個(gè)股的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度VaR度量與實(shí)證分析
——基于GARCH模型及歷史模擬法

熊齊揚(yáng)

（蘇州大學(xué)，江蘇 蘇州 215000）

0 引言

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度VaR 的概念產(chǎn)生于1993 年，經(jīng)過近三十年的發(fā)展，現(xiàn)已成為金融風(fēng)險(xiǎn)管理的標(biāo)準(zhǔn)方法。它的優(yōu)點(diǎn)在于既能簡單清晰地表示市場風(fēng)險(xiǎn)的概率及大小，又有嚴(yán)謹(jǐn)系統(tǒng)的概率統(tǒng)計(jì)理論作為依托，為廣大投資者提供便于理解的風(fēng)險(xiǎn)評估衡量。VaR 的度量方法主要有參數(shù)法、歷史模擬法、極值理論等。本文著重選取參數(shù)法及歷史模擬法對我國個(gè)股的VaR值進(jìn)行度量并分析這兩種方法結(jié)論的有效性。

1 文獻(xiàn)綜述

在衡量波動率的方法和模型中使用最廣泛的為時(shí)間序列模型中的自回歸條件異方差模型。Engle（1982）推出ARCH模型，能夠較為有效地解決異方差存在性問題。Bollerslev（1986）在ARCH 模型的基礎(chǔ)上提出GARCH 模型，可以很好地解決模型中滯后階數(shù)的問題。在市場波動率對于利好和利空消息的非對稱效果的研究方面，Zakoian（1990）提出了TGARCH模型。Nelson（1991）采用條件方差的對數(shù)形式建立了EGARCH模型。

為了將GARCH 模型與國內(nèi)A 股市場更好地結(jié)合起來，張帆（2009）運(yùn)用GARCH 族模型對深證成指收益率的波動性進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)EGARCH（1，1）模型能很好地?cái)M合深市股指收益率的波動性；趙國健，劉靜（2010）運(yùn)用GARCH 模型進(jìn)行滬市的實(shí)證分析，發(fā)現(xiàn)TGARCH 模型能更好地?cái)M合上證指數(shù)相對收益率序列；趙彤（2018）采用6 種損失函數(shù)對GARCH 族模型的預(yù)測能力進(jìn)行評估，實(shí)證結(jié)果表明GARCH（1，1）模型的預(yù)測效果較好，并且GARCH 族模型預(yù)測的準(zhǔn)確度相差不大。

在VaR 的主要計(jì)算方法研究方面，黃海和盧祖帝（2003）介紹了VaR 的三種主要計(jì)算方法：參數(shù)法、歷史模擬法和蒙特卡羅模擬法，并對這三種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn)做了簡單的述評。在參數(shù)法方面，劉艷春等人（2005）通過對上海證券交易所實(shí)際數(shù)據(jù)的分析和似然比檢驗(yàn)，說明了基于模型下的VaR 更具有動態(tài)性和準(zhǔn)確性。在歷史模擬法方面，王超（2017）對歷史模擬法中的一般歷史模擬法、加權(quán)歷史模擬法、過濾歷史模擬法進(jìn)行研究和實(shí)證比較，結(jié)果顯示加權(quán)歷史模擬法和過濾歷史模擬法更加精確。

綜上，本文將在學(xué)者們研究成果的基礎(chǔ)上，主要對GARCH模型預(yù)測個(gè)股收益波動率的能力做實(shí)證研究，由此得出參數(shù)法下的VaR 值，與歷史模擬法計(jì)算得到的VaR 值進(jìn)行比較，從而得出參數(shù)法與歷史模擬法估算準(zhǔn)確性的差異。

2 模型建立

2.1 參數(shù)法計(jì)算VaR 值

參數(shù)法就是假定金融資產(chǎn)收益率服從某種分布，再根據(jù)修正參數(shù)和資產(chǎn)的初期價(jià)格計(jì)算出VaR。在正態(tài)分布的假定條件下，假設(shè)金融資產(chǎn)價(jià)值變化的分布的期望值為0，則VaR 可由下式表示：

其中，VaR（X）t表示第t 個(gè)時(shí)期對應(yīng)于置信區(qū)間為X 的VaR，σt表示第t 個(gè)時(shí)期的資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，N－1（X）表示在置信度水平為X 的條件下累積正態(tài)分布的反函數(shù)。由于價(jià)格和標(biāo)準(zhǔn)差已給定，因此利用參數(shù)法求解VaR 的關(guān)鍵在于求出各時(shí)期資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。

2.2 歷史模擬法計(jì)算VaR 值

歷史模擬法采用市場變量日間變化的歷史數(shù)據(jù)來直接估計(jì)交易組合從今天到明天的價(jià)值變化的概率分布，因此不需要做任何參數(shù)估值和分布假設(shè)。在第i 個(gè)場景下資產(chǎn)第二天價(jià)格的計(jì)算公式如下：

其中，Pn表示資產(chǎn)在第n 天的價(jià)格，可視為當(dāng)天價(jià)格，Pn+1則為第二天的價(jià)格；而Pi、Pi-1分別代表該項(xiàng)資產(chǎn)在第i 和i－1天的價(jià)格。

2.3 GARCH 模型

GARCH（1，1）方差方程中的σn2是由長期平均方差VL、過去波動率信息un-1及過去方差信息σn-1計(jì)算得到，GARCH（1，1）表達(dá)式為：

其中γ 為對應(yīng)于VL的權(quán)重，α 為對應(yīng)于的權(quán)重，β 為對應(yīng)于的權(quán)重。一般可以用最大似然法估計(jì)GARCH 模型的權(quán)重參數(shù)。

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)選取

本文從CSMAR 數(shù)據(jù)庫中選取了洛陽鉬業(yè)（603993）在2015 年12 月1 日至2020 年11 月30 日的收盤價(jià)，共1199 個(gè)觀測值。為提高數(shù)據(jù)的可加性和平穩(wěn)性，本文對該股每日收盤價(jià)進(jìn)行對數(shù)差分以得到日收益率序列。

3.2 描述性統(tǒng)計(jì)

為了描述該個(gè)股的基本特征，利用Eviews 8.0 對其日收益率序列進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)，主要選取了收益率的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度、J－B 檢驗(yàn)量這幾個(gè)指標(biāo)進(jìn)行具體的描述。

由表1 可以看出，該股近五年的收益率均值接近于0。Jarque－Bera 檢驗(yàn)對應(yīng)P 值為0，說明該對數(shù)收益率序列不服從正態(tài)分布假設(shè)。其偏度為正數(shù)，表明右偏分布，即股市收益率大于均值的交易天數(shù)較多。峰度顯著大于3，表現(xiàn)為尖峰態(tài)，說明該序列具有尖峰厚尾特征。

表1 個(gè)股日收益序列描述性統(tǒng)計(jì)

3.3 序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)

對該股日收益率序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)結(jié)果如表2 所示。

表2 單位根檢驗(yàn)

由上表2 的個(gè)股日收益率序列單位根檢驗(yàn)結(jié)果可知，t 值小于1%、5%、10%顯著性水平下的臨界值，且對應(yīng)的P 值為0，故該序列不存在單位根，是平穩(wěn)序列。這個(gè)結(jié)果與Pagan（1996）和Bollerslev（1994）對發(fā)達(dá)成熟市場波動性的研究一致：金融資產(chǎn)的價(jià)格一般是非平穩(wěn)的，存在隨機(jī)游走現(xiàn)象，而收益率序列通常是平穩(wěn)的。

3.4 ARCH 效應(yīng)檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)GARCH 族模型的可行性，本文利用EViews8.0檢驗(yàn)股票收益率中的ARCH 效應(yīng)，在滯后5 階的情況下進(jìn)行LM 檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)個(gè)股日收益率殘差序列所對應(yīng)的F 統(tǒng)計(jì)量及LM 統(tǒng)計(jì)量的P 值均為0，說明日收益率存在明顯的ARCH 效應(yīng)。因此，可以利用GARCH 族模型對該股日收益率序列進(jìn)行波動率擬合。

3.5 建立GARCH（1，1）模型

利用EViews8.0 估計(jì)該股的GARCH 模型的條件方差方程如下所示：

估計(jì)結(jié)果顯示，條件方差方程中滯后平方殘差、滯后條件方差及常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)都具有高度的統(tǒng)計(jì)顯著性，說明該股日收益率序列表現(xiàn)出顯著的波動集聚效應(yīng)。

3.6 參數(shù)法計(jì)算股票的VaR 值

查詢正態(tài)分布表可知置信度水平為99%（單尾）的分位數(shù)為2.33。由此可以計(jì)算出展望期為1 天、置信度為99%的VaR值的變化情況，并將其與股票每日的實(shí)際損益序列進(jìn)行對比，對比結(jié)果如圖1 所示。

圖1 參數(shù)法計(jì)算的VaR 值與股價(jià)每日損益

由圖1 可以看出，GARCH 模型擬合效果很好，但仍存在少部分損失超過了99%的VaR 值。為了進(jìn)一步評估參數(shù)法計(jì)算VaR 值的準(zhǔn)確性，我們將實(shí)際損失超過VaR 值的天數(shù)求和，得到在觀測值總數(shù)為1 198 的情況下，每日實(shí)際損失超過99%VaR 值的天數(shù)為25 天，約占總天數(shù)的2.1%。

然后我們使用Kupiec 返回檢驗(yàn)測試VaR 模型的有效性。其中實(shí)際考察天數(shù)T＝1 198，損失超過VaR 的天數(shù)N＝25，失敗概率p＝25／1 198，失敗概率期望p′＝0.01，原假設(shè)H0 為p＝p′，根據(jù)原假設(shè)的似然比率LR 檢驗(yàn)公式：

又LR 統(tǒng)計(jì)量服從自由度為1 的卡方分布，查表得顯著性水平為0.01 的情況下χ2（1）分布的臨界值為6.63＞LR，故不拒絕原假設(shè)，因此接受本模型。

針對股票實(shí)際損益較小波動的情況下，我們著重選取了2016 年2 月1 日—2017 年5 月31 日的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每日實(shí)際損失超過99%VaR 的天數(shù)為3 天，約占此段時(shí)期總天數(shù)的0.99%；針對股票實(shí)際損益出現(xiàn)大幅波動的時(shí)期，我們著重選取了2017 年7 月3 日—2018 年10 月11 日的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每日實(shí)際損失超過99%VaR 的天數(shù)為13 天，約占此段時(shí)期總天數(shù)的4.2%。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，在平穩(wěn)市場情況下，由GARCH模型預(yù)測的波動率計(jì)算所得到VaR 值能夠較好地預(yù)測股市中潛在的風(fēng)險(xiǎn)狀況；但是當(dāng)市場開始出現(xiàn)大幅波動時(shí)，模型擬合即時(shí)市場情況的準(zhǔn)確性將會降低，無法很好地顯示股票市場的真實(shí)風(fēng)險(xiǎn)。

3.7 歷史模擬法計(jì)算股票的VaR 值

我們選取前500 天的日收益率作為歷史數(shù)據(jù)窗口，然后將收益率從小到大排列，在99%的置信度水平下選取第5 個(gè)觀測值，將其乘以相應(yīng)的資產(chǎn)價(jià)格得到第501 天的VaR 值。為計(jì)算下一個(gè)交易日的VaR 值，需要將歷史數(shù)據(jù)窗口后移一個(gè)觀測值，并重復(fù)上述過程。所得結(jié)果如下圖2 所示。

圖2 歷史模擬法計(jì)算的VaR 值與股價(jià)每日損益

由計(jì)算結(jié)果可知實(shí)際損失超過99%VaR 值的次數(shù)為10次，使用Kupiec 返回檢驗(yàn)得到LR＝0.505 5＜6.63，因此模型檢驗(yàn)有效。

4 結(jié)論

本文以洛陽鉬業(yè)為例，通過GARCH 模型估計(jì)其收益率的條件波動率，進(jìn)而度量該股在置信度水平為99%下的VaR 值；同時(shí)運(yùn)用歷史模擬法將前500 天的日收益率作為歷史數(shù)據(jù)窗口，計(jì)算該股第500 天后的VaR 值。最后將兩種方法計(jì)算得到的VaR 值與股價(jià)每日實(shí)際損益進(jìn)行比較，基本可以得出以下結(jié)論：

1.通過實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)該股的收益率具有明顯的右偏分布、尖峰厚尾、序列平穩(wěn)、波動率聚集等特征。

2.兩種計(jì)算VaR 的方法均通過Kupiec 返回檢驗(yàn)，說明模型得出的結(jié)果有效。

3.關(guān)于參數(shù)法，GARCH 模型能夠較好地預(yù)測正常市場狀況下股票收益率的波動變化情況，但當(dāng)市場出現(xiàn)較大波動時(shí)預(yù)測的準(zhǔn)確性會下降。

4.關(guān)于非參數(shù)法，歷史模擬法提供了一種在平穩(wěn)市場環(huán)境中簡便且較為準(zhǔn)確的VaR 值度量方法，但該方法稍顯保守，易高估實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)。但在市場較大波動情況下該方法失效，因?yàn)榇藭r(shí)歷史數(shù)據(jù)無法反映未來，導(dǎo)致實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)的低估。