譚順成，陳中華，于洪波

(1.海軍航空大學 信息融合研究所，山東 煙臺 264001；2.南京電子技術研究所，江蘇 南京 210039)

0 引言

雷達組網(wǎng)信息位置層的航跡關聯(lián)，是對來自多個雷達的航跡是否對應同一目標做出判決，以保證融合中心航跡數(shù)據(jù)的同一性和完整性。目前，國內(nèi)外已有許多學者對航跡關聯(lián)算法進行了大量的研究，取得了大量的研究成果[1-14]，建立和發(fā)展了基于統(tǒng)計數(shù)學[1-2]、證據(jù)理論[3]、模糊聚類[4-5]、灰色理論[6-8]以及拓撲理論[9]等航跡關聯(lián)算法體系。但是，由于2D雷達不能提供目標的高度或俯仰信息，上述航跡關聯(lián)算法難以直接應用于2D雷達網(wǎng)，而實際的雷達網(wǎng)仍采用著大量的2D雷達，因此如何實現(xiàn)2D雷達網(wǎng)對空中目標的航跡關聯(lián)是一個亟待解決的難點問題。

目前，對2D雷達網(wǎng)的研究主要集中在對空間目標的高度估計上[15-18]，并形成了2種比較常用的方法：幾何法[16]和極大似然法[17-18]。幾何法計算簡單，但估計目標高度的離散性很大，經(jīng)常找不到實數(shù)解；極大似然法理論上講是最優(yōu)的，但在具體求解時，面臨著初值選擇、是否收斂到全局極小點以及收斂速度等問題。文獻[19]研究了基于分布式兩坐標雷達網(wǎng)的目標3維跟蹤方法，在濾波的同時實現(xiàn)對目標高度的估計。但是據(jù)作者所能查閱的文獻，目前尚未見到關于直接利用2D雷達網(wǎng)對空中多目標進行航跡關聯(lián)的報道。

本文從雷達網(wǎng)與目標的空間結構出發(fā)，提出一種基于空間幾何的航跡關聯(lián)算法，解決分布式2D雷達網(wǎng)對空中目標航跡關聯(lián)問題。算法從分析兩雷達航跡對應于同一目標時的幾何關系出發(fā)，建立航跡關聯(lián)函數(shù)，進而進行航跡粗關聯(lián)和航跡精關聯(lián)。在關聯(lián)過程中，算法可根據(jù)雷達本身的特性自適應調整關聯(lián)函數(shù)的門限值，因此算法具有較強的穩(wěn)健性。

1 系統(tǒng)建模

1.1 雷達量測模型

考慮異地配置的2部2D雷達，令s=a,b分別表示雷達a和雷達b。假設不考慮雷達系統(tǒng)偏差以及地球曲率的影響，只考慮雷達隨機量測誤差的影響。在雷達組網(wǎng)系統(tǒng)中，雷達的觀測坐標系采用本地極坐標系，在具體的某一時刻k，編號為s的雷達對目標的距離、方位角的觀測值分別為r′s(k),θ′s(k)。雷達的量測值為真值與隨機量測誤差之和，其表達式如下

(1)

1.2 航跡關聯(lián)模型

假設異地配置的2部2D雷達和目標的空間位置結構如圖1所示。圖中，ra和rb分別表示目標相對于雷達a和雷達b的距離，d表示雷達a和雷達b之間的距離，h表示目標的高度。在兩雷達和目標組成的三角形中，βa表示雷達a和雷達b連線與雷達a和目標連線的夾角，βb表示雷達b和雷達a連線與雷達b和目標連線的夾角。在由雷達和目標在平面投影所組成的三角形中，θa,t表示目標和雷達b相對于雷達a的方位夾角，θb,t表示目標和雷達a相對于雷達b的方位夾角。且目標和雷達的方位夾角可表示為

圖1 雷達網(wǎng)和目標的空間位置圖Fig.1 Space structure of radar network and target

(2)

式中:θa表示目標相對于雷達a的方位角;θb表示目標相對于雷達b的方位角;θa,b表示雷達b相對于雷達a的方位角;θb,a表示雷達a相對于雷達b的方位角。

如圖1所示，在由雷達和目標所組成的三角形中，根據(jù)余弦定理有

(3)

在雷達a和雷達b處，由立體幾何的相關知識可以推導出

(4)

由于2D雷達不能測得目標的高度或俯仰信息，致使不能夠采取有效的濾波方法消除雷達量測誤差而不引進新的誤差，這就使得在建立航跡關聯(lián)模型時需要充分考慮雷達量測誤差對關聯(lián)的影響。目標的俯仰角可表示為

(5)

式中：φa為目標相對于雷達a的俯仰角；φb為目標相對于雷達b的俯仰角；h為目標高度。

對式(4)變形，得

(6)

式(6)表明，在沒有系統(tǒng)偏差和雷達隨機量測誤差的影響下，當2部雷達觀測的航跡對應于同一目標時，雷達和目標的空間位置唯一確定，可據(jù)此建立航跡關聯(lián)模型

(7)

式中：i=1,…,Na表示雷達a的第i條航跡；j=1,…,Nb表示雷達b的第j條航跡；Ns表示雷達s所產(chǎn)生的航跡數(shù)目。顯然，關聯(lián)函數(shù)fa,ij(k)和函數(shù)fb,ij(k)具有相同的物理意義。

2 雷達量測噪聲對關聯(lián)函數(shù)的影響

將式(1)～(3)代入式(7)，有

(8)

(9)

對航跡關聯(lián)函數(shù)ga,ij(k)在雷達量測誤差為零點進行一階泰勒展開，有

(10)

若雷達a的航跡i和雷達b的航跡j對應于同一目標，則

(11)

式(10)可化簡為

ga,ij(k)≈cosφa,isin(θa,b-θa,i(k))ξaθ+

(12)

很顯然，在式(12)中ga,ij(k)是各隨機變量的線性組合，而各隨機變量服從零均值高斯分布，所以ga,ij(k)也服從零均值高斯分布。

同理，式(9)可以簡化為

gb,ij(k)≈-cosφb,jsin(θb,j(k)-θb,a)ξaθ+

(13)

且gb,ij(k)也服從零均值高斯分布。

3 目標高度估計模型

2D雷達雖不能測得目標的高度，但依據(jù)實際情況(如利用雷達垂直面內(nèi)的波束形狀和雷達探測的目標距離)，可以估計出目標出現(xiàn)的最大可能高度hmax和最低可能高度hmin，即目標高度h應滿足條件hmin≤h≤hmax。

將式(5)的代入式(12)，有

ga,ij(k)≈cosβa,isin(θa,b-θa,i(k))ξaθ+

(14)

若兩航跡對應于同一目標，其關聯(lián)函數(shù)值應在零附近且絕對值為最小。因此，將此時的航跡距離和方位信息代入式(14)，可得

(15)

(16)

4 航跡關聯(lián)

4.1 航跡粗關聯(lián)

雷達的量測誤差是服從零均值的高斯分布，根據(jù)高斯分布性質，雷達a的距離和方位量測誤差置信水平為99.7%的置信區(qū)間分別是(-3σar,3σar]和(-3σaθ,3σaθ]。即表示在雷達a置信水平為99.7%情況下雷達的距離和方位量測誤差應滿足式(17)，即

(17)

同理，對雷達b置信水平為99.7%的情況下，雷達的距離和方位量測誤差應滿足式(18)，即

(18)

根據(jù)實際情況，雷達觀測目標的俯仰信息應該滿足0

|ga,ij(k)|≤3cosφa,isin(θa,b-θa,i(k))σaθ+

(19)

若雷達a的航跡i和雷達b的航跡j對應于同一目標，則函數(shù)值ga,ij(k)應滿足式(20)，即

|ga,ij(k)|≤ga,ij(k)max.

(20)

同理對式(13)有

|gb,ij(k)|≤gb,ij(k)max,

(21)

且

gb,ij(k)max=3sin(θb,j(k)-θb,a)σbθ+

(22)

只有當ga,ij(k)和gb,ij(k)同時滿足式(20)和式(21)，才能判定兩航跡在k時刻粗關聯(lián)成功，否則判定兩航跡在k時刻粗關聯(lián)失敗。

4.2 基于歷史信息的關聯(lián)代價

定義從L時刻開始，若雷達a的航跡i和雷達b的航跡j在連續(xù)的M個周期內(nèi)都粗關聯(lián)成功，則定義在L+M時刻兩航跡的關聯(lián)代價為

(23)

若雷達a的航跡i和雷達b的航跡j在連續(xù)的M個周期內(nèi)不能都粗關聯(lián)成功，則定義在M個周期內(nèi)兩航跡的關聯(lián)代價為cij=+∞，表示兩航跡不可能是對應于同一目標。其中，αa為函數(shù)ga,ij(k)對應的權重，αb為函數(shù)gb,ij(k)對應的權重，且有

αa+αb=1.

(24)

由上文分析知ga,ij(k)和gb,ij(k)具有相同的物理意義，所以取αa=αb=0.5。在融合中心對雷達a的Na條航跡和雷達b的Nb條航跡在連續(xù)的M個周期進行航跡粗關聯(lián)，可得到關聯(lián)代價矩陣CNa×Nb。

4.3 航跡精關聯(lián)

假定各雷達所觀測的航跡不存在航跡分岔，即每個目標在雷達中都只產(chǎn)生一條航跡，雷達的每條航跡最多只對應于一個目標，對應的分配原如下：

(1)矩陣的每一行最多有一個元素被分配；

(2)矩陣的每一列最多有一個元素被分配；

(3)所有被分配的元素的值的總和最小。

航跡關聯(lián)可以描述為如下的二維分配問題

(25)

且約束條件為

(26)

式中：ζ(i,j)=1表示雷達a的航跡i和雷達b的航跡j被分配為同一目標；ζ(i,j)=0表示不是同一目標不被關聯(lián)。對于該分配問題，本文采用匈牙利算法進行求解。

5 仿真分析

設異地配置2部2D雷達，其大地坐標分別為(44°,108°,100 m)和(44°,109°,100 m)，2部雷達的采樣周期均為5 s，且仿真持續(xù)時間是200 s。雷達的距離和方位量測誤差都是服從零均值高斯分布，距離方差的取值范圍為(100～300)m，方位方差的取值范圍(0.3°～1°)。對本文算法進行仿真分析，以Ec，Ee和El分別表示航跡正確關聯(lián)概率、錯誤關聯(lián)概率以及漏關聯(lián)概率，則有Ec+Ee+El=1。

圖2和圖3分別為30批和60批編隊目標真運動圖。圖2中有2個編隊，每個編隊都有10個目標在作編隊飛行，其余10個目標作雜散運動。圖3有2個編隊，每個編隊都有20個目標在作編隊飛行，其余20個目標作雜散運動。2種情況下編隊飛行目標的速度是200 m/s，編隊的間隔可以為500 m和1 000 m，其雜散運動目標的速度在(100～200)m/s內(nèi)均勻分布，航向在(0°～360°)內(nèi)均勻分布。運用Matlab進行100次蒙特卡羅仿真實驗，表1和表2分別給出了粗關聯(lián)周期數(shù)M=5和10時的仿真結果。

圖2 30批編隊運動目標真實軌跡圖Fig.2 30 batches of formation targets with true tracks

圖3 60批編隊運動目標真實軌跡Fig.3 60 batches of formation targets with true tracks

由以上仿真結果可知：

(1)在雷達量測誤差較小時，本文提出的關聯(lián)算法的關聯(lián)效果在各種環(huán)境下的關聯(lián)效果相差不大，正確關聯(lián)概率都比較高，錯誤關聯(lián)概率比較低。

(2)由于沒有對雷達航跡數(shù)據(jù)進行濾波處理，直接利用雷達的量測值進行航跡關聯(lián)，在雷達的量測誤差增大時，航跡正確關聯(lián)概率下降明顯，錯誤關聯(lián)概率增加。

(3)縮小編隊運動目標內(nèi)部的編隊間隔，航跡正確關聯(lián)概率下降明顯，且當編隊間隔較小時，隨著雷達量測誤差的增大，錯誤關聯(lián)概率明顯增加。

(4)由表1和表2的對比可知，M=5時的算法性能優(yōu)于M=10時的算法性能，其原因在于受量測誤差的影響，算法很難在一個較大的周期數(shù)M內(nèi)總能將兩雷達測得的同一目標完全正確關聯(lián)起來，因此并不是關聯(lián)周期數(shù)越大算法性能越好，必須依據(jù)實際情況選取合適的關聯(lián)周期數(shù)。

表1 M=5時編隊運動仿真結果Table 1 Simulation results for formation targets with M=5

表2 M=10時編隊運動仿真結果Table 2 Simulation results for formation targets with M=10

6 結論

本文從雷達網(wǎng)與目標的空間幾何結構出發(fā)，針對沒有系統(tǒng)差情況下異地配置的2部2D雷達，提出了一種基于空間幾何的航跡關聯(lián)算法，解決了2D雷達網(wǎng)對空中目標的航跡關聯(lián)問題，主要包括以下內(nèi)容：

(1)在空間幾何的性質下，給出了2部2D雷達的航跡關聯(lián)模型，該模型不需要兩雷達航跡實現(xiàn)空間對準，避免了由于缺乏高度給坐標轉換帶來的誤差。

(2)結合雷達量測誤差的置信區(qū)間和關聯(lián)函數(shù)的高斯特性給出了航跡關聯(lián)的粗關聯(lián)門限。

(3)基于歷史信息給出了兩航跡關聯(lián)的關聯(lián)代價，并利用航跡最優(yōu)分配實現(xiàn)航跡的配對。

從仿真結論來看，以空間幾何模型為基礎，利用空間幾何的相關性質建立航跡關聯(lián)函數(shù)，在雷達不存在系統(tǒng)偏差，只有雷達量測噪聲影響的情況下，本文提出的關聯(lián)算法能夠有效地實現(xiàn)兩2D雷達的航跡關聯(lián)，因此具有一定的工程應用價值。