孫道賓，李元皓

(沈陽理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110159)

曲柄搖桿機(jī)構(gòu)是一種較為常見的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，在多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，許多研究者曾致力于其結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。俄羅斯數(shù)學(xué)家切貝雪夫?yàn)榇私⒘私馕龇?。這種解析法綜合運(yùn)用逼近論、數(shù)學(xué)矩陣、復(fù)數(shù)等知識(shí)，能對(duì)二次線性方程或者超越方程進(jìn)行求解，但求解過程相當(dāng)麻煩。解析法最多只能按照9個(gè)點(diǎn)進(jìn)行求解設(shè)計(jì)，求解精度有待提高，且最后得到的只有一組可行解。美國的F·Ferudesnetin通過設(shè)置精確點(diǎn),首次使用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)了四桿機(jī)構(gòu)再現(xiàn)函數(shù)的最優(yōu)綜合。從此，人們開始了采用計(jì)算機(jī)對(duì)連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行綜合分析設(shè)計(jì)的進(jìn)程。R·L·Fox和K·D·Willmert于1967年,J·Tomas于1968年,先后把優(yōu)化方法與計(jì)算機(jī)技術(shù)結(jié)合起來，進(jìn)行機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)(稱作機(jī)構(gòu)最優(yōu)化設(shè)計(jì)),從而開始了機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的新進(jìn)程，推動(dòng)了優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的應(yīng)用[1]。

本文針對(duì)機(jī)器人足端軌跡，在橢圓軌跡的基礎(chǔ)上重新規(guī)劃，以期獲得具有更強(qiáng)穩(wěn)定性的機(jī)器人足端新規(guī)劃軌跡，并通過Matlab編程實(shí)現(xiàn)新規(guī)劃軌跡的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，進(jìn)而設(shè)計(jì)機(jī)器人的單條腿部機(jī)構(gòu)。

1 機(jī)器人足端軌跡的確定

曲柄搖桿機(jī)構(gòu)經(jīng)常被用作機(jī)器人的行走機(jī)構(gòu)。本文將曲柄搖桿機(jī)構(gòu)作為機(jī)器人的腿部機(jī)構(gòu)。機(jī)器人足端軌跡如圖1所示。采用這種橢圓軌跡的優(yōu)點(diǎn)是能夠保證機(jī)器人足端與地面接觸時(shí)的速度和加速度都為零，從一定程度上減輕機(jī)器人足端與地面碰撞的強(qiáng)度，提高機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)的使用壽命。若地面為非理想狀態(tài)，機(jī)器人足端在著地瞬間的速度和加速度都為零，只能向上抬腿，則機(jī)體的傾斜或者擺動(dòng)腿落地位置的地面下陷，都會(huì)導(dǎo)致在機(jī)器人的擺動(dòng)腿還未落地時(shí)其著地腿就已經(jīng)抬了起來，使機(jī)體的穩(wěn)定性大為降低。換句話說，這種機(jī)器人足端軌跡(圖1(a))根本無法滿足機(jī)器人實(shí)際行走穩(wěn)定性的要求，因此需要在橢圓軌跡的基礎(chǔ)上重新規(guī)劃機(jī)器人足端軌跡。

(a) 橢圓軌跡

(b) 新規(guī)劃軌跡圖1 機(jī)器人足端軌跡

1.1 建立足端軌跡方程

根據(jù)圖1中新規(guī)劃軌跡可建立對(duì)應(yīng)的機(jī)器人足端軌跡方程。

(1)

(2)

(3)

對(duì)應(yīng)直線MN的軌跡方程為：

(4)

1.2 確定足端軌跡上若干點(diǎn)的坐標(biāo)

本文首先在機(jī)器人足端軌跡上取12個(gè)點(diǎn)，然后根據(jù)足端軌跡方程，計(jì)算這12個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值(表1)。

表1 足端軌跡上12個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值

2 曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析

基于坐標(biāo)系Oxy，可對(duì)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)(圖2)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。

圖2 曲柄搖桿機(jī)構(gòu)

本文參考相關(guān)文獻(xiàn)[2-4],針對(duì)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)OAABOB，設(shè)OAOB=L0、OAA=L1、AB=L2、BOB=L3、APj=L4，且令A(yù)Pj與AB為固聯(lián)。通過矢量分析，有：

(5)

由式(5)消去θj可得：

(6)

令

E1j=L0cosα-L1cosφj,

E2j=L0sinα-L1sinφj,

E3j=[(L0cosα-L1cosφj)2+(L0sinα-

則

E1jcosΨj+E2jsinΨj+E3j=0

(7)

根據(jù)三角函數(shù)知識(shí)可列出：

cosΨj=[1-tan2(Ψj/2)]/[1+tan2(Ψj/2)]

(8)

sinΨj=2tan(Ψj/2)/[1+tan2(Ψj/2)]

(9)

把式(8)和式(9)代入式(7)中，得到關(guān)于tan(Ψj/2)的一元二次方程式后求解,可得：

(10)

將式(10)代入式(5)，可得：

θj=tan-1[(E2j+L3sinΨj)/(E1j+L3cosΨj)]

(11)

設(shè)OA點(diǎn)的坐標(biāo)為(OA,x，OA,y), 實(shí)際軌跡上Pj點(diǎn)的坐標(biāo)為(Pj，x，Pj，y)；則

(12)

為了讓曲柄搖桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)靈活輕便、傳動(dòng)時(shí)節(jié)省動(dòng)力，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)使其最小傳動(dòng)角γ大于等于其許用傳動(dòng)角[γ]。由機(jī)械原理可知，曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的最小傳動(dòng)角γ和桿AB桿BOB的夾角δ有關(guān)，當(dāng)δ≤90°時(shí)，γ=δ；當(dāng)δ>90°時(shí)，γ=180°-δ。由此推算出:

[γ] ≤δ≤ 180° - [γ]

(13)

令δmin= [γ]，δmax=180° - [γ]；則

δmin≤δ≤δmax

(14)

即

cosδmin≥ cosδ≥ cosδmax

(15)

在機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中δ是不斷變化的，當(dāng)曲柄OAA與機(jī)架OAOB重合共線時(shí),δ為最小值。此時(shí)有:

(16)

當(dāng)曲柄OAA與機(jī)架OAOB拉直共線時(shí)，δ為最大值。此時(shí)有:

(17)

通過運(yùn)動(dòng)分析可知，曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)應(yīng)滿足式(15)成立的條件。

3 數(shù)學(xué)模型的建立

3.1 建立目標(biāo)函數(shù)

為了盡可能地讓曲柄搖桿機(jī)構(gòu)上點(diǎn)的實(shí)際軌跡與預(yù)定軌跡重合，可根據(jù)機(jī)構(gòu)實(shí)際軌跡上的點(diǎn)坐標(biāo)與預(yù)定軌跡上的點(diǎn)坐標(biāo)差值的最小平方和來建立下列目標(biāo)函數(shù)[5]:

(18)

式中:(Pj，xPj，y)為機(jī)構(gòu)實(shí)際軌跡上一系列點(diǎn)的坐標(biāo)；(P′j，xP′j，y)為預(yù)定軌跡上一系列點(diǎn)的坐標(biāo)。

假設(shè)曲柄OAA起始位置與機(jī)架OAOB之間的夾角為φ1， 若給定一系列預(yù)定軌跡點(diǎn)P′的坐標(biāo)(P′j，x，P′j，y)以及對(duì)應(yīng)的曲柄OAA轉(zhuǎn)角(相對(duì)于曲柄OAA起始位置的夾角)φj,1， 則圖2中的φj可表示為:

φj=α+φ1+φj,1；j= 1，2，…，n

(19)

綜合式(12)和(19)，可得:

(20)

3.2 設(shè)定設(shè)計(jì)變量

分析可知，在已知一些有規(guī)律的預(yù)定軌跡上點(diǎn)P′的坐標(biāo)(P′j，x，P′j，y)以及對(duì)應(yīng)的曲柄OAA轉(zhuǎn)角φj,1時(shí)，目標(biāo)函數(shù)F(X)與參數(shù)L0、L1、L2、L3、L4、α、β、φ1、OA,x、OA,y都有一定的關(guān)系。這些參數(shù)就是設(shè)計(jì)變量。為了讓設(shè)計(jì)變得簡單，可以在設(shè)計(jì)前預(yù)先給定OA，x、OA，y的值[6-7]。

取(OA,x，OA,y)=(-75，-0),則設(shè)計(jì)變量可設(shè)定為：

X=[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8]T= [L0,L1,L2,L3,L4,α,β,φ1]T

(21)

3.3 設(shè)定約束條件

本文所研究曲柄搖桿機(jī)構(gòu)在滿足曲柄存在的條件下，為了讓其運(yùn)動(dòng)順暢靈活、節(jié)省動(dòng)力，還應(yīng)該滿足傳動(dòng)角的約束條件。

曲柄存在必須滿足下列條件：

(22)

根據(jù)式(22)可寫出曲柄存在的約束條件，即

(23)

根據(jù)文獻(xiàn)[8],結(jié)合式(15)，可寫出傳動(dòng)角的約束條件，即

(24)

通常，許用傳動(dòng)角[γ] = 40°，故δmin=[γ]=40°，而δmax= 180° - [γ] = 140°。

根據(jù)cos 40°=0.766 0，以及式(16)、式(17)、式(24)推導(dǎo)，可得：

(25)

進(jìn)一步推導(dǎo)可知，傳動(dòng)角的約束條件為：

(26)

綜合式(23)和式(26)可知，目標(biāo)函數(shù)F(x)的約束條件為：

(27)

3.4 求解目標(biāo)函數(shù)

對(duì)于多約束非線性優(yōu)化問題，可采用Matlab自身庫中fmincon函數(shù)來求解[9]。非線性約束優(yōu)化函數(shù)的數(shù)學(xué)模型為：

[X*,fval]=fmincon(@objectf1,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@conf1,options)

(28)

式中：X*為設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化解；fval是對(duì)應(yīng)于該解的函數(shù)值；@objectf1為調(diào)用函數(shù)的文件名；x0為初始點(diǎn)， 其取值必須滿足約束條件，本文取x0=[120,35,110,45,70,-30,10,30];A為線性不等式約束條件下的系數(shù)矩陣，且A(1,:)=[1,1,-1,-1,0,0,0,0],A(2,:)=[-1,1,1,-1,0,0,0,0],A(3,:)=[-1,1,-1,1,0,0,0,0],A(4,:)=[0,-1,0,0,0,0,0,0];b為線性不等式的常數(shù)向量，b=[0;0;0]；因本文的x0、A、b中不存在線性等式約束，所以Aeq和beq皆為空陣;lb為設(shè)計(jì)變量的下界，本文中l(wèi)b=[0,0,0,0,0,-180,0,0];ub為設(shè)計(jì)變量的上界，本文中ub=[],即空陣；@conf1為根據(jù)非線性約束條件所寫約束程序的函數(shù)名。本文中只有傳動(dòng)角約束為非線性約束，可針對(duì)它編寫相關(guān)的約束函數(shù)[10]。其程序格式為：

function[c,ceq]=conf1(x)；

c(1)=cos δmin-cos(40pi/180);

c(2)=cos(140pi/180)-cos δmax;

ceq=[]。

這里ceq為空陣，表示不存在非線性等式約束。 限于篇幅，本文的主程序和目標(biāo)函數(shù)程序不在此列出。

經(jīng)過Matlab程序運(yùn)算，得到的設(shè)計(jì)變量優(yōu)化解為：

X*=[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8]T=

[L0,L1,L2,L3,L4,α,β,φ1]T=

[120.632 8,30.993 1,114.681 4,44.649 5,

74.788 3,-20.319 6,5.809 2,26.602 3]T;

目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化值為：F(X*)= 3.229 5。

可見， 其實(shí)際軌跡點(diǎn)與預(yù)定軌跡點(diǎn)的點(diǎn)距誤差已相當(dāng)小。實(shí)際使用時(shí)，還可通過改變收斂精度系數(shù)進(jìn)一步縮小點(diǎn)距誤差，使所設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)更好地滿足使用要求。

4 機(jī)器人足端軌跡的仿真驗(yàn)證

通過仿真可知，對(duì)應(yīng)于優(yōu)化設(shè)計(jì)的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，機(jī)器人足端實(shí)際軌跡與新規(guī)劃軌跡已經(jīng)非常接近。利用UG NX軟件建立曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的三維模型，依據(jù)Matlab軟件求解的數(shù)據(jù),可進(jìn)行曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的軌跡追蹤，進(jìn)而比較實(shí)際軌跡與新規(guī)劃軌跡。

按機(jī)器人足端預(yù)定軌跡仿真優(yōu)化后設(shè)計(jì)的機(jī)器人單條腿部機(jī)構(gòu)如圖3所示。仿真所得機(jī)器人足端軌跡如圖4所示。

圖3 機(jī)器人的單條腿部機(jī)構(gòu)

圖4 仿真所得機(jī)器人足端軌跡

對(duì)比圖1和圖4可知，機(jī)器人足端仿真軌跡與新規(guī)劃軌跡基本一致。

5 結(jié)束語

本文以曲柄搖桿機(jī)構(gòu)為例，通過建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行多約束條件下預(yù)定軌跡的優(yōu)化設(shè)計(jì)；基于Matlab平臺(tái)對(duì)橢圓軌跡進(jìn)行再規(guī)劃，在一定程度上可以解決機(jī)器人足端橢圓軌跡在非理想地面穩(wěn)定性不足的問題。利用Matlab自身庫中fmincon函數(shù)對(duì)多約束條件下曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化求解，實(shí)現(xiàn)了設(shè)計(jì)過程的簡化。通過UG NX動(dòng)力學(xué)模型驗(yàn)證可知，新規(guī)劃軌跡與仿真軌跡大致相同，機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)效果理想，所用設(shè)計(jì)方法能大大提高連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的效率和質(zhì)量。