一道“零點(diǎn)”習(xí)題的探究教學(xué)

龍明旺 王芳

摘 要：探究式教學(xué)容易激起學(xué)生的好奇心，并使學(xué)生發(fā)揮創(chuàng)造力，讓學(xué)生用自己的思考方式和方法解決問(wèn)題，切實(shí)體會(huì)探究帶來(lái)的成長(zhǎng)與進(jìn)步，有利于學(xué)生必備品格和關(guān)鍵能力的培養(yǎng).本文以一道“零點(diǎn)”習(xí)題的教學(xué)為例，對(duì)探究式教學(xué)作了有益嘗試，學(xué)生達(dá)到的高度讓人驚嘆.

關(guān)鍵詞：零點(diǎn);探究;核心素養(yǎng)

傳統(tǒng)的講授式教學(xué)是通過(guò)大量的習(xí)題講解，教學(xué)生模仿、套用，卻不利于培養(yǎng)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力，不利于學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，不利于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展.筆者經(jīng)常會(huì)借助一些典型的問(wèn)題情境，開展探究課堂，激發(fā)學(xué)生的好奇心，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，深入思考，積極探究，并總結(jié)反思，創(chuàng)新命題，學(xué)生能達(dá)到的高度讓人驚嘆，現(xiàn)舉一例如下.

1.問(wèn)題提出

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了零點(diǎn)的概念和二次函數(shù)根的分布的基礎(chǔ)知識(shí)，于是，筆者提出了一道思考題：關(guān)于x的方程在上有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

這道思考題留給學(xué)生回家做一做，第二天課堂一起探究.

2.探究過(guò)程

老師先是詢問(wèn)學(xué)生，經(jīng)過(guò)昨天的思考和討論，大家有哪些切入點(diǎn)和轉(zhuǎn)化方向.

生1（方向一）：可以用二次函數(shù)根的分布.展示過(guò)程：

記，則

①解得

②，解得

（課堂上有學(xué)生討論了，有不同的看法）

生2：做的不完整，你怎么知道一定是二次函數(shù)？萬(wàn)一怎么辦？所以應(yīng)該分情況討論.接著，陳述過(guò)程：

當(dāng)時(shí)，，解得，不合要求;當(dāng)時(shí)，為二次函數(shù)，才是生1所說(shuō)的情況.

（課堂上還是有部分同學(xué)討論，感覺(jué)有不同的理解.）

生3：老師，生2沒(méi)有考慮邊界，因?yàn)榛蛞灿锌赡?，?yīng)該把改成.（課堂有學(xué)生說(shuō)有點(diǎn)道理，但是也有學(xué)生感覺(jué)不對(duì)，提出了異議.）

生4：如圖1，這樣也滿足，但是不符合題目唯一實(shí)根的條件.

（課堂上有學(xué)生討論說(shuō)，生4說(shuō)的是對(duì)的，那怎么處理呢？學(xué)生陷入沉思，但是臉上的表情反映內(nèi)心的迷茫，看來(lái)還需要一些點(diǎn)撥）

師：剛才幾位同學(xué)提出和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，表現(xiàn)得很好.現(xiàn)在這里碰到了難度，

還是討論不清楚.難在端點(diǎn)怎么處理？那同學(xué)們想一想，把和

合在一起討論，有困難，怎么辦？

生5：可以把單獨(dú)討論！

師：生5說(shuō)的非常好.逆向思維，退一步，海闊天空.接下來(lái)，如何討論呢？

生5：可以把或1代入方程，求出另一個(gè)根，看是否符合要求.過(guò)程如下：

當(dāng)x=0時(shí)，帶入方程得，原方程化為，即，解得另一個(gè)根，符合要求.

當(dāng)x=1時(shí)，帶入方程有，解得，原方程化為，即，解得另一個(gè)根，符合要求.

師：生5解得很好.在求另一個(gè)根時(shí)，除了把k帶入原方程，解出另一個(gè)根之外，還有沒(méi)有求另一個(gè)根的更簡(jiǎn)便方法？

生6：（反應(yīng)很快）可以用韋達(dá)定理，過(guò)程如下：

①當(dāng)x=0時(shí)，帶入方程得，設(shè)的另一個(gè)根為，由韋達(dá)定理有，解得，符合題目要求

②當(dāng)x=1時(shí)，帶入方程得即時(shí)，設(shè)的另一個(gè)根為，則由韋達(dá)定理可知，解得，符合題目要求.

師：時(shí)的情形，為什么不用？

生6：如果用用，這樣要么無(wú)解或有無(wú)數(shù)個(gè)解，還得通過(guò)來(lái)確定，這樣麻煩多了.

師：生6說(shuō)的太好了，選擇有講究，細(xì)節(jié)處理非常到位. （生6喜悅之情溢于言表）本題的答案應(yīng)該為四大類情況的并集，即.本題如果把閉區(qū)間改成是開區(qū)間，又如何做？答案還是一樣的嗎？

（接著學(xué)生看前面的討論過(guò)程）

生6：只需在前面的討論過(guò)程稍作修改就可以了.時(shí)的情形，把對(duì)稱軸改成.另外，把當(dāng)和時(shí)的情形，符合題目要求改成不合題目要求就可以了.

畫成圖形為圖2，

故答案應(yīng)該為

師：生6講的完全正確，非常好.我們把剛剛幾位同學(xué)的發(fā)言和探究成果做一個(gè)總結(jié)：

若二次函數(shù)在區(qū)間上有唯一實(shí)根，則分哪些情況討論？

生7：分三大類討論：

（1） ? ?（2）

（3）由或求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)，結(jié)合韋達(dá)定理求出另一個(gè)根，看是否符合要求.最后（1）（2）（3）求并集得到最終的答案.（教師黑板上板書成果）

師：生7歸納的很好.當(dāng)然，開區(qū)間也是類似的處理.如果沒(méi)有告知是二次函數(shù)，還要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，單獨(dú)進(jìn)行討論.回到原題，除了用根的分布這種代數(shù)方法求解，還有什么方法可解？或什么方向可以切入？

生8：可以用幾何方法，畫圖象來(lái)求解.具體為：

由得，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為左邊的函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.

師：切入點(diǎn)很好.那左邊函數(shù)，，還是呢？如何處理？

生8：分情況討論，畫圖象，如圖3，

由圖可知，，k = 0兩種情形，兩個(gè)圖像均沒(méi)有交點(diǎn)，所以k<0

師：生8數(shù)形結(jié)合得到k<0，做得很好，思路也很自然.同學(xué)們還有沒(méi)有別的方法，能直接看出k<0？

生9：可從函數(shù)值域上考慮.由于，所以，，故.

師：生9從代數(shù)上來(lái)看問(wèn)題，非常好.兩位同學(xué)都講得很對(duì)，接下來(lái)請(qǐng)生8繼續(xù)講一講的情形又如何處理？

生8：還是畫圖象.如圖4，記，則由圖可知，只需滿足且，解得.

圖4

師：生8的幾何方法很直觀，也非常簡(jiǎn)潔，解得很漂亮.掌聲鼓勵(lì)一下.本題是否還有別的解法或切入方向？

生10：能不能參變分離做？由得，已知，故參變分離得：，但到這一步，右邊的圖象不會(huì)畫，我做不下去了.

師：同學(xué)們考慮右邊函數(shù)能不能整式部分離？

生10：分母比分子次數(shù)高，沒(méi)辦法分離整式部分.

師：生10一語(yǔ)中的，那能不能化歸為分母比分子次數(shù)高呢？

生10：（反應(yīng)很快）可以取倒數(shù).

（有同學(xué)靈機(jī)一動(dòng)開始動(dòng)筆嘗試，有同學(xué)陷入沉思）

生10：，右邊的圖象還是不會(huì)畫？

師：當(dāng)我們遇到困難時(shí)，憑空跨越是不現(xiàn)實(shí)的，應(yīng)該努力思考，看是否見(jiàn)過(guò)形式類似的問(wèn)題？如果與某一熟知的問(wèn)題類似，我們?nèi)绾卫靡郧暗姆椒▉?lái)解決眼前的問(wèn)題？

生6：可類比以前求過(guò)的函數(shù)的值域的方法，換元，令x+1=t，則1≤t≤2，x=t-1，于是，把右邊函數(shù)的圖象畫出來(lái)，數(shù)形結(jié)合就很好做了.

生10：生6的做法只是求出常數(shù)函數(shù)與關(guān)于t的函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，并不是與關(guān)于x的函數(shù)y=的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題？

生6：x+1=t，這說(shuō)明x與t是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，一個(gè)x對(duì)應(yīng)著一個(gè)t，反過(guò)來(lái)，一個(gè)t對(duì)應(yīng)著一個(gè)x.所以關(guān)于t的方程：有多少個(gè)解，原方程就有多少個(gè)解.

生10：（豁然開朗）有道理.

生9：老師，取倒數(shù)后，為什么不直接換元呢？直接換元，跟前面求函數(shù)值域一樣，乞不是更簡(jiǎn)單嗎？（學(xué)生一下子進(jìn)入興奮狀態(tài)）

生9：令x+1=t，則，x=t-1，.

師：剛才幾位同學(xué)經(jīng)過(guò)思維的碰撞與討論，把問(wèn)題討論的很透，很了不起.接著請(qǐng)同學(xué)們畫圖，看不能把答案做出來(lái)？

（學(xué)生動(dòng)筆很快，也有同學(xué)好像有所頓悟，似乎在思考能不能更簡(jiǎn)單一點(diǎn)）

生9：（幾分鐘后黑板展示解答）由圖5可知，，畫圖6解得.

師：（沿教室查看一圈）我發(fā)現(xiàn)只有一半的同學(xué)正確畫出了圖象，很多同學(xué)平移時(shí)畫錯(cuò)了，也有少數(shù)幾個(gè)同學(xué)沒(méi)有畫漸進(jìn)線.能不能避開平移這個(gè)步驟，減少平移帶來(lái)的畫圖錯(cuò)誤？關(guān)鍵是表達(dá)式中的減2如何處理？

生：（反應(yīng)很快）很多學(xué)生齊聲說(shuō)：移到等式的左邊去.

師：同學(xué)們說(shuō)的非常好，這樣，等式就變成，右邊變成了雙曲函數(shù).

生8：老師，還可以再簡(jiǎn)單一點(diǎn)，把等式分母中的2也可以去掉，左右兩邊同乘法以2，從而等式化為.其實(shí)，在這里里，就可以把2去分母處理掉，然后換元，更簡(jiǎn)單.

師：很好的發(fā)現(xiàn)，了不起.（班里同學(xué)對(duì)生8投來(lái)欽佩的目光）請(qǐng)同學(xué)們?cè)佼媹D，能不能快速做出來(lái)？

生8：（黑板上解答）如圖7，由得，解得

圖7

（教師環(huán)顧一周，發(fā)現(xiàn)學(xué)生基本上都做出來(lái)了）

師：同學(xué)們基本上都做對(duì)了.總結(jié)一下，通過(guò)本題，利用參變分離來(lái)處理函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)通過(guò)代數(shù)變形如取倒數(shù)、換元等方法化歸到什么程度會(huì)比較理想？有沒(méi)有什么標(biāo)準(zhǔn)？

生11：參數(shù)和常數(shù)放一邊，另外一邊化歸為熟悉簡(jiǎn)單的函數(shù)，就可以了.

師：生11歸納得非常好，簡(jiǎn)單通俗易懂.所謂熟悉簡(jiǎn)單的函數(shù)就是我們教材上出現(xiàn)的基本函數(shù)如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，講過(guò)的基本函數(shù)如雙曲函數(shù)等.陌生的函數(shù)通過(guò)代數(shù)變形如取倒數(shù)、換元等，化歸為簡(jiǎn)單的函數(shù)，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，簡(jiǎn)單問(wèn)題通俗化，數(shù)學(xué)道理至精至簡(jiǎn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約之美.

3.創(chuàng)新命題

學(xué)生通過(guò)探究上述的思考題，掌握了函數(shù)零點(diǎn)常用的方法：代數(shù)方法、幾何方法和數(shù)形結(jié)合方法.教師提問(wèn)：能不能根據(jù)本題，自己命出新的函數(shù)零點(diǎn)試題？哪位同學(xué)能夠拋磚引玉一下？

生9：系數(shù)變一變，由，其中，代入得：

，化簡(jiǎn)得.故命出新題為：

已知關(guān)于x的方程在上有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

生8：能不能把中的t換成別的函數(shù)呢？

師：兩位同學(xué)的思維都非常好，切入點(diǎn)也做得不錯(cuò).請(qǐng)同學(xué)們自己嘗試當(dāng)一次命題人，題目命好后可按生9這樣，把命題的過(guò)程寫在黑板上.

（學(xué)生都躍躍欲試，在課堂練習(xí)本上開始命題.）

接著黑板上學(xué)生成果展示如下：

生12：由，其中，代入化簡(jiǎn)得.

新題為：已知關(guān)于x的方程在上有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

生13：由，其中，代入化簡(jiǎn)得

.于是，新題呈現(xiàn)為：

已知關(guān)于x的方程在上有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

生8：由，其中，代入化簡(jiǎn)得.故新題為：已知關(guān)于x的方程在上有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

生6：將改成，其中，代入化簡(jiǎn)得

.于是，新題為：已知關(guān)于x的方程

在上有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

師：同學(xué)們太厲害了，命題有寬度，都成 “命題專家”了.現(xiàn)在站在如此高度回頭俯視前面的思考題，應(yīng)該看得更加透徹.請(qǐng)同學(xué)們同桌相互檢查命出的新題，然后做對(duì)方的新題，并請(qǐng)對(duì)方批改指正.

4.總結(jié)反思

在整個(gè)討論、探究過(guò)程中，學(xué)生注意力專注，配合積極，探究的興趣也比較濃厚，臉上洋溢著對(duì)知識(shí)和探究的渴望，也有獲得的喜悅與自豪.

整個(gè)探究過(guò)程按照學(xué)生先行、交流呈現(xiàn)、教師斷后的步驟在進(jìn)行，教師只是引導(dǎo)與協(xié)助，把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)與探究，找到解決問(wèn)題的方向與步驟，最后，教師協(xié)助學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)與評(píng)價(jià)反思.

思考題的探究方法有三種，方法一常規(guī)，最容易想到，能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力，但學(xué)生容易錯(cuò)解或漏解，通過(guò)探究，學(xué)生能深刻的感受思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，有助于好的思維習(xí)慣和品質(zhì)的培養(yǎng)。方法二利用幾何直觀，借助形象思維獲得出奇制勝的精巧解法，感受函數(shù)的幾何之美，利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維. 華羅庚教授說(shuō)得好，“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離.”華老這些話對(duì)我們的數(shù)學(xué)解題具有極深刻的啟示.數(shù)形結(jié)合解題常使我們的思維豁然開朗，視野格外開闊.方法三正是數(shù)形相輔相成的產(chǎn)物.但是，方法三中最難的是代數(shù)變形與化歸. 美籍匈牙利著名數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)：“不斷地變換你的問(wèn)題.”他認(rèn)為，解題過(guò)程主要是問(wèn)題的變換過(guò)程，“我們必須一再地變換她，重新敘述她，變換她，直到最后成功的找到某些有用的東西為止.” 化歸的實(shí)質(zhì)是把所需要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問(wèn)題，或容易解決的問(wèn)題.同原問(wèn)題相比，化歸后的新問(wèn)題必須是已經(jīng)解決或較為熟悉、簡(jiǎn)單的問(wèn)題，它是數(shù)學(xué)最重要、最基本的思想之一. 化歸的原則是以已知的、簡(jiǎn)單的、具體的、特殊的、基本的知識(shí)為基礎(chǔ)，將未知的化為已知的，復(fù)雜的化為簡(jiǎn)單的，抽象的化為具體的，一般的化為特殊的，非基本的化為基本的，從而得出正確的答案.方法三中，學(xué)生歸納總結(jié)得到：通過(guò)取倒數(shù)、換元和移項(xiàng)的代數(shù)變形，最終化歸為簡(jiǎn)單熟悉的雙曲函數(shù)，而且化歸的目標(biāo)就是簡(jiǎn)單熟悉的函數(shù)，大道至簡(jiǎn)，十分難得.通過(guò)方法三，可讓學(xué)生理解題目解答的動(dòng)機(jī)和步驟，并需要學(xué)生嘗試去主動(dòng)探索這些動(dòng)機(jī)和步驟，從而理解和品味數(shù)學(xué).最后命制新題，可進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的好奇心，高屋建瓴的看待函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，也有利于學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).

課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)題目只是學(xué)習(xí)的載體，題目可能本身很平常，但是若它能激起學(xué)生的好奇心，并使學(xué)生發(fā)揮創(chuàng)造力，而且讓學(xué)生用自己的思考方式和方法解決了問(wèn)題，那么學(xué)生就能切實(shí)體會(huì)到一些進(jìn)步和成長(zhǎng)，而且享受發(fā)現(xiàn)的喜悅又會(huì)促進(jìn)學(xué)生探究和思考的熱情與興趣，這樣的經(jīng)歷過(guò)程有利于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)智力思考的愛(ài)好和習(xí)慣，對(duì)學(xué)生的思想和品格也會(huì)留下深刻的影響，終身受益，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.