胥佩彤 南開大學(xué)金融學(xué)院

對長壽風(fēng)險和利率風(fēng)險的量化是商業(yè)養(yǎng)老年金定價、風(fēng)險管理與償付能力評估的基礎(chǔ)。為評估養(yǎng)老年金的利率下行風(fēng)險與長壽風(fēng)險，本文采用微分重要性測度與情景對比法對終身養(yǎng)老年金負債現(xiàn)金流的精算現(xiàn)值進行敏感性分析，測度養(yǎng)老年金成本中長壽風(fēng)險和利率風(fēng)險的相對重要性，并量化風(fēng)險規(guī)模。研究表明，在利率下行背景下，長壽風(fēng)險對養(yǎng)老年金成本的負面效應(yīng)有所加強；而在高利率水平下，長壽風(fēng)險的相對重要性顯著下降。此外，情景分析結(jié)果表明，利率因素和死亡率因素的交叉效應(yīng)對養(yǎng)老年金負債水平影響顯著。

一、引言

隨著經(jīng)濟發(fā)展水平的提高和醫(yī)療技術(shù)的進步，我國人口整體預(yù)期壽命顯著提升。但對于養(yǎng)老年金業(yè)務(wù)而言，投保人群整體性的死亡率改善將帶來較大的系統(tǒng)性長壽風(fēng)險，這意味著未來領(lǐng)取生存金人數(shù)的增多和領(lǐng)取期限的延長，給付總額將會不斷提高，養(yǎng)老年金賬戶負債端將承受較大壓力。未預(yù)期的長壽風(fēng)險將導(dǎo)致保險公司定價時低估費率，極有可能引發(fā)償付能力不足的風(fēng)險。

與此同時，全球都在經(jīng)歷低利率甚至負利率時期，而我國則可能將在經(jīng)濟“新常態(tài)”下保持較長時間的低利率環(huán)境。養(yǎng)老年金產(chǎn)品一般期限較長，因而對利率的敏感性更高，當(dāng)評估利率下降時，未來給付現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值變大，養(yǎng)老年金產(chǎn)品的責(zé)任準備金將會顯著上升。此外，在長期利率下行階段，保險公司再投資風(fēng)險升高，若此時年金預(yù)定利率高于實際投資回報率，養(yǎng)老年金業(yè)務(wù)就會出現(xiàn)較為嚴重的利差損問題。

當(dāng)利率下行與長壽風(fēng)險共存時，就會給養(yǎng)老年金產(chǎn)品的負債端帶來雙重考驗。但是，究竟是利率風(fēng)險還是長壽風(fēng)險對養(yǎng)老年金負債端的負面影響更大，兩種風(fēng)險是否存在交互效應(yīng)，又該如何量化利率風(fēng)險和長壽風(fēng)險？國內(nèi)外學(xué)者對此進行了廣泛討論，結(jié)論也并不一致。Mahayni和Steuten（2011）研究了遞延年金的系統(tǒng)性死亡率和利率風(fēng)險，表明隨機死亡率對年金的影響比隨機利率小，且其風(fēng)險主要源于與隨機利率的相互作用。Haberman等（2011）將熵的概念引入年金成本的分析中，研究表明利率越低，熵值越大，長壽風(fēng)險對年金給付現(xiàn)值的影響越大，在死亡率極高與極低的情景下，死亡率對年金成本的影響變小。Liu（2013）定義了年金率以表征年金的系統(tǒng)性風(fēng)險，研究了隨機利率和隨機死亡率對年金率的相對影響，表明年金率對長期利率最敏感，但當(dāng)利率處于低位時長壽風(fēng)險將會變大。Karabey等（2014）使用Hoeffding分解和泰勒展開兩種方法確定了利率風(fēng)險和死亡率風(fēng)險對年金價值的邊際風(fēng)險貢獻。Rabitti等（2020）使用局部敏感性與全局敏感性分析法比較了利率和死亡率對年金的影響，表明人口因素是低利率背景下最重要的風(fēng)險來源，而在考慮了兩種風(fēng)險的不確定性時，利率風(fēng)險成為全局風(fēng)險的主要驅(qū)動因素。國內(nèi)文獻方面，祝偉和陳秉正（2008）分析了使用新生命表對個人年金產(chǎn)品價格的影響，為從年金產(chǎn)品價格被低估的角度來衡量長壽風(fēng)險提供了參考，研究表明，利率越低，長壽風(fēng)險的負面效應(yīng)越強。段白鴿（2019）研究發(fā)現(xiàn)，利率風(fēng)險和長壽風(fēng)險存在對沖，低利率情況下長壽風(fēng)險更顯著。

為了將利率下行風(fēng)險與長壽風(fēng)險對年金成本的負面影響進行量化和對比，本文基于Haberman等（2011）和Rabitti等（2020）的理論框架，采取微分重要性測度和情景對比法兩種敏感性分析方法，測度死亡率和利率在影響?zhàn)B老年金負債端的相對重要性，并量化利率風(fēng)險和死亡率風(fēng)險分別對養(yǎng)老年金成本影響的方向和規(guī)模，以及兩種風(fēng)險共存的情況下對養(yǎng)老年金成本產(chǎn)生的交叉效應(yīng)。

二、敏感性分析理論模型

（一）基于生命表的微分重要性測度

假設(shè)被保險人購買了連續(xù)終身年金，生存金的起付年齡為x歲，該年金在被保險人年滿x歲后每年支付一個單位的生存金，直至被保險人死亡。假設(shè)僅考慮該養(yǎng)老年金的未來生存金給付現(xiàn)金流，不考慮退保、費用等因素，在被保險人年滿x歲時該連續(xù)年金的負債現(xiàn)金流的精算現(xiàn)值āx為：

其中，δ表示連續(xù)復(fù)利情景下的利率，生存概率，代表x歲的被保險人活過t年的概率，μx代表被保險人x歲時死亡力。從式（1）中可以看出在相同年齡情況下，年金成本āx主要受利率δ和死亡力μx的影響。

假設(shè)死亡力μx變動φ個單位，被保險人在x歲的死亡力變?yōu)棣蘹*=μx（1+φ），此時生存概率為：

假設(shè)δ變動λ個單位，即利率變?yōu)棣?=δ（1+λ）。此時，連續(xù)終身年金負債端現(xiàn)金流的精算現(xiàn)值為：

定義函數(shù)f(φ,λ)=μx*/āx以此衡量利率和死亡率改變后養(yǎng)老年金現(xiàn)值的相對變化水平。函數(shù)f(φ,λ)在點(0,0)處的一階泰勒展開式為：

其中，

式（5）中Hx(δ)是Haberman等（2011）研究中年金成本的熵。熵值為正，用來衡量年金成本對死亡率的敏感程度。熵值越大，代表死亡率每改變一個單位將導(dǎo)致年金成本的變化幅度越大。Hx(δ)與利率δ呈反比關(guān)系，意味著隨著利率的增加，熵值減小，年金成本對死亡率的敏感性變低，即高利率下，死亡率對年金成本的影響較小。

同樣地，f(φ,λ)對λ求偏導(dǎo)，結(jié)果為：

其中，Λx為Salinelli（1990）研究中年金產(chǎn)品的久期。

Rabitti等（2020）將f(φ,λ)分別對φ和λ求偏導(dǎo)的結(jié)果，構(gòu)建微分重要性測度指標。如式（7）所示，死亡率風(fēng)險因子φ和利率風(fēng)險因子λ的微分重要性測度指標分別為Dφ和Dλ，該指標是將偏導(dǎo)數(shù)的梯度信息歸一化后的比例：

分別代入式（5）和式（6），得到年金成本的微分重要性測度表達式為：

式（8）將熵值和久期有機結(jié)合起來，通過Dφ和Dλ的值就可以得出死亡率變化幅度φ和利率變化幅度λ的相對重要性水平，并據(jù)此對利率風(fēng)險和長壽風(fēng)險的重要性進行排序。

其中，ω為生命表中的最大年齡。式（6）中久期Λx的離散形式近似方法與此類似。

（二）基于Gompertz模型的情景對比法

假設(shè)死亡率服從Gompertz模型，即μx=exp(b+cx)。根據(jù)Haberman等（2011）的研究，引入死亡率隨時間變化的動態(tài)特征，假設(shè)瞬時死亡率以exp(-αt)指數(shù)形式衰減下降，即。此時，生存概率為：

將式（10）代入終身連續(xù)年金負債現(xiàn)金流的表達式（1），得到：

為使生存概率不大于1，假設(shè)α＜c。

為研究式（11）中的各參數(shù)變化對養(yǎng)老年金成本的影響，使用情景對比法進行直觀分析。以基礎(chǔ)情景z0為基準，設(shè)定樂觀情景z+和悲觀情景z-的參數(shù)，使用控制變量法將基礎(chǔ)情景下的參數(shù)逐個變更為其他情景中的參數(shù)，并與基礎(chǔ)情景下的輸出變量結(jié)果做對比，得到單因素變化對輸出結(jié)果的影響。即輸入變量變?yōu)楹?，將輸出結(jié)果、與基礎(chǔ)情景的結(jié)果g(z0)做差，就可以得到各因素對輸出結(jié)果的影響幅度：

從基礎(chǔ)情景轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌榫昂?，輸出結(jié)果的總變化值記為Δg，將其拆解為：

其中，遞推公式如下所示：

上式中，Δgi=1,2,...,n稱為變量zi的主效應(yīng)，其余高階項稱為交叉效應(yīng)。

將式（13）中包含i的項目加總，得到變量zi對輸出結(jié)果變化值Δg的總貢獻ΔTgi：

變量zi的總交叉效應(yīng)ΔIgi，可以通過zi的總效應(yīng)ΔTgi與主效應(yīng)Δgi作差得到：

三、實證分析

（一）微分重要性測度實證分析

1.數(shù)據(jù)來源與參數(shù)設(shè)定

基于《中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗生命表（2000—2003）》中的養(yǎng)老金業(yè)務(wù)表（CL3-4）以及《中國人身保險業(yè)經(jīng)驗生命表（2010—2013）》的養(yǎng)老類業(yè)務(wù)表（CL5-6），計算不同年齡不同利率水平下養(yǎng)老年金的熵值。根據(jù)我國現(xiàn)階段的法定退休年齡，將養(yǎng)老年金起付年齡x選取為45、50、55、60和65歲。根據(jù)當(dāng)前行業(yè)壽險定價利率與評估利率，將年化利率選取為0.5%、1%、2.5%、3.5%和6%。

2.實證結(jié)果與解釋

下面以男性養(yǎng)老年金的微分重要性測度結(jié)果為主進行分析。如表1所示，在固定利率水平下，隨著年齡的增長，死亡率重要性測度值Dφ呈現(xiàn)遞增趨勢，意味著給付年齡越大，養(yǎng)老年金成本對死亡率的敏感性越高。由于Dφ和Dλ相加為1，因此利率因素和死亡率因素的相對重要性呈現(xiàn)此消彼長的動態(tài)關(guān)系，在Dφ增高時，Dλ逐漸降低，在起付年齡較高的情況下，養(yǎng)老年金對死亡率的敏感性相較于利率因素更高。因此，實證結(jié)果表明，在固定利率水平下，隨著養(yǎng)老年金起付年齡的升高，長壽風(fēng)險導(dǎo)致養(yǎng)老金成本上升的幅度會變大。

表1 基于CL3（2000—2003）的微分重要性測度

從橫向結(jié)果對比來看，當(dāng)起付年齡相同時，死亡率重要性呈現(xiàn)此消彼長的動態(tài)關(guān)系，在Dφ增高時，Dλ逐漸降低，在起付年隨著利率的升高而降低，意味著在高利率水平下，利率改變引起的養(yǎng)老年金成本的變化遠遠大于死亡率帶來的結(jié)果。反之，利率下降，死亡率重要性呈現(xiàn)此消彼長的動態(tài)關(guān)系，在Dφ增高時，Dλ逐漸降低，在起付年逐漸升高，養(yǎng)老年金成本對死亡率的敏感性逐漸變大。這表明，長壽風(fēng)險對養(yǎng)老年金負債的負面效應(yīng)在利率下行階段得到加強，在低利率情況下，長壽風(fēng)險導(dǎo)致養(yǎng)老金成本的增加幅度將變大。該結(jié)論與祝偉和陳秉正（2008）、Liu（2013）等的一致。

如表2所示，基于2010—2013版生命表的重要性測度結(jié)果驗證了前述結(jié)論。此外，對比表1與表2后，可以看出2010—2013版生命表的死亡率重要性測度結(jié)果呈現(xiàn)此消彼長的動態(tài)關(guān)系，在Dφ增高時，Dλ逐漸降低，在起付年普遍高于2000—2003版生命表，表明在保持利率不變的情況下，與邊際效用遞減類似，死亡率改善會使年金成本對死亡率的敏感性下降。以60歲男性為例，在1%的利率水平下，盡管表2的重要性呈現(xiàn)此消彼長的動態(tài)關(guān)系，在Dφ增高時，Dλ逐漸降低，在起付年相較于表1有所下降，但Dφ仍然大于Dλ，表明在低利率和死亡率改善并存的情況下，總體上仍呈現(xiàn)長壽風(fēng)險重要性的增加。

表2 基于CL5（2010—2013）的微分重要性測度

前述規(guī)律與女性生命表計算的結(jié)果一致，故在此不作展示。由于女性整體的死亡率低于男性，導(dǎo)致計算出來的死亡率重要性測度Dφ值整體低于男性，Dλ值整體高于男性，表明女性養(yǎng)老年金對長壽風(fēng)險的敏感性相較于男性偏低。

（二）情景對比法實證分析

1.數(shù)據(jù)來源

本部分采用2020年《中國人口和就業(yè)統(tǒng)計年鑒》中全國分性別、年齡死亡人口的數(shù)據(jù)進行情景對比法下的敏感性分析。該數(shù)據(jù)為2018年11月1日至2019年10月31日全國人口抽樣調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，包含了男性和女性0—89歲各個年齡以及90歲及以上的年平均人口數(shù)和死亡人口數(shù)。

2.Gompertz模型擬合結(jié)果

使用Gompertz模型對45—89歲人群的死亡力進行擬合。分別將男性和女性的年平均人口數(shù)作為暴露數(shù)Ex，各年齡的死亡人口數(shù)記為dx，計算出各年齡下的死亡力μx=dx/Ex。將μx對數(shù)化，并關(guān)于年齡作線性回歸，擬合結(jié)果如圖1和圖2所示。

圖1與圖2的橫軸為年齡，縱軸為對數(shù)死亡力，散點為觀測數(shù)據(jù)，直線為Gompertz模型的擬合結(jié)果。從圖中可以看出，Gompertz模型對60—89歲人群的死亡率擬合效果較好，因此下文計算終身年金成本時，死亡率使用該擬合結(jié)果。此外，為簡化分析，本文使用Gompertz模型外推90歲及以上的超高齡人群的死亡率，這與真實情況可能會存在一定偏差。

圖1 男性Gompertz模型擬合效果

圖2 女性Gompertz模型擬合效果

3.參數(shù)設(shè)置與情景選擇

為設(shè)定樂觀情景和悲觀情景的參數(shù)，首先設(shè)置b、c、α、δ的變動范圍。以Gompertz模型的擬合結(jié)果作為基礎(chǔ)情景下的b、c值，Gompertz模型的參數(shù)估計結(jié)果如表3所示。設(shè)b的變動范圍為上下變動10%，即上限為0.9b，下限為1.1b；c的變動上下限為±0.005；死亡率改善因子α的變動范圍為（-0.07,0.07）；利率δ的變動范圍為（0,0.1）。各參數(shù)的變動范圍匯總結(jié)果如表3所示。

表3 Gompertz模型擬合結(jié)果與參數(shù)變動范圍

依據(jù)Rabitti等（2020）的研究成果，選定男性被保險人的基礎(chǔ)情景為：

樂觀情景下，

悲觀情景下，

女性被保險人基礎(chǔ)情景的參數(shù)設(shè)置為：

樂觀情景下，

悲觀情景下，

4.情景對比結(jié)果

假設(shè)終身養(yǎng)老年金的起付年齡為60歲，根據(jù)式（11），計算不同參數(shù)下的年金負債現(xiàn)值āx（b、c、α、δ），通過與基礎(chǔ)情景成本的對比結(jié)果來判定樂觀情景和悲觀情景。樂觀情景下的死亡率和利率高于基礎(chǔ)情景，養(yǎng)老年金成本變低，而悲觀情景下的死亡率和利率均低于基礎(chǔ)情景，成本變高。以男性為例，男性基礎(chǔ)情景下的養(yǎng)老年金負債的精算現(xiàn)值為18.217，樂觀情景參數(shù)下得到的養(yǎng)老年金成本為7.213，悲觀情景下為41.985。根據(jù)式（12）至（16），將樂觀情景和悲觀情景下各參數(shù)對養(yǎng)老年金成本的主效應(yīng)、總效應(yīng)和交叉效應(yīng)進行拆分，結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 男性情景對比法變化情況

圖4 女性情景對比法變化情況

圖中橫軸代表養(yǎng)老年金成本的變化值，縱軸代表兩種情景下b、c、α、δ四個變量對應(yīng)的主效應(yīng)Δgi、總效應(yīng)ΔTgi和交叉效應(yīng)ΔIgi，正負號分別代表樂觀情景和悲觀情景，柱狀圖的方向和長度顯示了b、c、α、δ引致的養(yǎng)老年金成本的變化值。

如圖3所示，樂觀情景下參數(shù)b、δ的主效應(yīng)Δgi+最高，當(dāng)b的絕對值下降10%時，男性養(yǎng)老年金成本下降6.15，當(dāng)利率δ上升為0.05時，養(yǎng)老年金成本下降5.28；從總效應(yīng)來看，b是最重要的因素，參數(shù)b帶來的總效應(yīng)約為-3，其次是利率δ；從交叉效應(yīng)ΔTgi+來看，b、c、α、δ四個因素在積極情景下的交叉效應(yīng)均為正值，即死亡率因素和利率因素對養(yǎng)老年金成本共同作用的結(jié)果是提高了年金成本，利率δ的交叉效應(yīng)最高，其次為b和死亡率改善因子α。悲觀情景下，b的主效應(yīng)最高，其次為α和δ；總效應(yīng)和交叉效應(yīng)與樂觀情景下的重要性排序情況相同。圖4中女性的情景對比結(jié)果與男性基本相同，對年金成本影響較大的是和α。從情景對比法的實證結(jié)果來看，利率因素和死亡率因素對年金成本的交叉效應(yīng)對養(yǎng)老年金成本的負面影響顯著。

四、結(jié)論與不足

本文使用微分重要性測度法和情景對比法對影響?zhàn)B老年金成本的死亡率風(fēng)險和利率風(fēng)險進行了敏感性分析。在微分重要性測度模型下，運用Haberman等（2011）和Rabitti等（2020）的理論框架，將年金久期與熵值結(jié)合，并基于2000—2003年和2010—2013年我國人身保險業(yè)兩套經(jīng)驗生命表進行計算，得到不同年齡及不同利率水平下的死亡率和利率風(fēng)險因素的重要性測度指標。實證分析表明，在低利率的背景下，長壽風(fēng)險會導(dǎo)致養(yǎng)老年金成本的上升幅度更為顯著；隨著生存金起付年齡的增長，長壽風(fēng)險逐漸增強；隨著死亡率的改善，年金成本對長壽風(fēng)險的敏感性逐漸降低。

在基于情景對比法的敏感性分析中，本文采用Gompertz模型對老年人口的死亡率進行了擬合，并將擬合結(jié)果作為基礎(chǔ)情景下的參數(shù)，接著把死亡率參數(shù)和利率參數(shù)對養(yǎng)老年金成本的主效應(yīng)、總效應(yīng)和交叉效應(yīng)進行了拆解計算，最后通過圖形展示了不同情景下養(yǎng)老年金成本相對于基礎(chǔ)情景的變化情況。結(jié)果表明，利率因素和死亡率改善因素均會對年金成本有較大影響，同時，死亡率和利率的交叉效應(yīng)對年金成本的負面影響顯著。

綜上所述，保險公司對養(yǎng)老年金系統(tǒng)進行風(fēng)險評估時，需要綜合考慮利率變化和死亡率改善的情況，將長壽風(fēng)險和利率下行的負面效應(yīng)有機整合，重視利率因素和死亡率因素的交叉效應(yīng)。本文的不足之處有：使用的兩種敏感性分析方法為局部敏感性分析法，輸入變量有限；利率采用的是固定利率期限結(jié)構(gòu)，未考慮利率和死亡率等風(fēng)險因素的不確定性；情景對比分析法下使用Gompertz模型對超高齡人口的死亡率外推這一做法并不精確等。