基于量子粒子群算法的主動(dòng)懸架分?jǐn)?shù)階控制策略

許 力，曹青松，張定軍

(江西科技學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，南昌 330098)

主動(dòng)懸架可以簡(jiǎn)單看成由被動(dòng)懸架與作動(dòng)器組成的一種新型懸架，作動(dòng)器可實(shí)時(shí)依據(jù)路面信息及車(chē)身振動(dòng)情況按照控制規(guī)律對(duì)車(chē)身產(chǎn)生一個(gè)力的作用，來(lái)平衡路面的沖擊，提高車(chē)輛平順性與乘坐舒適性。所以，作動(dòng)器控制策略影響著主動(dòng)懸架性能，相關(guān)研究也受到國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者的廣泛關(guān)注，已經(jīng)提出了以整數(shù)階微積分理論作為基礎(chǔ)的主動(dòng)懸架滑?？刂?、自適應(yīng)控制、模糊控制等諸多控制策略[1-3]。

近年來(lái)，由于分?jǐn)?shù)階微積分的記憶特性，能更真實(shí)地描述具有黏彈、滯回等非線(xiàn)性物體的數(shù)學(xué)模型，越來(lái)越多地應(yīng)用于磁流變液或油氣主動(dòng)懸架的數(shù)學(xué)建模上[4-5]。孫會(huì)來(lái)等[6]采用Caputo分?jǐn)?shù)階微積分對(duì)油氣懸架進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，通過(guò)試驗(yàn)證明了分?jǐn)?shù)階模型比整數(shù)階模型更為精確。此外，分?jǐn)?shù)階微積分對(duì)被控對(duì)象參數(shù)的變化具有較強(qiáng)魯棒性等優(yōu)點(diǎn)[7-8]，許多學(xué)者將分?jǐn)?shù)階微積分理論應(yīng)用于主動(dòng)懸架的控制器設(shè)計(jì)。Tar等[9]基于包含空氣彈簧、黏性阻尼彈簧和液壓非線(xiàn)性阻尼器的模型，引入分?jǐn)?shù)階控制器以抑制路面帶來(lái)的振蕩。梁軍等[10]將其應(yīng)用于半主動(dòng)懸架的天棚控制中，對(duì)天棚阻尼系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，提高了平順性。高遠(yuǎn)等[11]提出一種以分?jǐn)?shù)階微分信號(hào)作為控制器輸入的分?jǐn)?shù)階模糊控制方法。陳炎冬等[12]在主動(dòng)懸架滑模控制中引入分?jǐn)?shù)階趨近率，有效削弱了滑模控制中抖振問(wèn)題。

在分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中，由于增加了積分階次或微分階次等參數(shù)，從而使控制器參數(shù)整定變得更加復(fù)雜。許多學(xué)者為簡(jiǎn)化參數(shù)整定過(guò)程，將分?jǐn)?shù)階微積分進(jìn)行等效逼近[13]再采用各類(lèi)數(shù)字算法對(duì)其參數(shù)進(jìn)行優(yōu)選。Dong等[14]基于電液懸架線(xiàn)性模型，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，采用克隆選擇算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行整定。吳光強(qiáng)等[15]采用Oustaloup濾波器算法對(duì)分?jǐn)?shù)階天棚阻尼半主動(dòng)懸架進(jìn)行參數(shù)整定，與被動(dòng)懸架、整數(shù)階主動(dòng)懸架對(duì)比分析。陳炎冬等[16]采用遺傳算法對(duì)主動(dòng)懸架分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)仿真表明，其對(duì)削弱車(chē)身共振效果明顯優(yōu)于整數(shù)階PID控制器。游浩等[17]針對(duì)1/4車(chē)輛被動(dòng)懸架，建立分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型，采用粒子群算(particle swarm optimization,PSO)法對(duì)彈簧剛度和阻尼系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后乘車(chē)舒適性可明顯改善。張欣等[18]針對(duì)高低溫試驗(yàn)箱分?jǐn)?shù)階被控系統(tǒng)，設(shè)計(jì)一個(gè)分?jǐn)?shù)階PIλDμ閉環(huán)控制器，利用量子粒子群算法(quantum particle swarm optimization,QPSO)對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行整定，采用量子旋轉(zhuǎn)門(mén)對(duì)粒子位置進(jìn)行更新，并與PSO整定方法比較，得出QPSO具有更強(qiáng)的尋優(yōu)能力。

本文基于上述研究背景，建立基于分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的1/4懸架模型，采用QPSO算法對(duì)PIλDμ進(jìn)行參數(shù)整定，建立集合車(chē)身垂向加速度、懸架動(dòng)撓度和車(chē)輪動(dòng)載荷的綜合評(píng)價(jià)函數(shù)，從時(shí)域和頻域分析被動(dòng)懸架、整數(shù)階主動(dòng)懸架和分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架的控制性能。

1 分?jǐn)?shù)階微積分與Outstaloup逼近法

(1)

由式(1)可知，分?jǐn)?shù)階微積分算子sα的幅頻特性曲線(xiàn)是以20αdB/dec為斜率的直線(xiàn)，相頻特性為恒定值α·(π/2)。整數(shù)階微積分中α只能為正整數(shù)或負(fù)整數(shù)，幅頻和相頻相對(duì)固定、不易調(diào)節(jié)，分?jǐn)?shù)階微積分中α可以為任意實(shí)數(shù)，幅頻和相頻特性調(diào)節(jié)更為方便。

關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值計(jì)算，不同的定義式有不同的計(jì)算方法，通常計(jì)算結(jié)果受步長(zhǎng)h影響較大。要更準(zhǔn)確地計(jì)算其數(shù)值，h值越小越好，累加次數(shù)相應(yīng)增多，計(jì)算量更大。將分?jǐn)?shù)階微積分分成幾個(gè)頻率段，并在各頻率段內(nèi)用不同階次的整數(shù)階微積分進(jìn)行擬合近似，可得到較為準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，且減小了累加次數(shù)。本文采用的是改進(jìn)型Outstaloup逼近算法，在某一頻率段(ωb，ωh)內(nèi)對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子sα可近似為整數(shù)階零極點(diǎn)型式的累乘。

在頻率段(0.001 rad/s,1 000 rad/s)內(nèi)，-0.5階微分算子伯德圖在濾波器階次分別為1,3,5時(shí)的曲線(xiàn),如圖1所示。濾波器階次越高，逼近效果越好，但是增加了累乘次數(shù)，所以本文選取的濾波器階次N為3。

圖1 不同階次濾波器逼近效果Fig.1 Approximation effect of different order filters

2 基于分?jǐn)?shù)階控制器的主動(dòng)懸架模型

2.1 1/4車(chē)輛主動(dòng)懸架模型

圖2所示為1/4懸架振動(dòng)模型，忽略了輪胎阻尼，圖中:mb為車(chē)身質(zhì)量，mt為輪胎質(zhì)量，kb為車(chē)身懸架剛度，cb為懸架阻尼系數(shù)，xb,xt分別為車(chē)身和輪胎的垂向位移，x0為路面輸入，u為作動(dòng)器輸出的力。那么，主動(dòng)懸架系統(tǒng)的線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)微分方程為

(3)

2.2 基于分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的懸架模型

圖2中u是由車(chē)身加速度誤差信號(hào)經(jīng)PIλDμ控制器得到，如式(4)所示

圖2 主動(dòng)懸架系統(tǒng)模型Fig.2 Active suspension system model

U(s)=-F(s)s2Xb

(4)

對(duì)式(3)兩邊做拉普拉斯變換，可得車(chē)身位移和輪胎位移對(duì)路面激勵(lì)的傳遞函數(shù)，分別如下所示

(5)

(6)

式中:A(s)=s2[F(s)+mb]+B(s);B(s)=cbs+kb。

同時(shí)，分?jǐn)?shù)階控制器PIλDμ是在整數(shù)階PID控制器的比例系數(shù)、積分系數(shù)、微分系數(shù)3個(gè)可調(diào)參數(shù)基礎(chǔ)上，再引入可調(diào)的積分階次參數(shù)λ和微分階次參數(shù)μ，其能靈活地調(diào)節(jié)控制器。分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的時(shí)域表達(dá)式為

(7)

其傳遞函數(shù)為

F(s)=kp+kis-λ+kdsμ

(8)

當(dāng)F(s)=0時(shí),為被動(dòng)懸架;當(dāng)F(s)=kp+kis-1+kds時(shí)，為含整數(shù)階PID控制器的主動(dòng)懸架;當(dāng)式(4)中的F(s)為式(8)時(shí)，則為含分?jǐn)?shù)階PID控制器的主動(dòng)懸架。因此，可設(shè)計(jì)如圖3所示含分?jǐn)?shù)階PID控制器的主動(dòng)懸架控制系統(tǒng)。

圖3 系統(tǒng)控制框圖Fig.3 System control block diagram

(9)

式中:g為重力加速度，取9.8 m/s2；fd_max為懸架動(dòng)行程最大值，取0.1 m；l1,l2,l3為加權(quán)系數(shù)，定義域均為(0,1)，三者之和為1，根據(jù)主動(dòng)懸架不同性能的需要而設(shè)置加權(quán)系數(shù)大小。

3 主動(dòng)懸架分?jǐn)?shù)階PIλDμ參數(shù)量子粒子群優(yōu)化

3.1 量子粒子群優(yōu)化算法(QPSO)

QPSO算法是一種具有全局搜索能力的智能算法，解決了PSO算法容易陷入局部最優(yōu)解的問(wèn)題。在粒子進(jìn)化時(shí)，群體中的大部分粒子可能聚集在次優(yōu)解附近，只有少部分粒子遠(yuǎn)離次優(yōu)解，為了避免粒子過(guò)早向次優(yōu)解聚集而引起的早熟現(xiàn)象，本文引入群體平均最佳粒子作為粒子進(jìn)化因素之一，這樣可使遠(yuǎn)離次優(yōu)解的粒子做全局搜索，找到最優(yōu)解。

將[Kp,Ki,Kd,λ,μ]看成五維解空間中粒子，并找出使主動(dòng)懸架的評(píng)價(jià)函數(shù)值最小的粒子，這些粒子具有量子特性，隨迭代次數(shù)的增加而進(jìn)化。每次進(jìn)化，粒子依據(jù)個(gè)體最佳粒子Pi(t)、群體最佳粒子G(t)、群體平均最佳粒子C(t)以及隨機(jī)函數(shù)組合成的進(jìn)化規(guī)則而進(jìn)行更新。C(t)可防止群體陷于早熟，隨機(jī)函數(shù)使得粒子能以不同的概率出現(xiàn)在解空間各個(gè)位置，降低了局部最優(yōu)可能性。其進(jìn)化規(guī)則如下式所示

Xi,j(t+1)=±α·|Cj(t)-Xi,j(t)|·ln[1/ui,j(t)]+

si,j(t)

(10)

其中，

si,j(t)=φi,j(t)·Pi,j(t)+[1-φi,j(t)]·Gj(t)

(11)

(12)

式中：t為第t次迭代；Xi,j為第i粒子第j維；α為收縮-擴(kuò)張系數(shù)，令其由首次迭代時(shí)為1并線(xiàn)性衰減至迭代結(jié)束時(shí)為0.5；ui,j(t),φi,j(t)為第t次迭代第i粒子第j維的概率函數(shù)，且ui,j(t),φi,j(t)～U(0,1)；Pi,j為第i粒子的個(gè)體最佳粒子的第j維；Gj為粒子群最佳粒子的第j維；Cj為粒子群平均最佳粒子的第j維；M為粒子群粒子個(gè)數(shù)。

3.2 主動(dòng)懸架分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)優(yōu)化與確定

根據(jù)3.1節(jié)QPSO算法的思想，主動(dòng)懸架分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)具體整定流程圖如圖4所示。

圖4 QPSO參數(shù)整定流程圖Fig.4 Flow chat of setting parameters by QPSO

步驟1初始化，設(shè)置迭代次數(shù)t_max及粒子初始值。將控制器參數(shù)[Kp,Ki,Kd,λ,μ]看成五維空間中粒子，在其取值區(qū)間內(nèi)隨機(jī)生成M個(gè)粒子當(dāng)作初始值，并且此M個(gè)粒子看成首次迭代中的個(gè)體最佳粒子Pi(0)。

步驟2將步驟1生成的各粒子代入式(5)、式(6)，得到車(chē)身垂向加速度、懸架動(dòng)撓度和車(chē)輪相對(duì)動(dòng)載荷值，并將這3個(gè)值代入式(9)得到各粒子對(duì)應(yīng)的綜合評(píng)價(jià)值J[Xi(0)]。找到M個(gè)粒子中評(píng)價(jià)值最小的那個(gè)粒子記為G(0)。同時(shí)，計(jì)算M個(gè)粒子的平均值C(0)。利用式(10)～式(12)獲得M個(gè)新粒子X(jué)M(1)。

步驟3計(jì)算粒子更新后的綜合評(píng)價(jià)值，找出本次迭代最佳粒子G(t)(綜合評(píng)價(jià)值小者為佳)，并判斷J[G(t)]

步驟4找出本次迭代每個(gè)個(gè)體最佳粒子Pi(t)，判斷方法與步驟3一致，并計(jì)算出的平均最佳粒子C(t)。

步驟5根據(jù)式(10)～式(12)更新出下次迭代的所有粒子X(jué)M(t+1)，并判斷新粒子各維是否超出邊界Range，若超出，則用邊界值代替那一維，否則，粒子值不變?；氐讲襟E3。

步驟6迭代結(jié)束，輸出所有迭代過(guò)程所有粒子中使懸架綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)值最小的那個(gè)粒子。

4 仿真分析

4.1 仿真參數(shù)

懸架系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。設(shè)定式(8)中加權(quán)系數(shù)為：l1=0.8，l2=0.1，l3=0.1。依據(jù)3.2節(jié)的算法，設(shè)定t_max=100,M=50,Kp∈(-1 000,1 000),λ∈(-1,0),μ∈(0,1),Ki,Kd∈(-5 000,5 000)。路面輸入為采用濾波白噪聲法生成的車(chē)速為30 km/h的B級(jí)路面隨機(jī)激勵(lì)信號(hào)，其時(shí)域曲線(xiàn)如圖5所示。

表1 懸架參數(shù)Tab.1 Suspension parameters

圖5 路面激勵(lì)Fig.5 Road excitation

4.2 控制器參數(shù)整定過(guò)程

圖6所示為兩種主動(dòng)懸架參數(shù)整定過(guò)程，相比于QPSO整數(shù)階參數(shù)整定，對(duì)分?jǐn)?shù)階參數(shù)進(jìn)行整定時(shí)，J值更小并更容易收斂至最優(yōu)值，全體粒子也更容易達(dá)到最佳位置。說(shuō)明雖然分?jǐn)?shù)階參數(shù)比整數(shù)解參數(shù)多了兩個(gè)，但利用QPSO對(duì)分?jǐn)?shù)階參數(shù)整定時(shí)，效率更高。

圖6 參數(shù)整定過(guò)程Fig.6 Parameters setting process

求得整數(shù)階控制器參數(shù)為：[334.5，362.9，0]，分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)為：[54.39，3 750，69.59，-0.887 3，0.273 5]。

4.3 時(shí)域分析

對(duì)被動(dòng)懸架、整數(shù)階主動(dòng)懸架和分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架進(jìn)行時(shí)域仿真分析，觀(guān)測(cè)車(chē)身垂向加速度、懸架動(dòng)撓度及車(chē)輪相對(duì)動(dòng)載荷的變化趨勢(shì)。表2為3個(gè)觀(guān)測(cè)參數(shù)的均方根值，圖7～圖9為觀(guān)測(cè)參數(shù)時(shí)域曲線(xiàn)，圖10為兩種主動(dòng)懸架作動(dòng)器輸出的作用力時(shí)域曲線(xiàn)。

表2 被測(cè)參數(shù)均方根值Tab.2 RMS of measured parameters

見(jiàn)表2所示，相比于被動(dòng)懸架，整數(shù)階控制方式及分?jǐn)?shù)階控制方式下的主動(dòng)懸架綜合性能分別提升了21.64%和27.11%。車(chē)身垂向加速度降低明顯，其中整數(shù)階主動(dòng)懸架下降了28.56%，分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架降低了30.8%。結(jié)合圖7，分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架的瞬時(shí)值相對(duì)最小，被動(dòng)懸架的瞬時(shí)值相對(duì)最高。所以由QPSO確定參數(shù)的兩種主動(dòng)懸架均可減小車(chē)身垂向加速度，提升車(chē)輛平順性，并且分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架相對(duì)整數(shù)階主動(dòng)懸架提升的更明顯。

圖7 車(chē)身垂向加速度時(shí)域曲線(xiàn)Fig.7 Vertical acceleration of vehicle body

在懸架動(dòng)撓度方面，表2所示的被動(dòng)懸架均方根值最小，而分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架相對(duì)最大，但與整數(shù)階主動(dòng)懸架相差不多。結(jié)合圖8可知：分?jǐn)?shù)階懸架動(dòng)撓度的最大值與整數(shù)階主動(dòng)懸架相比有所下降，相比被動(dòng)懸架其最大值幾乎相等，均在0.016 m附近。在車(chē)輪相對(duì)動(dòng)載荷上，被動(dòng)懸架也是表現(xiàn)最為良好的。結(jié)合表2和圖9可知：無(wú)論是均方根值還是瞬時(shí)值，分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架均優(yōu)于整數(shù)階主動(dòng)懸架?？傮w來(lái)看：分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架相比整數(shù)階主動(dòng)懸架能夠進(jìn)一步增強(qiáng)車(chē)輛的減振性能，提升了平順性。

圖8 懸架動(dòng)撓度時(shí)域曲線(xiàn)Fig.8 Dynamic deflection of suspension

圖9 車(chē)輪相對(duì)動(dòng)載荷時(shí)域曲線(xiàn)Fig.9 Wheel relative dynamic load

圖10為兩種主動(dòng)懸架控制力的輸出曲線(xiàn)，整數(shù)階控制力均方根值為96.67 N，均方根值為108.1 N。分?jǐn)?shù)階控制的作動(dòng)器相比整數(shù)階控制在增加汽車(chē)平順性同時(shí)，加大了作動(dòng)器的輸出。然而，相對(duì)于分?jǐn)?shù)階控制的輸出，整數(shù)階作動(dòng)器在相同時(shí)間內(nèi)，正負(fù)變化相對(duì)頻繁。

圖10 作動(dòng)器輸出Fig.10 Actuator output

4.4 頻域特性分析

根據(jù)式(5)、式(6)可求出車(chē)身垂向加速度、懸架動(dòng)撓度和車(chē)輪-路面相對(duì)動(dòng)位移對(duì)路面激勵(lì)導(dǎo)數(shù)的傳遞函數(shù)。其伯德圖如圖11、圖12、圖13所示。

圖對(duì)頻域特性Fig.11 Frequency-domain

圖12 xb-xt對(duì)頻域特性Fig.12 Frequency-domain characteristics of xb-xt versus

圖13 Fd/G對(duì)頻域特性Fig.13 Frequency-domain characteristics of Fd/G versus

由1/4車(chē)輛懸架的頻率特性可知:該模型有兩個(gè)共振點(diǎn)，分別處在1 Hz和10 Hz附近。由圖11可知:在1 Hz附近的共振點(diǎn)處，整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階控制的主動(dòng)懸架相對(duì)被動(dòng)懸架，其增益峰值分別減小了35%和69%，主動(dòng)懸架對(duì)1 Hz處的共振有明顯抑制作用，但分?jǐn)?shù)階的抑制效果更好，從而對(duì)車(chē)輛平順性有顯著改善。在3～10 Hz的頻率段，主動(dòng)懸架的增益幅值明顯下降，并且兩種主動(dòng)懸架對(duì)振動(dòng)的抑制效果相差不大。在10 Hz及以上的頻率段內(nèi)，兩種主動(dòng)懸架對(duì)于平順性的改善效果不明顯。

由圖12可知:整數(shù)階主動(dòng)懸架動(dòng)撓度的增益在模型的兩個(gè)共振點(diǎn)處均保持較大值，分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架在4 Hz以下的頻段內(nèi)對(duì)懸架動(dòng)撓度的增益最低，而在4 Hz以上頻段內(nèi)，其增益相較于被動(dòng)懸架惡化。

由圖13可知:在1 Hz左右的頻段內(nèi)，分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架車(chē)輪相對(duì)動(dòng)載荷增益最低，在中間頻段整數(shù)階主動(dòng)懸架增益最低，在10 Hz左右的頻段內(nèi)，兩個(gè)主動(dòng)懸架對(duì)車(chē)輪相對(duì)動(dòng)載荷有明顯的惡化，這是因?yàn)樵u(píng)價(jià)指標(biāo)的制約，相較而言，整數(shù)階主動(dòng)懸架的惡化程度高于分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架。綜合以上幅頻分析可知，分?jǐn)?shù)階控制主動(dòng)懸架對(duì)于低頻段減小共振效果明顯。

從圖11～圖13相位曲線(xiàn)來(lái)看：含分?jǐn)?shù)階控制器的主動(dòng)懸架系統(tǒng)低頻段相位變化更加平緩，高頻段相位變化與整數(shù)階主動(dòng)懸架和被動(dòng)懸架變化趨勢(shì)類(lèi)似，分?jǐn)?shù)階控制器更容易實(shí)現(xiàn)主動(dòng)懸架控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

5 結(jié) 論

建立1/4主動(dòng)懸架振動(dòng)模型，采用量子粒子群優(yōu)化算法對(duì)整數(shù)階控制器和分?jǐn)?shù)階控制器進(jìn)行參數(shù)整定，從時(shí)域、頻域兩方面對(duì)被動(dòng)懸架、整數(shù)階主動(dòng)懸架和分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架進(jìn)行對(duì)比研究。結(jié)果表明，主動(dòng)懸架對(duì)車(chē)輛平順性有很大改善，相對(duì)于整數(shù)階主動(dòng)懸架，分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架在車(chē)身垂向加速度、懸架動(dòng)撓度和車(chē)輪動(dòng)載荷等指標(biāo)方面均有一定程度的改善；相比被動(dòng)懸架在高頻段有一定程度惡化，而低頻段分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架性能改善明顯。因此，采用量子粒子群算法對(duì)含分?jǐn)?shù)階控制器的主動(dòng)懸架進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化的方法可取，為主動(dòng)懸架分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。