孔洞對(duì)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子影響的仿真分析

楊露露，陳 浩，楊亞莉

（上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201600）

0 引言

科技的發(fā)展驅(qū)動(dòng)材料輕量化。鋁合金由于低密度、高強(qiáng)度、低成本的優(yōu)秀性能，廣泛應(yīng)用于汽車、航天等機(jī)械制造行業(yè)中。鑄造鋁合金由于其良好的性能，通常應(yīng)用于發(fā)動(dòng)機(jī)、車架等高強(qiáng)度受力部位，而材料的內(nèi)部裂紋和孔洞缺陷往往會(huì)對(duì)鋁合金強(qiáng)度造成較大影響［1-2］，因此對(duì)鋁合金的力學(xué)強(qiáng)度研究十分重要，ABAQUS 等仿真分析軟件為研究提供了平臺(tái)支撐。

許多學(xué)者對(duì)孔洞和裂紋缺陷進(jìn)行了研究。姜文等［3］、曾祥太［4］從孔洞缺陷的特征出發(fā)，展示了孔洞缺陷的特征參數(shù)對(duì)裂紋的產(chǎn)生和擴(kuò)展作用，提出了孔洞疲勞壽命的定量預(yù)測(cè)模型；莫得鋒等［5］研究了壽命模型與線彈性斷裂模型之間的內(nèi)在聯(lián)系，指出在材料缺陷中孔洞的分布往往呈現(xiàn)無規(guī)律狀態(tài)；馬迎松［6］研究了隨機(jī)分布的孔洞對(duì)材料的破壞規(guī)律。在材料破壞過程中，會(huì)經(jīng)歷孔洞成型、裂紋成型到裂紋擴(kuò)展幾個(gè)階段，裂紋和孔洞往往與材料的失效斷裂階段同時(shí)存在。在裂紋擴(kuò)展階段，孔洞同樣會(huì)對(duì)裂紋擴(kuò)展產(chǎn)生影響。一些學(xué)者研究了殘余應(yīng)力對(duì)孔洞裂紋的擴(kuò)展影響，引入了塑性變形參數(shù)，提出疲勞裂紋萌生壽命預(yù)測(cè)曲線［7-8］?？锥磿?huì)改變裂紋尖端的應(yīng)力分布，從而改變裂紋擴(kuò)展速率和擴(kuò)展角度。呂斐等［9］、石路楊等［10］引入應(yīng)力影響系數(shù)來預(yù)測(cè)裂紋擴(kuò)展路徑的變化趨勢(shì)；劉劍等［11］、涂文鋒等［12］、寇佩佩［13］使用擴(kuò)展有限元方法對(duì)含孔洞裂紋擴(kuò)展進(jìn)行分析，證明了擴(kuò)展有限元的合理性和簡潔性；Lang等［14］通過數(shù)值模擬和計(jì)算，研究了降低裂紋擴(kuò)展速率的應(yīng)力分布。ABAQUS 不僅針對(duì)材料損傷，在工程中應(yīng)用也很廣泛［15-18］，在機(jī)械車輛的動(dòng)力特性以及強(qiáng)度剛度方面發(fā)揮著重要作用。以上研究都是基于各類有限元軟件對(duì)單孔洞或孔洞裂紋的相互作用來進(jìn)行，對(duì)于三維裂紋尖端受孔洞影響的定量分析研究卻較少。本文通過ABAQUS 對(duì)含孔洞的6061 鋁合金內(nèi)部的三維裂紋尖端進(jìn)行特征分析，設(shè)定分布參數(shù)（距離、大小、角度），研究裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子變化，并且通過MATLAB 進(jìn)行三維擬合，為裂紋擴(kuò)展速率和角度的變化提供理論支撐［19］。

1 有限元模型建立及孔洞各參數(shù)模型分析

三維裂紋和孔洞仿真模型選擇長度為a=5mm，寬度和厚度均為b=2mm 的長方體模型，在裂紋設(shè)置上選擇中間貫穿裂紋，長度為L=2mm，孔洞位置在裂紋尖端中間處，裂紋和孔洞位置二維展示如圖1 所示。

Fig.1 Two-dimensional model of hole crack圖1 孔洞裂紋二維模型

材料參數(shù)設(shè)置為：彈性模量E=71 000Gpa，泊松比λ=0.33，模型采用下端固定，上端施加σ=1 000Mpa 的豎直應(yīng)力，內(nèi)部貫穿裂紋長度為L=2mm。

由于要研究孔洞對(duì)于裂紋尖端處的應(yīng)力強(qiáng)度因子影響，因此要考慮孔洞的3 種變量參數(shù)，分別為孔洞離裂紋尖端的距離l、角度ω以及孔洞半徑大小r。由于計(jì)算過程中J積分的穩(wěn)定性，同時(shí)對(duì)于I 型裂紋，其J 積分和應(yīng)力強(qiáng)度因子K 之間存在如下關(guān)系：

其中E 為材料的彈性模量，因此在計(jì)算中采用J 積分進(jìn)行計(jì)算。

ABAQUS 中模型的網(wǎng)格劃分為四面體和六面體單元，基于對(duì)模型結(jié)果要求的精確性，選擇六面體網(wǎng)格，全局種子設(shè)置為0.04。由于含裂紋孔洞模型無法直接劃分六面體，因此需要對(duì)其進(jìn)行切分。將孔洞獨(dú)立切割出來，再將其均等切割成八等份，并將其由圓心到圓邊逐漸加密Sin?gle 單元，最小到最大尺寸為0.001～0.002 5，其種子設(shè)置如圖2 所示。

Fig.2 Local encryption of hole unit圖2 孔洞單元的局部加密

最終得到模型的各參數(shù)設(shè)置如圖3 所示。

Fig.3 Model parameter setting圖3 模型參數(shù)設(shè)置

1.1 孔洞距裂紋尖端的距離對(duì)J 積分的影響

對(duì)孔洞參數(shù)進(jìn)行設(shè)定時(shí)，由于孔洞離裂紋尖端太遠(yuǎn)，應(yīng)力影響會(huì)不明顯，太近時(shí)網(wǎng)格劃分又比較困難。因此，對(duì)距離l劃分為7 組，分別為0.03mm、0.05mm、0.1mm、0.15mm、0.2mm、0.25mm、0.3mm。控制恒定變量為：角度ω=90°，孔洞大小半徑r=0.004mm。在進(jìn)行分析前，對(duì)比實(shí)驗(yàn)設(shè)定為無孔洞時(shí)的裂紋中間節(jié)點(diǎn)的J 積分，在ABAQUS 后處理模塊中可以得出其大小為91.68，將其設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)值J0。再對(duì)7 組含孔洞模型分別分析其節(jié)點(diǎn)處J 積分，結(jié)果如圖4所示的應(yīng)力云圖。

Fig.4 Stress nephogram of result analysis圖4 結(jié)果分析應(yīng)力云圖

計(jì)算差值如表1 所示。

Table 1 The value of J integral varying with hole distance at crack intermediate node表1 裂紋中間節(jié)點(diǎn)處隨孔洞距離變化的J 積分的值

將其在MATLAB 中進(jìn)行曲線擬合如圖5 所示。

Fig.5 The relationship curve of J integral value changing with hole crack distance圖5 J 積分變化值隨孔洞裂紋距離變化的關(guān)系曲線

從圖5 可以看出其函數(shù)類型為冪函數(shù)，其J 積分差值f(x)的函數(shù)表達(dá)式為：

對(duì)其R2，檢驗(yàn)其值為R2=0.996 6，符合擬合標(biāo)準(zhǔn)。

由圖5 可以看出，孔洞位于裂紋上方時(shí)，孔洞距離裂紋尖端越近，裂紋尖端的J 積分越小，且呈現(xiàn)冪函數(shù)形式的變化趨勢(shì)?？锥刺帒?yīng)力集中，會(huì)對(duì)其周圍的應(yīng)力場(chǎng)產(chǎn)生弱化影響，這一過程原理近似于工程應(yīng)用中“止裂孔”的作用。

1.2 孔洞距裂紋尖端的角度對(duì)J 積分的影響

模型的設(shè)定中力的施加為豎直力，孔洞周圍的應(yīng)力場(chǎng)會(huì)隨著孔洞和裂紋尖端的相對(duì)位置變化而變化。在角度分析中，由于對(duì)稱性，將孔洞與裂紋中點(diǎn)處的夾角設(shè)定為0°～180°即可，本文選擇夾角為0°、30°、60°、90°、120°、150°六個(gè)角度，控制恒定變量為孔洞到裂紋尖端距離0.1mm，孔洞大小半徑為r=0.004mm，對(duì)六組模型分析其裂紋中點(diǎn)處J積分結(jié)果如表2 所示。

將其在MATLAB 中進(jìn)行曲線擬合如圖6 所示。

在曲線擬合中，對(duì)不同函數(shù)的R2進(jìn)行比較，最終確定復(fù)合三角函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式如下：

由圖6 的曲線可知，角度對(duì)于裂紋尖端的J 積分有著較大影響，在靠近裂紋尖端水平處的孔洞會(huì)增大裂紋尖端的J 積分值，在45°和135°附近時(shí)，孔洞對(duì)于裂紋尖端的J 積分減小作用最明顯，在0°～90°以及90°～180°處的影響近乎相同。

Table 2 J integral value of crack intermediate node varying with hole angle表2 裂紋中間節(jié)點(diǎn)處隨孔洞角度變化的J 積分值

Fig.6 Relationship curve of J integral ralue changing with hole crack angle圖6 J 積分變化值隨孔洞裂紋角度變化的關(guān)系曲線

1.3 孔洞半徑大小對(duì)J 積分的影響

在不考慮鑄造缺陷的狀況下，孔洞往往呈現(xiàn)很小的半徑范圍，多為微米級(jí)別，將其分組設(shè)置為1～6μm，其對(duì)裂紋尖端中點(diǎn)處的J 積分影響如表3 所示。

Table 3 J integral value of crack intermediate node varying with hole radius表3 裂紋中間節(jié)點(diǎn)處隨孔洞半徑變化的J 積分值

曲線展示如圖7 所示。

Fig.7 Variation curve of J integral difference at crack tip with hole radius圖7 裂紋尖端J 積分差值隨孔洞半徑變化曲線

由圖7 可知，當(dāng)孔洞半徑很小時(shí)，孔洞半徑的變化對(duì)于裂紋尖端的J 積分影響不明顯。有些學(xué)者提出孔洞半徑大小在25μm［20］時(shí)會(huì)對(duì)材料壽命產(chǎn)生較大影響，此即為孔洞關(guān)鍵尺寸，這與所得結(jié)論對(duì)應(yīng)。

1.4 曲線的力學(xué)分析驗(yàn)證

分析中間含圓孔平板的應(yīng)力，根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，圓孔水平和豎直應(yīng)力分量表達(dá)式如下：

利用復(fù)變函數(shù)理論的保角變換原理，把一個(gè)不規(guī)則分段光滑的曲線變換到單位圓上，導(dǎo)出復(fù)變函數(shù)的應(yīng)力表達(dá)式及其邊界條件。對(duì)任意圓形孔其映射函數(shù)的一般表達(dá)式為：

可以得到各應(yīng)力分量的表達(dá)式如下：

將其單位圓受力展示在圖8 中。

Fig.8 Circumferential stress distribution of holes under tensile stress圖8 拉應(yīng)力作用下孔洞周向應(yīng)力分布

由圖8 可知，孔洞周邊應(yīng)力分布隨長度（距離）和角度變化趨勢(shì)和仿真中的曲線基本吻合，證明了仿真數(shù)據(jù)的合理性。

1.5 孔洞各參數(shù)綜合分析

通過以上分析可以看出，在微孔洞狀態(tài)下，孔洞對(duì)裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度影響因子主要在于孔洞到裂紋尖端的距離和角度。在MATLAB 中進(jìn)行擬合程序的編輯運(yùn)行，分別在程序中編輯距離l和角度w以及裂紋尖端J 積分的變化值，并采用二次多項(xiàng)式擬合曲面，其擬合結(jié)果如圖9 所示。

確定公式參數(shù)，得到擬合曲面為：

其中，x1、x2分別表示距離l和角度，w、y為有孔洞時(shí)裂紋尖端的J 積分和無孔洞時(shí)裂紋尖端J0的標(biāo)準(zhǔn)差，即J=J0+y。

Fig.9 Quadratic polynomial fitting surface of multi-parameter J integral and standard difference J0圖9 多參數(shù)J 積分和標(biāo)準(zhǔn)J0 差值的二次多項(xiàng)式擬合曲面

2 任意拉應(yīng)力和裂紋長度下的應(yīng)力強(qiáng)度因子K 值預(yù)測(cè)

在已知不同孔洞分布的J 積分變化情況下，對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子做進(jìn)一步分析。由三維空間J 積分理論可知，對(duì)于I型裂紋，其J 積分和應(yīng)力強(qiáng)度因子K 之間存在如下關(guān)系：

E 為材料的彈性模量。

應(yīng)力強(qiáng)度因子K 又和裂紋長度存在如下關(guān)系：

其中，Y 為形狀因子，a 為裂紋長度，由式（10）得，應(yīng)力強(qiáng)度因子的大小為形狀因子、I 型拉應(yīng)力大小以及裂紋長度所共同決定，對(duì)于含孔洞的裂紋尖端會(huì)隨著孔洞位置的變化而變化，而在應(yīng)力以及裂紋長度相對(duì)固定的情況下，孔洞位置的變化往往對(duì)形狀因子間接造成影響。由式（10）、（11）得：

由前文擬合公式（9）可知，每個(gè)孔洞的分布都有其相對(duì)應(yīng)的形狀因子，由式（11）得孔洞裂紋模型的形狀因子為：

在此模型中，應(yīng)力σ=1 000Mpa，a=2mm，并且J 積分和應(yīng)力平方成正比，和裂紋長度成正比。由式（13）可得任意孔洞分布下的形狀因子Y，因此對(duì)于任意應(yīng)力S 和裂紋長度L 下的裂紋尖端J 積分JA有：

由式（14）可知，通過前文擬合的任意孔洞條件下的J積分變化值，可得出任意孔洞分布下的形狀因子，再將其特定的形狀因子帶入推導(dǎo)公式（14），便可得到單孔洞對(duì)于三維裂紋尖端的定量影響，從而得出不同孔洞分布以及材料受力情況下的裂紋擴(kuò)展速率。

3 結(jié)語

通過有限元軟件ABAQUS 建模分析，得出裂紋尖端處的孔洞分布不同會(huì)對(duì)其應(yīng)力強(qiáng)度因子造成不同的影響?？锥淳嚯x裂紋尖端的距離越近，對(duì)降低其應(yīng)力強(qiáng)度因子越明顯，這近似于工程應(yīng)用中“止裂孔”效果?？锥磳?duì)裂紋尖端的相對(duì)角度變化多數(shù)情況下會(huì)減小裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子，這一影響在45°或者對(duì)稱的135°時(shí)最明顯。研究表明，孔洞影響裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子是通過形狀因子來實(shí)現(xiàn)的。形狀因子和孔洞參數(shù)分布相關(guān)，并且可以通過公式將其定量表示，確定了形狀因子可通過任意裂紋長度和應(yīng)力大小來確定裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子大小。通過理論分析驗(yàn)證了ABAQUS 仿真結(jié)果和MATLAB 擬合用于材料力學(xué)強(qiáng)度分析的合理性，以及仿真分析軟件在工程應(yīng)用中的可靠性,因此仿真研究可以較為準(zhǔn)確地在微觀層面上得到裂紋孔洞相互作用的機(jī)理，對(duì)于疲勞裂紋擴(kuò)展預(yù)測(cè)提供了可行方法。本文主要研究了單孔洞和裂紋之間的相互作用，后續(xù)對(duì)于多孔洞之間的相互耦合還需進(jìn)一步研究。