基于傅里葉變換下的水銀測(cè)量元件的特性研究

劉宇軒，杜 苗，王 菁

（天水師范學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，甘肅 天水 741000）

對(duì)于傳統(tǒng)的水銀溫度計(jì)而言存在著水銀膨脹系數(shù)的誤差、毛細(xì)管直徑不均勻的誤差、毛細(xì)管刻度的誤差、熱滯后的誤差、露莖的誤差等問題[1]。但是文章重點(diǎn)討論水銀本身性質(zhì)上的問題。利用傅里葉分析，并且通過設(shè)計(jì)一個(gè)補(bǔ)償系統(tǒng)和去噪系統(tǒng)，可以有效地提高水銀溫度計(jì)的精度與使用效率。在家庭生活方面占據(jù)著不可忽視的地位，可以大大降低判斷身體溫度的失誤率。

1 傅里葉級(jí)數(shù)[2-3]（Fourier Series）

對(duì)于一個(gè)由成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)，是一種通過線性組合而成的信號(hào)，見式（1）：

式（1）稱為傅里葉級(jí)數(shù)。此處ak的表達(dá)式為式（2）：ak為傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)（Fourier Series Coefficient）。

2 傅里葉變換[2-3]（Fourier Transform）

用傅里葉級(jí)數(shù)來表示一個(gè)周期信號(hào)時(shí)，當(dāng)周期T逐漸增加時(shí)，該信號(hào)的基波頻率就會(huì)相應(yīng)減少，對(duì)應(yīng)的成諧波關(guān)系的各個(gè)分量在頻域上也會(huì)逐漸靠近；那么進(jìn)一步的擴(kuò)展開來，當(dāng)周期T趨于無窮大的時(shí)候，這些頻率分量也就變成了一個(gè)連續(xù)域，從而在傅里葉級(jí)數(shù)求和的過程中，就演變成了求積分的問題。

對(duì)于一個(gè)信號(hào)x（t）來說，形如：

就稱為對(duì)函數(shù)x（t）進(jìn)行傅里葉變換。那同樣的，它的逆變換為：

式（3）和式（4）稱為傅里葉變換對(duì)（Fourier Transform Pair）。函數(shù)X（jw）稱為x（t）的傅里葉變換或傅里葉積分（Fourier Integral）。則函數(shù)x（t）為X（jw）的逆變換，所以式（4）稱為傅里葉逆變換（Inverse Fourier Transform）。傅里葉變換是一種對(duì)于信號(hào)進(jìn)行分析的工具，它既可以分解和分析信號(hào)，也可以將分解的信號(hào)合成為一個(gè)信號(hào)。一般情況下，傅里葉變換是用正弦波充當(dāng)信號(hào)的主要成分。

3 逆系統(tǒng)（Inverse System）

當(dāng)H（jw）*Y（jw）=1時(shí)，則這兩個(gè)系統(tǒng)互為逆系統(tǒng)。假如該系統(tǒng)在不同的信號(hào)激勵(lì)作用下產(chǎn)生了不同的響應(yīng)，那么則稱該系統(tǒng)為可逆系統(tǒng)。并且對(duì)于每一個(gè)可逆系統(tǒng)來說，都存在一個(gè)逆系統(tǒng)。當(dāng)原系統(tǒng)與這個(gè)逆系統(tǒng)級(jí)聯(lián)后，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)則相同。

4 補(bǔ)償系統(tǒng)的設(shè)計(jì)（Design of Compensation System）

當(dāng)把測(cè)量裝置的輸出提供給該補(bǔ)償系統(tǒng)時(shí)，其所產(chǎn)生的輸出等于待測(cè)量液體的瞬時(shí)溫度。假設(shè)這個(gè)裝置對(duì)溫度的響應(yīng)為單位階躍響應(yīng)，見式（5）：

則該響階躍應(yīng)的沖激響應(yīng)，見式（6）：

該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，見式（7）：

現(xiàn)在需對(duì)上方系統(tǒng)構(gòu)建一個(gè)逆系統(tǒng)，因此該逆系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為G（jw），見式（8）：

對(duì)G（jw）進(jìn)行傅里葉逆變換得到式（9）：

5 誤差分析（Error Analysis）

在周期信號(hào)中存在均方誤差，即

周期信號(hào)的最小均方誤差為

在把逆系統(tǒng)作為測(cè)量裝置的補(bǔ)償器時(shí)，常常發(fā)生的一個(gè)問題是：如果由于裝置內(nèi)部發(fā)生了微小而且還無規(guī)律的一些現(xiàn)象，比如分子運(yùn)動(dòng)、化學(xué)變化等等[4]。就導(dǎo)致了測(cè)量裝置的實(shí)際總輸出可能會(huì)包含有一定程度的誤差，那么也可能會(huì)產(chǎn)生相對(duì)較大的讀數(shù)誤差。尤其對(duì)于溫度計(jì)這樣一種很敏感的醫(yī)療測(cè)量工具來說是無法接受的。但是往往在實(shí)際的系統(tǒng)當(dāng)中，這種誤差源總是存在的，因此就必須要將這些誤差納入到考慮范圍當(dāng)中，也就是要進(jìn)行誤差分析。為了證明這一點(diǎn)，現(xiàn)在研究一個(gè)測(cè)量裝置，假定它的總輸出還是可以用式（5）所表示的測(cè)量裝置的響應(yīng)s（t）與干擾“噪聲”信號(hào)n（t）之和來表示和模擬。該模擬的模型圖見圖1。

圖1中包括了逆系統(tǒng)，該系統(tǒng)以測(cè)量該裝置的總輸出作為輸入。假定n（t）=sin（wt），那么當(dāng)n（t）通過該逆系統(tǒng)時(shí)，經(jīng)傅里葉分析的計(jì)算可得輸出p（t）為式（13）：

圖1 誤差分析的模型圖

顯然輸出是直接取決于w的取值，跟其他的值無關(guān)，滿足該系統(tǒng)為線性時(shí)不變系統(tǒng)這個(gè)條件。因此，隨著w的增加，噪聲對(duì)輸出的影響也會(huì)增大。

6 去噪系統(tǒng)（Denoising System）

對(duì)于水銀來說，水銀容易受到紫外線、輻射、高頻場(chǎng)直射等干擾[4]，也就是干擾“噪聲”信號(hào)。干擾“噪聲”信號(hào)在許多線性時(shí)不變系統(tǒng)分析應(yīng)用中是一個(gè)很重要，而且絕對(duì)不可忽視的問題。具體而言，要在系統(tǒng)的響應(yīng)速度和系統(tǒng)抑制高頻干擾的能力之間進(jìn)行基本的平衡。這種平衡意味著，如果提高測(cè)量裝置的響應(yīng)速度，也就是采用前面所述加入一個(gè)逆系統(tǒng)。那么就產(chǎn)生了一個(gè)把那些不需要的正弦信號(hào)也放大了的系統(tǒng)。為了進(jìn)一步說明，考慮一個(gè)測(cè)量裝置，它對(duì)被噪聲污損了的溫度變化做出了瞬時(shí)響應(yīng)。這個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)模型圖見圖2。

圖2 去噪系統(tǒng)模型圖

即該系統(tǒng)的響應(yīng)可以利用理想化測(cè)量裝置的響應(yīng)與污損信號(hào)n（t）的響應(yīng)之和來表示。假如我們希望設(shè)計(jì)一個(gè)新的補(bǔ)償系統(tǒng)，該補(bǔ)償系統(tǒng)的作用就是可以減慢對(duì)實(shí)際溫度變化響應(yīng)的同時(shí)，也衰減了噪聲n（t）。設(shè)這個(gè)補(bǔ)償系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)（Unit Impulse Response）為式（14）：

使得圖2的總系統(tǒng)在對(duì)噪聲n（t）=sin6t所產(chǎn)生的輸出幅度不大于1/4的情況下，對(duì)溫度階躍變化的響應(yīng)盡最大可能的快。

對(duì)該系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行傅里葉變換得：

當(dāng)|H（jw）|2≤，恰好當(dāng)w=6的時(shí)候，即的時(shí)候，就可以得到。此時(shí)這個(gè)范圍內(nèi)的a的取值才能使圖2中的總系統(tǒng)在對(duì)噪聲n（t）=sin（wt）（w值取6的時(shí)候）所產(chǎn)生的總輸出幅度不大于的條件下，對(duì)溫度的階躍變化的響應(yīng)加快。也就是使得水銀溫度計(jì)受外界干擾的程度降低，那么自然該系統(tǒng)就穩(wěn)定、精確。

7 結(jié)束語

對(duì)于溫度計(jì)當(dāng)中水銀的一些特性，按照傳統(tǒng)的溫度計(jì)來看，該溫度計(jì)是無法快速做出反應(yīng)的，但是利用傅里葉分析進(jìn)行改進(jìn)的話，可以最大限度地避免光線、熱輻射等[4]問題對(duì)它的影響，使得該溫度計(jì)會(huì)更加靈敏、測(cè)量精度更加高。通過設(shè)計(jì)一個(gè)補(bǔ)償系統(tǒng)和去噪系統(tǒng)，在水銀溫度計(jì)的靈敏度方面得到了很大提高，在日常家庭生活當(dāng)中起到不小的作用。