劉應(yīng)平 喬志成

一年一度的中考數(shù)學(xué)壓軸題，既是命題者頭痛的“磨難”命制，更是考生心有余悸的“傷痛”.如何處理好命題人的出題心理和考生的答題心理，對中考壓軸題的命題研究就是一件必不可少的實踐活動.本文以2021年山西省中考數(shù)學(xué)壓軸題為載體，回顧命題過程，暴露命題思維，展示命題藝術(shù)，思考命題導(dǎo)向和教學(xué)改革.

【命題思考】

1.命題設(shè)想

為了充分發(fā)揮中考壓軸題的考查功能和選拔作用，命題組確定了“用廣度、深度、梯度來增加試題區(qū)分度和難度”的出題思路，以及突出考查學(xué)生核心素養(yǎng)水平的目標(biāo)為宗旨.通過布局點和線實現(xiàn)空間圖形與函數(shù)問題的結(jié)合;通過由靜到動的探索過程拓展試題的深度;通過具有內(nèi)在聯(lián)系的問題串逐步引導(dǎo)學(xué)生思考，鋪設(shè)合理的梯度;采用探究性題型達到思維路徑、解題方法的開放性.于是形成如下出題方案：

（1）布局點和線等基本元素，形成常見的幾何圖形，有利于考查學(xué)生的幾何直觀能力.另外，兼顧運算量，避免繁難計算造成的解題思維障礙.

（2）先設(shè)置關(guān)于定點、定線的問題，引導(dǎo)學(xué)生建了立方程模型解決問題，再圍繞動點、動線設(shè)置問題以探索萬變中的“不變量"或“不變關(guān)系"，并利用函數(shù)模型分析解決.

（3）關(guān)注問題串的層次，強化知識間的內(nèi)在聯(lián)系，優(yōu)化對學(xué)生抽象、邏輯推理的考查.

2.搭建框架

命題組決定選取2018年山西省中考數(shù)學(xué)試卷第23題作為題源，圍繞考點進行改編.不改變開口方向的情況下，適當(dāng)改變拋物線解析式的表達式，同樣將它與x軸、y軸交點作為基礎(chǔ)條件，確定直線AC、BC的函數(shù)表達式，運算量低，拋物線的形狀寬窄適度.這三點與原點結(jié)合形成了常見的直角三角形，可以考查學(xué)生的運算能力.接下來選擇拋物線和直線搭配，讓問題更豐滿.可是讓直線運動還是讓拋物線運動呢？命題組經(jīng)歷幾番討論，選取兩者交點“兩定兩動”的模型.

3.琢磨完善

動態(tài)問題對學(xué)生的思維是極富挑戰(zhàn)性的，怎樣為學(xué)生放置指示思維方向的路標(biāo)成為命題思考的焦點，命題者從山西省近幾年的考情分析入手，著重如下三方面考慮，一是改變動點P的位置，由第四象限轉(zhuǎn)入第三象限，轉(zhuǎn)換角度以調(diào)整思路;二是存在性問題，山西五年分別考了線段中點、三等分點、等腰三角形、全等三角形、平行四邊形等數(shù)學(xué)模型，確定考查特殊四邊形模型為命題的思考方向，即選擇“菱形存在性”.那么怎樣設(shè)置命制這類考題呢？需要命題組弄清楚“菱形存在性”問題的本質(zhì)是等腰三角形的存在性.這類菱形存在性問題，首先要引導(dǎo)學(xué)生回顧復(fù)習(xí)菱形的性質(zhì)，又只是教材上關(guān)于菱形的邊、角、對角線的性質(zhì)，還要把菱形與等腰三角形聯(lián)系起來，思考菱形的對角線將菱形分成的三角形都為等腰三角形這一性質(zhì)，這樣就可以把菱形存在性問題轉(zhuǎn)化為等腰三角形的存在性問題，而探究等腰三角形們存在，往往是已知兩個定點，第三個頂點待定，這時需要以兩個定點的連線段為邊、對角線分別討論，確定第三個頂點的不同位置;在此基礎(chǔ)上再研究菱形的第四個頂點的位置.等學(xué)生都熟練掌握了菱形的存在性問題如何探求之后，再把原問題中的無關(guān)線條、圖形通過刪減和重新畫圖的方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會排除干擾，開展目標(biāo)解析，逐個突破，攻克這類問題;三是結(jié)合命題設(shè)想尋找運動過程中的不變量.由于拋物線的解析式確定，頂點坐標(biāo)、對稱軸的表達式以及△ABC的圖形也被唯一確定，這些都成為題目的不變量.于是命題組抓住△ABC的面積是定值這一條件，緊緊圍繞過點P作BC的平行線l運動過程中，得到的動態(tài)△DMN，若其面積與△ABC的面積相等時，則線段DM之長為多少.這樣，命題組集體逐小題共同審核，從試題的表述到試題的格式再到試題的解答等逐一審核，確保無誤.使本試題進一步得到完善，變得更為科學(xué)規(guī)范.

通過以上三方面的考慮，針對學(xué)生的差異性，從搭建破題階梯思考，有效設(shè)置了三個小問題，其中第（1）問針對全體學(xué)生提出考查較低要求的數(shù)學(xué)抽象和運算能力，只要積極思考動筆，90%的學(xué)生都可獲得該分值;第二問的兩小題是為學(xué)業(yè)水平較高的學(xué)生提供的考試路標(biāo)，即讓學(xué)生會處理動手和動腦之間的關(guān)系，通過作圖構(gòu)造幾何模型，來考查學(xué)生動手操作圖形的能力，通過分類討論的思想方法，考查學(xué)生思維的周密性，通過建構(gòu)方程模型，有意向?qū)W生滲透“動中有靜、靜中有動”對立的辯證思想.總之，本考題將“方程—函數(shù)—幾何—動點（線）”相結(jié)合，綜合創(chuàng)新命題，全面考查學(xué)生核心素養(yǎng).

【答題分析】

從學(xué)生答題心理分析：由于題中給出不帶參數(shù)的二次函數(shù)解析式，降低了試題的難度，學(xué)生很容易從圖像與坐標(biāo)軸的交點，獲得A、B、C三點的坐標(biāo)，這樣直線AC、BC的函數(shù)表達式就一目了然;對于第（2）兩小題，一方面考生必須明白它屬于"兩定十兩動”菱形模型的存在性問題.解答時，應(yīng)著眼于虛擬一個動點，圍成一個三角形，過三角形的每一個頂點畫對邊的平行線，三條線兩兩相交，就可以確定菱形的第四個頂點，但是題中明確告知過動點D的動直線l∥BC，所以第四個頂點不外乎與動直線l∥BD或l∥CD的情況下獲取的;另一方面考生能通過對稱軸方程和兩直線方程與已知圖形面積相等條件確定M、D兩點的坐標(biāo)，再通過兩點間的距離公式或勾股定理求得線段DM之長.這不但有效地考查了數(shù)形丶方程、函數(shù)、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想提煉數(shù)學(xué)模型的能力，而且考查了學(xué)生綜合分析丶判斷、解決問題的能力.

【命題導(dǎo)向】

1.核心素養(yǎng)的考查

經(jīng)過數(shù)次的反思與修改，圍繞學(xué)生核心素養(yǎng)的考查，形成了這樣一道壓軸題.從中筆者感悟到省命題組所展示的中考壓軸題通過探究能更好地凸顯對學(xué)生核心素養(yǎng)的考查，而且這樣的探究性題目最好采用“選擇基本圖形，研究變化規(guī)律，適度調(diào)整條件，探究設(shè)問方向”的方法，通過不斷嘗試，形成試題，體現(xiàn)了以下三點要義：

“選擇基本背景.”選擇一個具有良好數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的背景，改變適當(dāng)?shù)膱D形條件，就可以創(chuàng)造出一個新的試題.在二次函數(shù)、一次函數(shù)的組合背景中，分別選擇三角形、特殊四邊形作為研究角度進行嘗試，在嘗試中發(fā)現(xiàn)拋物線對稱軸的研究價值，將動直線與對稱軸的存在性聯(lián)系起來，增加題目分析過程的復(fù)雜性，從而給出全新的形式，加大考查探究與發(fā)現(xiàn)能力的力度.

“設(shè)置考查問題.”試題的問題設(shè)置應(yīng)該呈現(xiàn)問題研究的過程.在最后一問確定后，應(yīng)該設(shè)置研究這一問題的思維臺階或知識鋪墊，使試題呈現(xiàn)出問題解決的研究過程，即試題問題的設(shè)問呈現(xiàn)循序漸進的爬坡感，讓不同水平的學(xué)生充分展示自己不同的探究深度.如直線AC、BC的函數(shù)表達式的求解，為第（2）提供研究的基礎(chǔ).第（2）①問的求解，一方面關(guān)注BD、DC的研究，另一方面解決過程中，需要利用線段的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程解決，也為最后一問利用基本圖形中蘊含的基本結(jié)論轉(zhuǎn)化為方程解決提供了解題思路，以利于學(xué)生展示自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面所取得的成就.

“體現(xiàn)教學(xué)導(dǎo)向.”選擇學(xué)生熟悉的圖形來立意綜合題，以菱形、拋物線對稱軸的判斷為載體，將一次函數(shù)與二元一次方程組、二次函數(shù)與一元二次方程、三角形與勾股定理丶平行四邊形與菱形、面積與方程、點的位置與坐標(biāo)等核心知識，通過圖形變化聯(lián)系在一起，借助分類討論、建構(gòu)方程等形式，很好地實現(xiàn)了知識的整合，突出考查了學(xué)生分析問題及解決問題的思維過程，從而發(fā)揮評價的導(dǎo)向功能，引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注核心知識，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)方式、教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變，學(xué)習(xí)活動中重視自主探究，在觀圖、識圖、用圖及推理計算中建立教學(xué)活動的過程，關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的形成教學(xué).

2.命制目標(biāo)的達成

命制中考試題能體現(xiàn)命題者的學(xué)科智慧和專業(yè)素養(yǎng)，更能體現(xiàn)命題者的人文關(guān)懷和工匠精神.特別是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提岀之后，怎樣讓學(xué)生用數(shù)學(xué)方法研究世界，用數(shù)學(xué)的眼光認識世界成為數(shù)學(xué)教師研究的新命題.本考題命制過程中，“緊扣基礎(chǔ)、拓展廣度、調(diào)節(jié)深度、考查適度”的理念貫穿始終.初中階段研究坐標(biāo)系中問題往往以“點”為依托，通過幾個特殊位置的點搭建線和形是初中生研究坐標(biāo)系問題的基礎(chǔ)所在.同時，我們還關(guān)注了兩個方面：一是知識的廣度，方程、一次函數(shù)丶二次函數(shù)三角形、平行四邊形、菱形、方程模型、函數(shù)建模等;二是數(shù)學(xué)模型、轉(zhuǎn)換與化歸，特殊與一般、數(shù)形結(jié)合、方程與函數(shù)、分類討論、類比等思想方法，三是初高中知識銜接的拓展，一條明線是引入?yún)?shù)解決動點問題，一條暗線是直線束問題.調(diào)節(jié)深度、考查適度與我們常說的難度是兩回事.如考題中的第（2）問的運算數(shù)據(jù)就非常簡潔，重點考查學(xué)生的符號意識、數(shù)感、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，而不是考查運算能力.因此，就要降低運算的難度，使得考查更加適度合理.

【總結(jié)評價】 中考數(shù)學(xué)壓軸題的命制方法很多，本文只探討其通常性、一般性的命題方法.縱觀近年來出現(xiàn)的中考數(shù)學(xué)壓軸題，主要考查學(xué)生的閱讀理解能力、思考辨別能力及運用知識和方法解決問題的能力.總之，壓軸題的命制對命題者的要求越來越高，需要命題者以獨特的視角看每一個數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)背景、數(shù)學(xué)素材，“別出心裁”地命制出與時俱進的好題;還應(yīng)繼承傳統(tǒng)，深入研討經(jīng)典考題的命題思路及解法，深入挖掘經(jīng)典題型的隱形關(guān)系，使“老題”發(fā)出“新方法”，長出“新知識”，永久保持活力，實現(xiàn)壓軸題命制的新突破.

作者簡介 劉應(yīng)平（1964—），男，山西柳林人，正高級教師，山西省中學(xué)數(shù)學(xué)特級教師，呂梁市優(yōu)秀專家.發(fā)表論文百余篇，其中被中國人大資料中心《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載15篇.

喬志成（1978—），男，山西離石區(qū)人，中學(xué)數(shù)學(xué)二級教師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.基于確定性下的尺規(guī)作圖伊犁州2019—2021年度教育科研規(guī)劃項目立項課題——初中學(xué)生利用數(shù)學(xué)作業(yè)進行自主學(xué)習(xí)的教學(xué)研究（YLJYKT2019-095）.