恒成立問題的解題思路與常見解法

陳海東

(江蘇省啟東中學(xué) 226200)

一、借助一元二次函數(shù)的判別式解決恒成立問題

借助一元二次函數(shù)的判別式來解決恒成立問題的主要方式是，對(duì)于函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，其中(x∈R)，若f(x)>0恒成立，那么此函數(shù)中一定有兩個(gè)式子成立：a>0,Δ<0；若f(x)<0恒成立，那么a<0,Δ<0.當(dāng)然，不同的題目有不同的要求，同學(xué)們要靈活處理.

例1若方程y=(m-1)x2+(m-1)x+2在x∈R上y>0恒成立，求m的取值范圍.

解析因?yàn)楫?dāng)x∈R時(shí)y=(m-1)x2+(m-1)x+2>0恒成立.

所以根據(jù)函數(shù)的判別式可得：

聯(lián)立上式可解得：1

所以m的取值范圍為[1,9).

二、借助一次函數(shù)的性質(zhì)解決恒成立問題

借助函數(shù)的性質(zhì)來解決恒成立問題，主要指的是對(duì)于函數(shù)f(x)而言，如果函數(shù)f(x)>0恒成立，那么在x的區(qū)間范圍內(nèi)，當(dāng)x為任意一個(gè)數(shù)值時(shí)，f(x)的值均大于零.例如：一次函數(shù)f(x)=kx+b，其中x∈[m,n]，若f(x)>0，那么f(m)>0，且f(n)>0.

例2已知|P|<2，且P∈R，若要使不等式(log2x)2+(P-2)log2x+1-P>0恒成立，求x的取值范圍.

分析仔細(xì)觀察這道題目，我們可以發(fā)現(xiàn)如果先解對(duì)數(shù)函數(shù)的不等式，得到p的取值范圍之后，再去求x的取值范圍，那么解題過程就會(huì)十分繁瑣.因此，我們可以首先將對(duì)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于p的一次不等式，然后在P∈(-2,2)的取值范圍內(nèi)，靈活使用關(guān)于p的一次函數(shù)的性質(zhì)，得到兩個(gè)關(guān)于x的不等式，然后求出x的取值范圍.

解析因?yàn)閨P|<2，且P∈R，即P∈(-2,2).

設(shè)f(P)=(log2x)2+(P-2)log2x+1-P，

因?yàn)椴坏仁?log2x)2+(P-2)log2x+1-P>0恒成立，

三、借助函數(shù)的最值解決恒成立問題

在恒成立問題中利用函數(shù)的最值，其含義是在定義域內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)，如果f(x)≥g(x)恒成立，那么一定有f(x)max≥g(x)max，反之亦然.同樣，如果a≥f(x)恒成立，那么一定有a≥f(x)max.我們?cè)谟龅胶愠闪栴}時(shí)，可以靈活地運(yùn)用函數(shù)的最值幫助我們求解.

解析若當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí)，f(x)恒有意義，

那么當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí)，1+2x+4x·a>0恒成立.

所以當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí)，g(x)為增函數(shù).

除了以上提到的幾點(diǎn)，還有其他關(guān)于恒成立問題的解法，如特值代入法等.雖然恒成立問題理解起來不是十分容易，但我們可以針對(duì)題目，具體問題具體分析，尋找合適的解法，因此，希望同學(xué)們及時(shí)歸納總結(jié)，并熟練掌握這些思路和方法.