(cè)量仰角的度數(shù)及測(cè)傾器高度時(shí)，都分別測(cè)量了兩次并取它們的平均值作為測(cè)量結(jié)果，測(cè)量數(shù)據(jù)如表2所示.

任務(wù)：

（1）根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果，試幫助該“綜合與實(shí)踐”小組求出塑像的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin35.0° ≈ 0.57，cos35.0° ≈ 0.82，tan35.0° ≈ 0.70，sin33.5° ≈ 0.55，cos33.5° ≈ 0.83，tan33.5° ≈ 0.66.）

（2）該“綜合與實(shí)踐”小組在制定方案時(shí)，討論“用已知高度的側(cè)傾器CD測(cè)出仰角∠ADF的度數(shù)，再測(cè)出BC的長(zhǎng)來(lái)計(jì)算塑像高度AB”的方案，但未被采納. 你認(rèn)為其原因可能是什么？（寫出一條即可.）

參考答案：塑像的高度為12.26 m.

（2）塑像下半部分為底座，其底部不可直接到達(dá)，不能準(zhǔn)確測(cè)出BC.

4. 問題情境：

數(shù)學(xué)課上同學(xué)們探究正方形邊上的動(dòng)點(diǎn)引發(fā)的有關(guān)問題. 如圖16（1），正方形ABCD中，E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，直線DF交AB于點(diǎn)H，直線FB與直線AE交于點(diǎn)G，連接DG，CG.

猜想證明：

（1）當(dāng)圖16（1）中的點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)得到圖16（2），此時(shí)點(diǎn)G也與點(diǎn)B重合，點(diǎn)H與點(diǎn)A重合. 同學(xué)們發(fā)現(xiàn)線段GF與GD有確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，其結(jié)論為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

（2）希望小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)，圖16（1）中的點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（1）中結(jié)論始終成立. 為證明這兩個(gè)結(jié)論，同學(xué)們展開了討論.

小敏：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，很容易得到GF與GD的數(shù)量關(guān)系，……

小麗：連接AF，圖中出現(xiàn)新的等腰三角形，如△AFB，……

小凱：不妨設(shè)圖中不斷變化的角∠BAF的度數(shù)為n，并設(shè)法用n表示圖中的一些角，可證明結(jié)論.

請(qǐng)你參考同學(xué)們的思路，完成證明.

（3）創(chuàng)新小組的同學(xué)在圖16（1）中，發(fā)現(xiàn)線段CG∥DF，試說明理由.

聯(lián)系拓廣：

（4）如圖16（3），若將題中的“正方形ABCD”變?yōu)椤傲庑蜛BCD”，∠ABC = α，其余條件不變，試探究∠DFG的度數(shù)，并直接寫出結(jié)果.（用含α的式子表示.）

參考答案：（1）GF = GD，GF⊥GD.

（2）連接AF，證明略.

（3）連接AF，BD，證明略.

（4）∠DFG = 90° - [a2]. 理由略.

5. 觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題.

在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖17（1），

則sin B = [ADc]，sin C = [ADb]，

即AD = csin B，AD = bsin C.

于是csin B = bsin C，即[bsinB=csinC].

同理，有[csinC=asinA]，[asinA=bsinB].

所以[asinA=bsinB=csinC].

即在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等. 在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素（至少有一條邊），運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素. 根據(jù)上述材料，完成下列各題.

（1）如圖17（1），△ABC中，∠B = 75°，∠C = 45°，BC = 60，則AB的值為 ? ? .

（2）如圖17（2），一貨輪在C處測(cè)得燈塔A在貨輪的北偏西30°的方向上，隨后貨輪以60海里 / 時(shí)的速度按北偏東30°的方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔A在貨輪的北偏西75°的方向上，求此時(shí)貨輪距燈塔A的距離AB.

（3）在（2）的條件下，試求75°的正弦值.（結(jié)果保留根號(hào).）

[A][C][D][c][a][B][b] [（1）] [北][南][西][東] [A][C] [30°][30°][75°] [（2）][B][圖17]

參考答案：（1）AB =[206];

（2）貨輪距燈塔A的距離AB =[156];

（3）sin75° = [2+64].

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

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[4]劉永東. 2016年中考“綜合與實(shí)踐”專題命題分析[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2017（3）：54-64.