從一個博弈論問題看資優(yōu)生培養(yǎng)

孫曉麗

博弈論又稱為對策論，往往用于研究具有斗爭或競爭性質(zhì)現(xiàn)象的理論和方法，它不光是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個新分支，也是運籌學(xué)的一個重要學(xué)科。博弈論思想古代就有，最初主要用于究象棋、橋牌、賭博中的勝負(fù)問題，但是當(dāng)時人們對博弈局勢的把握只停留在經(jīng)驗上，沒有向理論化發(fā)展，正式發(fā)展成一門學(xué)科則是在20世紀(jì)初。我國古代的《孫子兵法》就不僅是一部軍事著作，而且算是最早的一部博弈論專著?，F(xiàn)在博弈論在在很多領(lǐng)域都有研究應(yīng)用，在教學(xué)方面也已經(jīng)有了廣泛的研究。類比博弈論在其它學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用，在教學(xué)中則是貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，讓問題與學(xué)生的思維產(chǎn)生博弈，從而研究相關(guān)的問題。

幾年以前看博弈論的時候，發(fā)現(xiàn)一個有趣的問題：如果讓每位同學(xué)寫一個介于1與100之間的正整數(shù)（包括1和100） ? ?，然后求出所有這些數(shù)字的平均數(shù)，如果你所寫的數(shù)字最接近該平均數(shù)的二分之一，那么你就在游戲中勝出。

在這個問題（后面稱為二分之一問題）中，如果每個同學(xué)寫的都是隨機產(chǎn)生的數(shù)字（沒有考慮別人寫出的數(shù)字的話）結(jié)果應(yīng)該在25這里穩(wěn)定。但是提出了這樣的問題，必然有同學(xué)考慮別人會如何思考。

假設(shè)參與的同學(xué)是理性的話，應(yīng)該不會寫50以上的數(shù)。因為即使所有的人都寫了100，那么平均值也只有100，那么平均數(shù)的二分之一當(dāng)然也不可能大于50。

進一步，如果所有參與的同學(xué)都是理性且認(rèn)真思考的話，那么當(dāng)意識到?jīng)]有人會寫50以上的數(shù)之后，平均值的二分之一就不可能大于25了。

再進一步，如果所有的同學(xué)都是理性且進一步思考的話，那么當(dāng)意識到?jīng)]有人會寫25以上的數(shù)之后，平均值的二分之一就不可能大于12了。

……

如果所有參與的同學(xué)都是足夠理性并且完整思考的話，那么必然會明白，且所有人都會寫1。然而現(xiàn)實中，前面這些假設(shè)是否成立呢？當(dāng)然不會完全成立。事實上甚至?xí)幸徊糠謱W(xué)生寫大于50的數(shù)。

現(xiàn)在選取本人任教的某中學(xué)初二實驗班的數(shù)據(jù)進行該問題的分析。

該中學(xué)實驗班只有兩個班級，甲班和乙班，兩班分班時按照成績隨機分配。在拓展課教學(xué)過程中，按照分?jǐn)?shù)分班，分成A班和B班，成績在前面一半的分為A班，成績?yōu)楹竺嬉话氲姆譃锽班，每學(xué)期流動一到兩次，流動人數(shù)為三到四名學(xué)生。在某次測驗中，記錄學(xué)生的成績和二分之一問題的結(jié)果，考察二者的相關(guān)性。

本次測驗滿分為120分，其中最高分105分，最低分0分，平均分為52.08分。

A班和B班共75位同學(xué)，在二分之一問題中記錄得到的平均值為30.8。這其中共有7名同學(xué)寫了50以上（含100）的數(shù);5名同學(xué)寫了50;34名同學(xué)寫了25-49之間（含49）的數(shù);22名同學(xué)寫了13-24之間（含24）的數(shù);7名同學(xué)寫了12及以下（含1）的數(shù)。

二分之一問題和成績兩者相關(guān)系數(shù)為-0.363，具有較顯著的負(fù)相關(guān)。其負(fù)相關(guān)性具有相當(dāng)?shù)暮侠硇?。事實上理性而善于思考的學(xué)生，成績是應(yīng)該更好一些。

那7名寫了50以上的數(shù)的同學(xué)，成績的平均分為38.3分，而7名寫了12以下的數(shù)的同學(xué)，成績的平均分為67.3分。這里兩名最高分105分的同學(xué)中，其中一位寫了4，另一位寫了18。事后我詢問兩位同學(xué)，其中寫4的那位同學(xué)說應(yīng)該寫1，但是覺得同學(xué)們不會那么聰明，所以寫了4;而寫18的那位同學(xué)在旁邊還嘲笑他，“你還是把同學(xué)們想的太聰明了?！?/p>

由如上數(shù)據(jù)得到如下相關(guān)結(jié)論：

結(jié)論1：學(xué)生填寫二分之一問題的結(jié)果大小和該學(xué)生的成績有一定的負(fù)相關(guān)性。

整理數(shù)據(jù)時，不小心將填寫最大和最小的數(shù)的各7名同學(xué)從樣本中去除，二分之一問題平均值降為28.4，相關(guān)系數(shù)也降為-0.316。這里平均值降低是可以預(yù)期的，但相關(guān)系數(shù)的絕對值下降卻是出乎意料的。于是進行了進一步的如下分析。

如果將學(xué)生按照甲、乙班和A、B班分開統(tǒng)計，得到下表：

但是這里A班的相關(guān)系數(shù)降至-0.112，這個數(shù)據(jù)也就是說A班中二分之一問題的值和學(xué)生的成績不具有明顯的相關(guān)性。

結(jié)論2：對于成績較差的學(xué)生，其成績和其智力和思考能力具有一定的負(fù)相關(guān)性;成績較好的學(xué)生，其成績和其智力和思考能力的相關(guān)性很弱。

為了進一步驗證結(jié)論，若現(xiàn)在將A班人數(shù)縮小5人，相關(guān)系數(shù)會降至-0.032，這樣就幾乎沒有相關(guān)性了?？紤]到學(xué)校還是需要在提高學(xué)生能力的同時提高學(xué)生成績的。那么什么因素對提高學(xué)生成績有幫助還是需要進一步分析一下的。

最容易量化分析的就是孩子的作業(yè)質(zhì)量，如果在A班學(xué)生的數(shù)據(jù)中加入作業(yè)分。作業(yè)分和成績分的相關(guān)系數(shù)為0.376，具有較強的正相關(guān)性。那么作業(yè)分明顯的體現(xiàn)了學(xué)生的認(rèn)真程度。

結(jié)論3：對于成績較好的學(xué)生，其成績和認(rèn)真程度具有較強的正相關(guān)性。

綜上所述。對于普通的學(xué)生，智力水平基本上決定了其所能取得的成績。但是對于相對優(yōu)秀的學(xué)生，智力水平和能取得的成績相關(guān)性較弱，而非智力因素和能取得的成績具有較強的正相關(guān)性。

因此對于資優(yōu)生的培養(yǎng)，不應(yīng)該僅僅從智力方面進行培養(yǎng)，對于非智力因素，比如認(rèn)真、努力、堅持不懈等，也是需要著力培養(yǎng)的方面。

由于以上結(jié)論來自于單次的實驗，必然有其局限性。在未來教學(xué)工作中，還將繼續(xù)這方面的實驗。對同一批學(xué)生的不同類型的測試，以及不同批次的學(xué)生對同一類型的測試。并且研究更多的因素對學(xué)生的能力的影響。爭取能得到更詳盡的數(shù)據(jù)，以對學(xué)生的成長做出更好的指導(dǎo)。交流日期：2019.12