王 祥，肖曙紅

（廣東工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，廣東 廣州510006）

1 引言

諧波傳動(dòng)是依靠波發(fā)生器運(yùn)動(dòng)迫使柔性輪發(fā)生變形，然后與剛性輪進(jìn)行嚙合并傳遞力矩，從而達(dá)到傳動(dòng)目的。由于諧波減速器的體積小、重量輕、傳動(dòng)比大和傳動(dòng)精度高等諸多優(yōu)點(diǎn)，目前已經(jīng)被普遍的應(yīng)用在不同的機(jī)械領(lǐng)域當(dāng)中［1］。美國(guó)的Boeing、通用汽車(chē)等多個(gè)公司針對(duì)諧波傳動(dòng)技術(shù)都設(shè)置了專(zhuān)門(mén)的研究機(jī)構(gòu)，同時(shí)還有MIT和空間技術(shù)實(shí)驗(yàn)室等科研機(jī)構(gòu)和研究中心對(duì)此技術(shù)進(jìn)行相關(guān)的研究。日本建立了哈默納科公司，并到目前為止一直都是諧波減速器領(lǐng)域的領(lǐng)導(dǎo)者。諧波傳動(dòng)技術(shù)傳入國(guó)內(nèi)以后就得到了國(guó)家的大力支持，學(xué)者沈允文較早的開(kāi)始進(jìn)行研究并發(fā)表諸多著作，近年來(lái)哈爾濱工業(yè)大學(xué)、重慶大學(xué)等高校也都進(jìn)行了大量的研究工作，他們所取得的成果極大的推動(dòng)了國(guó)內(nèi)諧波傳動(dòng)技術(shù)的發(fā)展。另有以中技克美為代表的眾多公司能夠自主研究開(kāi)發(fā)諧波減速器，他們所生產(chǎn)的產(chǎn)品也都被國(guó)內(nèi)外所采用。

在諧波減速器的動(dòng)力傳輸過(guò)程中，柔輪是核心部件。由于其是彈性薄壁零件，并且在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中受到波發(fā)生器帶來(lái)的交變載荷的作用下，容易對(duì)柔輪造成疲勞損壞，其中最常見(jiàn)的現(xiàn)象就是齒根的疲勞斷裂。因此，柔輪的強(qiáng)度分析對(duì)于諧波傳動(dòng)來(lái)說(shuō)是十分必要的，通過(guò)對(duì)柔輪進(jìn)行有限元分析來(lái)為強(qiáng)度分析提供依據(jù)。

柔輪在諧波傳動(dòng)的過(guò)程中會(huì)發(fā)生彈性變形，然后與剛輪輪齒嚙合，接觸情況比較復(fù)雜，并且諧波減速器的模型屬于剛?cè)峄旌夏Ｐ?，所以可以考慮在A(yíng)dams中建立剛?cè)狁詈系奶摂M樣機(jī)，然后對(duì)虛擬樣機(jī)進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真，通過(guò)仿真分析來(lái)模擬實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程中柔輪的變形以及和剛輪的嚙合狀態(tài)，分析在這種情況下柔輪的變形情況。

2 諧波減速器齒輪齒形設(shè)計(jì)

諧波減速器的剛輪和柔輪的齒形均采用雙圓弧齒廓，采用雙圓弧齒廓的齒輪在嚙合的時(shí)候可以增加嚙合的輪齒對(duì)數(shù)，并改善普通齒輪嚙合時(shí)易產(chǎn)生尖點(diǎn)和干涉的情況，也有利于提高諧波減速器在傳動(dòng)過(guò)程中的嚙合性能。根據(jù)雙圓弧齒形的嚙合原理以及傳動(dòng)特性，可以確定柔輪的齒廓參數(shù)如下［2］：

表1 柔輪齒廓參數(shù)表Tab.1 Tooth Profile Parameter

對(duì)所設(shè)計(jì)的柔輪齒廓建立方程組，然后進(jìn)行坐標(biāo)變換，并利用包絡(luò)法得到對(duì)應(yīng)的剛輪的齒廓方程，由于剛輪齒廓方程組中的變量參數(shù)之間是隱函數(shù)的關(guān)系，只能通過(guò)數(shù)值法進(jìn)行求解［3］，所以利用Matlab對(duì)剛輪的齒廓方程進(jìn)行編程，然后將相應(yīng)的參數(shù)代入，擬合得到剛輪齒廓的曲線(xiàn)如圖1所示，通過(guò)曲線(xiàn)可以確定剛輪齒廓曲線(xiàn)的半徑和圓心，進(jìn)一步可以求解齒廓參數(shù)，如表2所示。

圖1 剛輪齒廓曲線(xiàn)擬合圖Fig.1 Tooth Profile Curve Fitting of Rigid Wheel

表2 剛輪齒廓參數(shù)表Tab.2 Rigid Wheel Profile Parameter

利用柔輪和剛輪的齒廓參數(shù)建立實(shí)體模型，而波發(fā)生器則采用橢圓凸輪結(jié)構(gòu)，它的優(yōu)點(diǎn)是能夠平穩(wěn)運(yùn)轉(zhuǎn)而且精度較高，柔輪和剛輪在嚙合的過(guò)程中能夠達(dá)到較為理想的嚙合狀態(tài)。

3 柔輪的接觸應(yīng)力分析

空載時(shí)，由于凸輪波發(fā)生器的長(zhǎng)軸略大于柔輪的直徑，因此將波發(fā)生器裝入柔輪后會(huì)使得柔輪的前端面形狀變?yōu)闄E圓形，如圖所示為按w=w0cos2φ規(guī)律變形以后柔輪的端面形狀。

圖2 柔輪按w=w0cos2φ規(guī)律變形Fig.2 Flexspline Strain of w=w0cos2φ

根據(jù)它的變形規(guī)律可以得出位移方程（

式中：w0-徑向變形量系數(shù)，φ-轉(zhuǎn)動(dòng)角，θ-法向轉(zhuǎn)角，r-柔輪半徑；

由于柔輪在波發(fā)生器的作用下要發(fā)生變形，而且在和剛輪嚙合的時(shí)候，接觸的輪齒對(duì)數(shù)以及接觸區(qū)域都不確定，因此難以準(zhǔn)確求解柔輪的應(yīng)力情況。考慮將柔輪進(jìn)行簡(jiǎn)化，把它看作成一個(gè)光滑的圓柱殼體，然后利用圓柱殼體理論對(duì)柔輪進(jìn)行應(yīng)力分析［4］。

彎曲應(yīng)力和剪切應(yīng)力為：

式中：E—彈性模量，h—柔輪齒圈厚度；

將柔輪的變形規(guī)律方程w=w0cos2φ分別代入式（1）和式（2），可以得到：

通過(guò)上述的計(jì)算公式可以看出，當(dāng)柔輪的結(jié)構(gòu)確定之后就可以求出柔輪的應(yīng)力大小，其中柔輪齒圈的厚度h，柔輪筒長(zhǎng)L以及柔輪的半徑r對(duì)于柔輪的應(yīng)力影響較大。

4 柔輪有限元接觸分析

4.1 邊界條件的設(shè)置

對(duì)于諧波減速器的有限元分析應(yīng)該采用非線(xiàn)性大變形分析方法，利用Ansys Workbench對(duì)柔輪進(jìn)行接觸分析來(lái)模擬波發(fā)生器對(duì)柔輪的強(qiáng)制位移效果，分析柔輪應(yīng)力應(yīng)變的分布狀況。

首先忽略柔輪的螺紋孔并且將波發(fā)生器和柔性軸承簡(jiǎn)化為一個(gè)外徑與柔性軸承工作狀態(tài)下相當(dāng)外徑的橢圓體，然后對(duì)柔輪模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指?。將柔輪的齒圈和柔輪筒體進(jìn)行切割分離，這樣做的好處是能夠保證在齒圈上能夠得到相對(duì)密集的網(wǎng)格，而在筒體上可以得到相對(duì)稀疏的網(wǎng)格［5］。

對(duì)模型進(jìn)行接觸條件的設(shè)置，將柔輪內(nèi)表面設(shè)置為目標(biāo)面，波發(fā)生器外表面為接觸面，接觸系數(shù)0.08，添加偏移量，數(shù)值為0，接觸計(jì)算方法為加強(qiáng)的拉格朗日法，接觸剛度定義為手動(dòng)控制，剛度值為0.01，柔輪和剛輪之間的接觸設(shè)置同上，將摩擦系數(shù)設(shè)置為0.12，由于柔輪會(huì)發(fā)生較大變形，因此開(kāi)啟大變形選項(xiàng)。

由實(shí)際情況考慮，約束波發(fā)生器的軸向位移，采用（Remote displacement）限制Y軸方向的位移；因?yàn)閯傒喪枪潭ㄔ跈C(jī)構(gòu)的殼體上，所以約束剛輪外表面的所有自由度（Fixed support）。

4.2 分析結(jié)果

從圖3（a）中可以看出，應(yīng)力沿著Z軸方向從齒圈處向筒底方向逐漸減小，在波發(fā)生器的作用下，柔輪前端面由圓形變?yōu)闄E圓形，并在柔輪的內(nèi)壁、波發(fā)生器的長(zhǎng)軸和短軸位置處產(chǎn)生拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。應(yīng)力最大的地方發(fā)生在柔輪齒圈和筒體過(guò)渡的齒根處，應(yīng)力大小為409.6MPa，這是因?yàn)槿彷啺l(fā)生變形使這個(gè)位置產(chǎn)生了應(yīng)力集中現(xiàn)象。大長(zhǎng)徑比使得柔輪筒體較長(zhǎng)，因而柔輪在受力的過(guò)程中筒底處受力較為均勻，所以在筒底幾乎沒(méi)有應(yīng)力的存在。

圖3 柔輪分析結(jié)果Fig.3 Analysis Result of Flexible Wheel

由（b）可以看得出，柔輪的變形量也是沿著Z軸向筒體方向逐漸減小，在筒底的位置變形量為0，而變形量最大的地方發(fā)生在齒圈前沿與波發(fā)生器的長(zhǎng)短軸的位置，變形量為0.68558mm，這是由于波發(fā)生器的初始載荷使得柔輪前端面在波發(fā)生器的長(zhǎng)短軸位置處發(fā)生變形，并影響柔輪筒體，之后沿著筒體的方向影響在逐漸減小。柔輪的變形對(duì)于諧波減速器的使用壽命以及傳動(dòng)的穩(wěn)定性來(lái)說(shuō)都有很大的影響，因此應(yīng)盡量保證柔輪在工作的過(guò)程中不發(fā)生較大的變形。

5 柔輪工作過(guò)程的動(dòng)態(tài)仿真

在諧波減速器的實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，波發(fā)生器的轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致柔輪轉(zhuǎn)動(dòng)并且產(chǎn)生變形，而在與剛輪的嚙合過(guò)程中，由于受到剛輪輪齒的約束且嚙合區(qū)域不斷變化的情況，會(huì)導(dǎo)致柔輪的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和嚙合狀態(tài)變得比較復(fù)雜［6］。因此考慮在A(yíng)dams中建立諧波減速器的剛?cè)狁詈咸摂M樣機(jī)，之后對(duì)虛擬樣機(jī)進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真，求解柔輪在負(fù)載情況下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，同時(shí)驗(yàn)證模型是否合理。

5.1 虛擬樣機(jī)的建立

利用Abaqus建立柔性體模型，首先將裝配體模型導(dǎo)入到Abaqus里，定義材料和屬性并劃分網(wǎng)格，然后創(chuàng)建模態(tài)分析步和設(shè)置所需要輸出的模態(tài)特征值。之后在柔輪的前端口和后端口的中心點(diǎn)的位置建立RP點(diǎn)并添加RP點(diǎn)與模型之間的MPC Constrain，對(duì)所建立的RP點(diǎn)進(jìn)行自由度約束。建立Job并修改模型的關(guān)鍵語(yǔ)句后提交分析會(huì)得到模型的模態(tài)分析結(jié)果，之后打開(kāi)Abaqus的命令流進(jìn)行相關(guān)修改后即可得到生成的mnf文件。在A(yíng)dams中打開(kāi)裝配體模型，用mnf文件替換剛性體柔輪，即得到諧波減速器的剛?cè)狁詈夏Ｐ停?］，如圖4所示，此時(shí)的柔輪已經(jīng)變?yōu)槿嵝泽w。對(duì)模型賦予零件密度、泊松比以及楊氏模量等參數(shù)值，同時(shí)Adams將會(huì)自動(dòng)計(jì)算出各個(gè)零件的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等參數(shù)［8］。

圖4 諧波傳動(dòng)虛擬樣機(jī)模型Fig.4 Harmonic Drive Virtual Prototype Model

5.2 施加載荷和約束

在諧波傳動(dòng)的過(guò)程中，剛輪是固定不動(dòng)的，所以在剛輪和大地之間施加固定副，同時(shí)對(duì)輸入軸和波發(fā)生器以及柔輪和輸出軸之間添加固定副；而在輸入軸和大地以及柔輪和大地之間建立旋轉(zhuǎn)副；對(duì)輸入軸添加驅(qū)動(dòng)，輸入軸的轉(zhuǎn)速為600r/min( )3600°/s，為了能夠保證平穩(wěn)的啟動(dòng)運(yùn)轉(zhuǎn)，利用STEP函數(shù)來(lái)調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)的轉(zhuǎn)速［9］（Step(time,0,0d,0.03,3600d)。

對(duì)模型進(jìn)行仿真參數(shù)的設(shè)置，為了能夠得到收斂以及正確的仿真結(jié)果，設(shè)置仿真的時(shí)間為0.5s，仿真的步數(shù)為300進(jìn)行仿真。

5.3 仿真結(jié)果

5.3.1 諧波傳動(dòng)裝置的運(yùn)動(dòng)

后處理查看仿真結(jié)果可得波發(fā)生器和柔輪的轉(zhuǎn)速，如圖5～圖6所示。

圖6 柔輪轉(zhuǎn)速Fig.6 Speed of Flexible Wheel

由圖5和6中可以看出，波發(fā)生器和柔輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向是相反的，這與實(shí)際的諧波減速器的工作情況相吻合。通過(guò)分析曲線(xiàn)可知，在0-0.03s中，電機(jī)的轉(zhuǎn)速在逐漸增加，因而波發(fā)生器和柔輪等各部件的轉(zhuǎn)速也開(kāi)始相應(yīng)的增加。之后柔輪開(kāi)始逐漸趨于穩(wěn)定的嚙合狀態(tài)，在0.03s之后轉(zhuǎn)速值穩(wěn)定在45°/s，此后的諧波建減速器處于負(fù)載勻速的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。由波發(fā)生器和柔輪的轉(zhuǎn)速可知，諧波傳動(dòng)裝置滿(mǎn)足傳動(dòng)比80的設(shè)計(jì)要求，諧波傳動(dòng)裝置的各部件設(shè)計(jì)也合理。

圖5 波發(fā)生器轉(zhuǎn)速Fig.5 Speed of Wave Generator

下圖分別為波發(fā)生器和柔輪的角加速度變化曲線(xiàn)，通過(guò)曲線(xiàn)可以看出波發(fā)生器和柔輪的加速度方向相反，在0-0.03s之間是處于加速過(guò)程，大約在0.015s的時(shí)候加速度達(dá)到最大值，而在0.03s之后加速度為0，說(shuō)明此時(shí)的柔輪和波發(fā)生器均處于勻速運(yùn)動(dòng)的階段，這也與開(kāi)始設(shè)定的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速相吻合，如圖7～圖8所示。

圖7 波發(fā)生器角加速度Fig.7 Angular Acceleration of Wave Generator

圖8 柔輪角加速度Fig.8 Angular Acceleration of Flexible Wheel

5.3.2 諧波傳動(dòng)裝置的嚙合狀態(tài)

從仿真結(jié)果圖9可以看到，波發(fā)生器使柔輪產(chǎn)生了變形，同時(shí)在剛輪的作用下，柔輪向著波發(fā)生器的反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。柔輪和剛輪的嚙合點(diǎn)發(fā)生在波發(fā)生器的長(zhǎng)軸兩端，該位置處的柔輪輪齒和剛輪輪齒完全嚙合。輪齒沿著橢圓兩側(cè)向短軸方向逐漸脫離嚙合，在短軸處則處于完全脫離嚙合的狀態(tài)。在工作狀態(tài)下，柔輪的輪齒依次順時(shí)針的經(jīng)過(guò)波發(fā)生的長(zhǎng)軸，并且每經(jīng)過(guò)四分之一周之后，位于長(zhǎng)軸方向上的輪齒將會(huì)到達(dá)柔輪波發(fā)生器的短軸方向。波發(fā)生器每順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)一周，柔輪將會(huì)逆時(shí)針的轉(zhuǎn)過(guò)剛輪的兩個(gè)齒，并且和剛輪產(chǎn)生嚙合，從而實(shí)現(xiàn)了從高速到低速的二齒差減速效果。

圖9 柔輪剛輪嚙合模擬Fig.9 Meshing Simulation of Flexible Wheel Rigid Wheel

6 結(jié)論

通過(guò)對(duì)柔輪進(jìn)行有限元接觸分析可以得到柔輪的應(yīng)力分布均勻，對(duì)所建立的剛?cè)狁詈夏Ｐ瓦M(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真可以得到運(yùn)動(dòng)過(guò)程中柔輪的變形情況以及柔輪和剛輪輪齒間的動(dòng)態(tài)嚙合過(guò)程，由曲線(xiàn)可知諧波減速器的輸出轉(zhuǎn)速滿(mǎn)足傳動(dòng)比的設(shè)計(jì)要求，同時(shí)柔輪和剛輪輪齒之間的嚙合傳動(dòng)過(guò)程平穩(wěn)，所以可以說(shuō)明虛擬樣機(jī)的模型建立正確，為后續(xù)的疲勞分析提供基礎(chǔ)。