結(jié)論眾多 通法何在
——2020年導(dǎo)數(shù)壓軸題引發(fā)的思考

謝賢祖

(華南師大附中汕尾學(xué)校 516600)

一、勤于積累，利于解題

在舊教材人教A版選修2-2第32頁的習(xí)題1.3 B組第1題涉及幾個(gè)常見的不等式.

例1 求證： sinx1+x(x≠0)，lnx0).

眾所周知，這幾個(gè)不等式非常重要，在證明函數(shù)不等式或者放縮過程中有著舉重若輕的作用，甚至有很多老師和網(wǎng)絡(luò)大神還總結(jié)了更多的不等式，使得它們成為解題利器，并要求學(xué)生背誦，以備不時(shí)之需，下面先梳理最為常見的和筆者自認(rèn)為重要的結(jié)論并匯總?cè)缦?

證明過程較為簡(jiǎn)單，此處從略.下面筆者先結(jié)合2020年高考導(dǎo)數(shù)題，分析一下解題思路，展示一下這幾個(gè)結(jié)論的妙用，再談?wù)剛€(gè)人的感悟與思考.

例4(2020年山東21題·節(jié)選)f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1，求a的范圍.

分析先用“必要性探路”.由題意，得f(1)=a+lna≥1.而g(a)=a+lna是增函數(shù)，且g(1)=1，由g(a)=a+lna≥g(1)?a≥1.下面先證明a=1時(shí)，f(x)≥1恒成立.當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ex-1-lnx.由常見不等式ex≥1+x和x-1≥lnx可得ex-1≥x≥lnx+1.

所以f(x)=ex-1-lnx≥1.所以當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1.

總結(jié)其實(shí)例4所考查的關(guān)鍵不等式：ex-1-lnx≥1，在2013年全國Ⅱ卷21題中考過.題目展示如下：已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m),當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.所以是舊題重考，略有創(chuàng)新.這兩道題都是經(jīng)典好題，使用常見不等式鏈ex-1≥x≥lnx+1便可輕松解決，值得作為高三復(fù)習(xí)的重點(diǎn)素材.

令h′(x)=0，可得x=2.當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，h′(x)>0，所以h(x)在x∈(0,2)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(2，+∞)時(shí)，h′(x)<0，所以h(x)在x∈(2，+∞)單調(diào)遞減.

例6 (2020年浙江卷22題)已知函數(shù)f(x)=ex-x-a(1

(1)證明：f(x)在(0,+∞)上有唯一零點(diǎn);

(2)設(shè)x0是f(x)在(0,+∞)上的唯一零點(diǎn)，證明：

②x0f(ex0)≥(e-1)(a-1)a.

總結(jié)上述解法用到常見不等式ex≥1+x,ex≥ex，但是如何想到使用這兩個(gè)不等式而不使用其它以及如何優(yōu)雅的一路暢通證明不等式，是需要經(jīng)過不斷嘗試、遇到挫折、再調(diào)整才能想到的.

二、追本溯源，總結(jié)反思

1.恒成立問題首選分離參數(shù)，這是比較好想的，但并不是什么時(shí)候都能做出，所以還需引導(dǎo)學(xué)生如果遇到困難，就要調(diào)整策略，這應(yīng)該也要成為解題的“通用思維”.而通過“代點(diǎn)”“必要性探路”“先猜后證”來解決恒成立問題也是非常體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的，應(yīng)該納入“通性通法”的范疇.

2.構(gòu)造函數(shù)、求導(dǎo)、因式分解、判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)、結(jié)合畫圖、討論單調(diào)性再用之解題應(yīng)該成為永恒不變的主旋律.如果一次求導(dǎo)不能解決問題則可以嘗試多次求導(dǎo)，這也是正常操作，如果多次求導(dǎo)后還解決不了問題則需要另尋出路.

3.零點(diǎn)存在性定理是證明函數(shù)零點(diǎn)存在的通用方法，也是“卡根”“求根的范圍”的重要手段.

4.對(duì)要證明的不等式進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化直到找到證明思路是正常手段，如果在轉(zhuǎn)化過程中出現(xiàn)自己總結(jié)過的常見不等式，則單獨(dú)“抽出”并證明，所以平時(shí)多積累常見不等式或者自己不小心發(fā)現(xiàn)的“小結(jié)論”無可厚非，但對(duì)于一些不常見、不優(yōu)雅、無規(guī)律的不等式只需見過就好，不必強(qiáng)求記憶.