翟圣藝 田蓉蓉 程水林

(1.武漢理工大學(xué)理學(xué)院,武漢,430070?2.中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院,武漢,430073)

1 引言

群集現(xiàn)象源于鳥(niǎo)、魚(yú)、蟻群等生物個(gè)體的自組織行為,真菌之間的趨化效應(yīng)等[1,2,3].在群體內(nèi)部的個(gè)體通過(guò)簡(jiǎn)單的行為規(guī)則,彼此之間相互作用,使得整個(gè)群體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)保持一致[4,5]的這種行為稱(chēng)為自組織行為.

近年來(lái),自組織行為理論在生物、物理、金融、財(cái)務(wù)、通信等各個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用,然而自組織行為結(jié)構(gòu)錯(cuò)綜復(fù)雜,卻蘊(yùn)含著豐富的潛在規(guī)律與價(jià)值,而群集現(xiàn)象是自組織行為的形成機(jī)理及作用規(guī)律的關(guān)鍵之處,因此迫切需要研究者們更進(jìn)一步去挖掘群集現(xiàn)象背后的信息和規(guī)律,使其可以得到更深入地應(yīng)用.

1995 年,著名生物學(xué)家Vicsek 等[6]首次針對(duì)自組織運(yùn)動(dòng)形成機(jī)制建模,在假定個(gè)體以恒定的絕對(duì)速度在半徑為r的鄰域內(nèi)運(yùn)動(dòng),并考慮隨機(jī)擾動(dòng)的情形下,運(yùn)用數(shù)值實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證了該模型會(huì)導(dǎo)致從無(wú)傳輸?shù)接袀鬏數(shù)膭?dòng)力學(xué)相變.

在Vicsek 等人的工作后,相繼出現(xiàn)許多的數(shù)學(xué)模型對(duì)群體行為進(jìn)行研究.其中最主要的是Cucker 和Smale[7]于2007 年提出的著名的Cucker-Smale 模型,運(yùn)用N個(gè)個(gè)體相互作用的動(dòng)力學(xué)模型解釋大型群體自驅(qū)動(dòng)行為中個(gè)體的特性.隨著Cucker-Smale 模型在自然科學(xué)等領(lǐng)域的廣泛運(yùn)用,涌現(xiàn)出了多種改進(jìn)的Cucker-Smale 模型.

Ton 等[8]和Luo 等[9]通過(guò)分析隨機(jī)Cucker-Smale 模型,證明該模型全局解的存在性和唯一性,說(shuō)明了當(dāng)噪聲強(qiáng)度較小時(shí)會(huì)發(fā)生群集現(xiàn)象.Sun 等[10]討論帶有多重噪聲的隨機(jī)Cucker-Smale 模型,通過(guò)對(duì)其隨機(jī)穩(wěn)定性進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)當(dāng)噪聲強(qiáng)度足夠弱且通信速率滿足下限條件時(shí),個(gè)體會(huì)在有限時(shí)間以概率1 產(chǎn)生群集現(xiàn)象.Ha 等[11]分析固定噪聲強(qiáng)度下的隨機(jī)Cucker-Smale 模型,得到當(dāng)通信速率為固定常數(shù)時(shí),系統(tǒng)是否發(fā)生群集現(xiàn)象與其初始速度及所處位置無(wú)關(guān)?而當(dāng)通信速率取決于個(gè)體之間的距離時(shí),個(gè)體速度圍繞平均速度的波動(dòng)方差具有均勻約束性.Cucker 等[12]研究隨機(jī)噪聲驅(qū)動(dòng)下的Cucker-Smale 模型,結(jié)果表明當(dāng)初始位置和速度滿足類(lèi)似于確定性方程的條件時(shí),系統(tǒng)產(chǎn)生群集效應(yīng).Ha 等[13]考慮具有多維白噪聲的Cucker-Smale 模型,證明了只要噪聲強(qiáng)度足夠大,即使通信速率為負(fù)值,系統(tǒng)同樣會(huì)出現(xiàn)群集效應(yīng).

然而,對(duì)于確定性系統(tǒng),通信速率為負(fù)值時(shí)不會(huì)出現(xiàn)群集效應(yīng),而噪聲誘導(dǎo)系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)群集效應(yīng).受此結(jié)果的啟發(fā),本文考慮一類(lèi)特殊環(huán)境噪聲擾動(dòng)下的Cucker-Smale 模型.由于隨機(jī)微分方程顯式解中含有隨機(jī)項(xiàng),我們考慮去除隨機(jī)項(xiàng)的影響,以便觀察隨機(jī)微分方程的漸近行為,同時(shí)考慮到低階矩往往比高階矩更有效,我們采用一種新的估計(jì)方法,即估計(jì)解的p階矩(0

在第二節(jié)中,我們通過(guò)建立兩個(gè)個(gè)體的動(dòng)力系統(tǒng)模型研究個(gè)體之間的群集效應(yīng).首先,運(yùn)用隨機(jī)微分方程建模,我們得到具有乘性噪聲的隨機(jī)模型在時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí),模型的解一致趨于零,即兩個(gè)個(gè)體之間的速度幾乎相等.然后,我們給出不含噪聲項(xiàng)的微分方程模型,得到模型的解在時(shí)間無(wú)限大時(shí)處于無(wú)窮的狀態(tài).結(jié)果表明隨機(jī)模型解的漸近行為能更好地解釋個(gè)體之間的群集效應(yīng).

在第三節(jié)中,在假定個(gè)體之間相互作用關(guān)系相同的情況下,運(yùn)用最小二乘和極大似然估計(jì)方法,對(duì)兩個(gè)個(gè)體模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì).通過(guò)分析得知:最小二乘法給出的估計(jì)量具有無(wú)偏性和有效性,而采用極大似然估計(jì)方法得到的估計(jì)量不具有無(wú)偏的性質(zhì),但隨著樣本量n的增大,估計(jì)量越來(lái)越接近被估總體參數(shù),即具有一致性.

2 模型的建立與求解

為簡(jiǎn)單起見(jiàn),我們考慮由兩個(gè)個(gè)體組成的模型.以X1,t,V1,t分別表示第一個(gè)個(gè)體在時(shí)刻t的位置和速度,X2,t,V2,t分別表示第二個(gè)個(gè)體在時(shí)刻t的位置和速度,模型如下:

其中,x12,v1v2(不妨設(shè)v1>v2),ε為任意給定的實(shí)數(shù),α,β ∈R,{Wt}t≥0為給定的隨機(jī)基(?,F,P,{Ft}t≥0)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

因?yàn)榉匠?2.1) 的系數(shù)滿足Lipschitz 條件,所以方程(2.1) 存在唯一的強(qiáng)解[14].令Xt=X1,t ?X2,t,Vt=V1,t ?V2,t,則系統(tǒng)(2.1)可進(jìn)一步表示為:

對(duì)于這樣的兩個(gè)個(gè)體動(dòng)力系統(tǒng)模型,我們研究當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮時(shí),兩個(gè)體之間的群集效應(yīng).

定義1稱(chēng)系統(tǒng)(2.2)的解產(chǎn)生群集效應(yīng),如果對(duì)幾乎所有的ω ∈?(在后文的公式中,我們用a.s.ω ∈? 表示),有

定理1設(shè)α,β,ε ∈R,滿足

則系統(tǒng)(2.2)會(huì)發(fā)生群集效應(yīng).

在證明定理1 之前,我們給出一個(gè)重要的引理.

引理1(重對(duì)數(shù)率[15]) 設(shè){Wt}t≥0是給定的隨機(jī)基(?,F,P,{Ft}t≥0)上的一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),則

定理1的證明設(shè)對(duì)幾乎所有的ω ∈?,Vt >0.對(duì)lnVt應(yīng)用It? 公式得:

對(duì)上式兩邊關(guān)于時(shí)間從0 到t積分得:

于是得到系統(tǒng)(2.2)中兩個(gè)個(gè)體速度差的顯式解為:

由式(2.5),??1??,P(?1)=1,使當(dāng)ω ∈?1時(shí),?ε1>0,?T1(ω)>0,當(dāng)t>T1(ω)時(shí),有:

于是,對(duì)任意的t>T1(ω),我們有

因?yàn)?(α+β)?<0,所以當(dāng)t →+∞,Vt(ω)→0.這樣我們就證明了條件(2.3)的第二個(gè)式子.

另一方面,對(duì)任意的M >1,?T2(ω)>0,使得當(dāng)t>T2(ω)時(shí),有:

再將上面估計(jì)式代入(2.8)式,得

進(jìn)而，有

因?yàn)棣?<0,從不等式(2.9)我們得到群集效應(yīng)所需的條件(2.3)的第一個(gè)式子成立,因此定理1得證.

注1我們還可以計(jì)算Vt的p階矩(p>0).

其中,Wt是一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).因此

代入式(2.10)即可得到Vt的p階矩：

其中η=?(α+β)?(1?p).

注2我們也可將確定性系統(tǒng)與隨機(jī)系統(tǒng)(2.1)進(jìn)行對(duì)比.

在確定性系統(tǒng)中,兩個(gè)個(gè)體滿足如下微分方程組:

采用一階可分離變量的微分方程求解方法,我們得出兩個(gè)個(gè)體的速度差為

進(jìn)一步，可得

故當(dāng)α+β <0 時(shí),|Vt|→+∞,|Xt| →+∞(t →+∞),即此時(shí)個(gè)體不會(huì)發(fā)生群集?而對(duì)于隨機(jī)模型,由定理1知,只要0>α+β >?,個(gè)體即以概率1 發(fā)生群集.這表明隨機(jī)系統(tǒng)和確定性系統(tǒng)有本質(zhì)性差異：確定性系統(tǒng)在環(huán)境噪聲擾動(dòng)后,產(chǎn)生了群集效應(yīng).

取模型參數(shù)α=β=,并假定v=1.此時(shí)，隨機(jī)模型與確定性模型的兩個(gè)個(gè)體速度差的對(duì)比結(jié)果如圖1 所示.在帶有乘性噪聲項(xiàng)的隨機(jī)模型所對(duì)應(yīng)的圖1(a)中,的值隨時(shí)間單調(diào)遞減,且當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮時(shí)趨于零,并且由定理1，進(jìn)一步有：兩個(gè)個(gè)體速度之差Vt以概率1 趨于0.而在不帶乘性噪聲項(xiàng)的確定性模型所對(duì)應(yīng)的圖1(b)中，兩個(gè)個(gè)體的速度差Vt隨時(shí)間單調(diào)遞增,且在時(shí)間t趨于無(wú)窮時(shí)趨于無(wú)窮.

圖1 隨機(jī)模型與確定性模型速度差解的對(duì)比

3 模型的參數(shù)估計(jì)

本節(jié)討論兩個(gè)個(gè)體滿足的隨機(jī)模型的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題.

考慮一種簡(jiǎn)單情形,假定兩個(gè)個(gè)體相互作用的關(guān)系相同,即α與β相等.

由(2.6)式,有

因?yàn)閃t是布朗運(yùn)動(dòng),具有獨(dú)立平穩(wěn)增量性,故對(duì)離散時(shí)間點(diǎn)1,我們有:Ui與Uj相互獨(dú)立,且Ui ～N(0,1),即序列{Ui}1≤i≤n為白噪聲正態(tài)序列,記為Ui ～WN(0,1).

利用{Ui}1≤i≤n,我們有

因此,得到似然函數(shù)

取對(duì)數(shù)，得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)

再關(guān)于λ求偏導(dǎo)得:

令(3.4)式等于零,解得:

再將對(duì)數(shù)似然函數(shù)關(guān)于ε2求偏導(dǎo)并令其等于0,得:

由此,得到參數(shù)α,β的估計(jì)值為:

容易算得

所以,α,ε2的極大似然估計(jì)都是漸近無(wú)偏的.

4 結(jié)論

本文研究帶有乘性環(huán)境噪聲的Cucker-Smale 模型,討論了不同模型參數(shù)和噪聲強(qiáng)度對(duì)模型解的漸近行為的影響,發(fā)現(xiàn)存在適當(dāng)?shù)脑肼晱?qiáng)度,導(dǎo)致系統(tǒng)以概率1 出現(xiàn)群集效應(yīng).但對(duì)于不帶有環(huán)境噪聲的確定性系統(tǒng),個(gè)體間的群集效應(yīng)并未產(chǎn)生.這說(shuō)明乘性白噪聲的引入會(huì)導(dǎo)致個(gè)體群集效應(yīng)的產(chǎn)生.