布朗運(yùn)動(dòng)的定量分析與討論

陳含爽

（安徽大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，安徽合肥230601）

布朗運(yùn)動(dòng)是指懸浮在液體或氣體中的微粒所做的永不停息的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)[1]。最早由R.Brown在1827年用顯微鏡觀察懸浮在水中花粉的運(yùn)動(dòng)而得名。直到50年后，J.Delsaulx對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)給出了微觀解釋[2]，認(rèn)為布朗運(yùn)動(dòng)是由于布朗粒子受到來(lái)自各個(gè)方向的液體分子的撞擊不平衡作用導(dǎo)致的。當(dāng)懸浮的微粒足夠小的時(shí)候，布朗運(yùn)動(dòng)也就越顯著。1905年，A.Einstein根據(jù)擴(kuò)散方程建立了布朗運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)理論[3]。布朗運(yùn)動(dòng)的發(fā)現(xiàn)、實(shí)驗(yàn)研究和理論分析間接地證實(shí)了分子的無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，對(duì)氣體動(dòng)理論的建立以及確定物質(zhì)結(jié)構(gòu)的原子性具有重要意義，推動(dòng)了統(tǒng)計(jì)物理學(xué)特別是漲落理論的發(fā)展。布朗運(yùn)動(dòng)是熱學(xué)教學(xué)中的基本內(nèi)容，然而，大多數(shù)教材對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的討論不夠深入，只對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)這一現(xiàn)象進(jìn)行描述，缺少定量的討論[5-6]。因此，本文通過(guò)朗之萬(wàn)方程定量地討論布朗運(yùn)動(dòng)，給出了布朗運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，如速度和位置分布函數(shù)。

1 朗之萬(wàn)方程

對(duì)質(zhì)量為m的一維布朗粒子，其運(yùn)動(dòng)方程可通過(guò)朗之萬(wàn)方程來(lái)描述[6-7]：

方程（1）等號(hào)右邊第一項(xiàng)表示布朗粒子的摩擦力，其大小與速度成正比，ζ是摩擦系數(shù)；第二項(xiàng)表示液體分子碰撞布朗粒子的作用力，稱之為隨機(jī)力，假定滿足高斯分布，其均值為零，即δF(t)=0，方差為2B，δF(t)δF(t′)=2Bδ(t-t′)。方程（1）的解為

2 統(tǒng)計(jì)平均

2.1 平均速度和均方速度

對(duì)式（2）求平均，并利用δF(t)=0，可得

式（8）是由A.Einstein[3]和M.Smoluchowski[8]分別在1905年和1906年獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，稱為Einstein-Smoluchowski關(guān)系。

2.2 平均位置和均方位置

rin實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并給出阿伏伽德羅常數(shù)，獲得了1926諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

3 分布函數(shù)

3.1 速度分布函數(shù)

通過(guò)離散化朗之萬(wàn)方程，方程（1）寫(xiě)為

3.2 位置分布函數(shù)

假設(shè)布朗粒子的初始位置為零，可以利用類似方法得到布朗粒子的位置分布，

即布朗粒子的位置分布滿足高斯分布，其均值為0，方差隨時(shí)間線性增加。

4 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，本文通過(guò)求解朗之萬(wàn)方程，給出了一維布朗粒子速度和位移的表達(dá)式，從而得到了長(zhǎng)時(shí)行為下布朗粒子速度和位移的統(tǒng)計(jì)量。結(jié)合均方速率的表達(dá)式和能量均分定理，得到了布朗粒子所受隨機(jī)力大小和摩擦系數(shù)之間的關(guān)系，即漲落-耗散關(guān)系。布朗粒子的均方位移隨時(shí)間線性增加，即布朗粒子的正常擴(kuò)散。通過(guò)離散化朗之萬(wàn)方程，還可以得到布朗粒子速度和位移的分布函數(shù)，即滿足高斯分布。以上運(yùn)用朗之萬(wàn)方程對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的定量討論有助于學(xué)生深入理解氣體動(dòng)理論以及統(tǒng)計(jì)理論，從而培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維和創(chuàng)新能力。