陳慶來

[摘? 要] 文章通過折紙活動引導學生發(fā)現(xiàn)A4紙中的長、寬之比，通過“折一折”“想一想”“說一說”“試一試”等活動讓學生感悟等腰三角形性質和判定的綜合應用，在活動中發(fā)展學生的實踐操作能力和數(shù)學思考能力，豐富學生的數(shù)學活動經驗，培養(yǎng)學生的應用意識和創(chuàng)新意識，進一步提升學生適應現(xiàn)代生活的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 折紙;深度學習;等腰三角形

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在教學建議中指出：數(shù)學教學應根據(jù)具體的教學內容，使學生在獲得間接經驗的同時也能獲得直接經驗. 折紙活動是與學生生活和數(shù)學學習密切聯(lián)系的一種操作活動，很多學生都有過折紙的生活經驗. “用A4紙折等腰三角形”是學完蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級上冊第 2章“軸對稱圖形”后設計的數(shù)學實踐課，目的是以折紙活動為載體，引導學生在折A4紙等活動中通過實踐操作，自主發(fā)現(xiàn)A4紙長、寬之間蘊含的數(shù)量關系，激發(fā)學生的學習動機，讓他們經歷操作、觀察、思考等活動，以促進學生理解所學的與等腰三角形相關的數(shù)學知識;借助現(xiàn)代信息技術，深入思考折紙操作的緣由，發(fā)展學生的數(shù)學推理能力和創(chuàng)新能力，以及適應未來社會發(fā)展的終身學習力.

教學流程與設計意圖

1. 情境創(chuàng)設，激發(fā)興趣

小明的周末作業(yè)中有這樣一道題：請用A4紙制作手抄報一份. 你能說一說它為什么叫A4紙嗎？

設計意圖? 通過學生熟悉的A4紙的名稱引入課題，能讓學生感受到數(shù)學與生活之間的聯(lián)系. 讓學生帶著問題去學習，更能充分調動學生學習的積極性和主動性，從而激發(fā)他們的學習動機.

2. 折紙操作，知識再現(xiàn)

【活動1：目測A4紙長、寬之比，并測量A4紙的長和寬】

師（展示A4紙）：你們知道這種紙的長、寬之比嗎？請用直尺測量一下你手中A4紙的長和寬的長度. 如圖1，你能計算出的值嗎？

生1：AD=29.5 cm，AB=21 cm，所以≈1.405.

生2：AD=29.7 cm，AB=21 cm，所以≈1.414.

設計意圖? 目測的值，不同的人有不同的答案，為證明自己答案的正確性，學生積極主動地通過“量一量”來證明自己的“眼光”是準確的. 學生測量后發(fā)現(xiàn)的值非常接近，期望用另一種方法來驗證自己的發(fā)現(xiàn)，從而對折紙活動充滿期待.

師：A4紙的尺寸，國際上的標準是長297 mm、寬210 mm. 你們通過測量發(fā)現(xiàn)≈1.414，這是一個非常接近的數(shù)，下面我們通過折紙來探究.

【活動2：用折紙?zhí)骄緼4紙長、寬之比】

步驟1：如圖2，過點B 折一個正方形，使點A落在邊BC上.

師：你能發(fā)現(xiàn)哪些線段相等，哪些角相等？有沒有特殊的三角形？

生3：AB=AF=EF=BE，△ABF和△BEF 都是等腰直角三角形.

生4：∠ABF=∠AFB=45°，∠A=∠BEF=90°等.

設計意圖? 正確的折紙方法、等腰三角形的性質與判定是本節(jié)課的知識生長點. “步驟1”能讓更多學生熟悉折紙操作，能引導學生學習正確的折疊方法. 特別地，折痕和對應點要用筆描出，做到折過有痕，積累活動實踐操作經驗. 同時，引導學生用數(shù)學語言描述所發(fā)現(xiàn)的特殊邊、角之間的關系，提升學生的觀察推理能力，從而為后續(xù)折疊特殊的等腰三角形搭好“腳手架”.

步驟2：在圖2的基礎上沿∠FBC的平分線BG折疊△BCG，如圖3，你們有何發(fā)現(xiàn)？

生5：折疊后，我發(fā)現(xiàn)BF和BC重合. 如圖4，可以得出BF=BC.

師：你們現(xiàn)在能求出的值了嗎？

生6：=. 因為△ABF為等腰直角三角形，所以=. 又BF=BC，所以=.

師：將所折的紙展開，連接CF，設BG與EF交于點H，如圖5，你能找出哪些等腰三角形？

生7：△ABF、△BEF和△DFG都是等腰直角三角形.

生8：△BFC是等腰三角形，頂角為45°，一個底角為67.5°.

生9：△FGC和△FGH都是等腰三角形.

設計意圖? 學生通過折疊的方法發(fā)現(xiàn)A4紙的長、寬之比為 ∶ 1之后，教師引導他們繼續(xù)從邊、角出發(fā)，尋找等腰三角形. 上述教學過程通過發(fā)現(xiàn)等腰三角形并說明理由的活動，進一步豐富了學生的數(shù)學活動經驗.

步驟3：我們把紙張展平，折疊，使AB與DC重合（如圖6，其中EF為折痕）. 觀察折疊后的圖形，你有何發(fā)現(xiàn)？

生10：我發(fā)現(xiàn)長方形ABEF和長方形DCEF重合，它們的面積都等于A4紙面積的一半.

師：與四邊形ABEF一樣大的紙張我們稱為A5紙. 你能求出圖7中的值嗎？

生11：因為AB ∶ AD=1 ∶ ，所以AB=AD. 又AF=AD，所以AF∶AB=1 ∶ .

師：你能找出A4紙和A5紙之間的聯(lián)系和不同嗎？

生12：A4紙與A5紙的寬與長之比都為1 ∶ ，但A5紙的面積是A4紙的一半.

師：同學們學習中經常用到的試卷、輔導書等所用紙張的標準是由國際標準化組織的ISO216定義的，主要有A0，A1，A2，A3，A4，A5等種類，每種紙張的長、寬的比值均為，它們還具備的特點是大一級的長是小一級紙的寬度的2倍，兩張小一級的紙張并排起來能拼成一張大一級的紙，比如兩張A5紙能拼成一張A4紙.

設計意圖? 了解打印紙的分類標準，并能利用長寬之間、面積之間的數(shù)量關系解決圖形問題;滲透從特殊到一般的數(shù)學思想.

【活動3：小組合作，用手中的A4紙拼成A3，A2，A1，A0大小的紙】

師：我看到有的同學用A4紙拼A3紙的時候，拼成了如圖8的圖形. 大家認為拼成的圖形是A3紙嗎？

生13：雖然它的面積是A4紙的2倍，但是這種圖形的長和寬之比為2 ∶ 1，所以它不是A3紙，與AD邊重合的那種才是A3紙.

設計意圖? 加深學生對打印紙類型的理解，目的是讓學生利用紙張的分類標準和所學知識正確識別紙張所屬類別.

3. 總結歸納，學以致用

師：請用如圖9的A4紙的一半折頂角為45°的等腰三角形.

生14：因為等腰直角三角形的兩個底角均為45°，所以如圖10，分別取線段AD，MN的中點E，F(xiàn)，以EG為折痕折疊DE，使點D落在MN上的點D′處，則DE=D′E=AM=EF. 于是∠ED′F=45°. 由AD∥MN，可得∠DEG=∠EGD′，由折疊可得∠DEG=∠D′EG，所以∠D′EG=∠D′GE. 所以D′E=D′G. 所以△D′EG是頂角為45°的等腰三角形.

生15：如圖11，將AM沿AG折疊，使點M落在AD上的點M′處，則∠GAM′=45°. 再將AG沿EG折疊，使點A落在GN上的點A′處，則△EA′G是頂角為45°的等腰三角形.

生16：我們小組參考之前A4紙的折疊，如圖12，把紙張沿兩邊中點構成的線段EF折疊，得到兩張A6紙. 然后將AM沿MJ折疊，使點A落在MF上的點A′處，連接FJ，則△MJF是頂角為45°的等腰三角形.

生17：我們小組還有一個方法，如圖13，先將AM折疊到A′M的位置，再將MJ折疊至與MF重合，展開后便可以得到折痕MO和MP，且MO=MP，∠OMP=45°. 所以△MOP是頂角為45°的等腰三角形.

設計意圖? 引導學生小組合作，利用所學知識從不同的角度分析問題、解決問題，經歷折疊、畫圖、證明等解決幾何問題的一般方法，體驗數(shù)學學習的自我效能感，培養(yǎng)學生的合作意識，提高學生的創(chuàng)新能力.

4. 課堂小結

師：這節(jié)課你有什么收獲？你還有哪些沒有解決的問題？

生18：我知道了A型打印紙的分類標準，我感覺數(shù)學與生活聯(lián)系得很密切，我很想知道A型打印紙最大的有多大.

生19：我學到了用折紙、畫圖等研究等腰三角形的方法. 我從同學們交流的過程中學到了很多不同的折疊方法，我認為折紙不僅有趣，還是打開幾何問題的一把鑰匙.

生20：今天我們主要是利用折紙活動學習等腰三角形的相關性質，后繼是不是要學習等邊三角形？

師：本節(jié)課同學們的表現(xiàn)非常積極. 大家通過折紙操作、合作交流、自主思考等方式解決了與A4紙折疊有關的問題和等腰三角形的相關問題，課后我們要根據(jù)所學知識嘗試用A4紙的一半折等邊三角形.

設計意圖? 通過回顧、反思本節(jié)課所學的知識，能讓學生總結和歸納所學的間接經驗與直接經驗，完善知識體系，感悟數(shù)學思想，進一步提升學生分析問題、解決問題的能力.

教后感悟

本節(jié)課以折紙系列活動為主線，引導學生經歷了“量一量”“折一折”“想一想”“說一說”“試一試”等活動，這些活動能讓學生親身經歷知識產生的過程，體驗問題解決方法的多樣性，能豐富學生的基本數(shù)學活動經驗. 基于折紙活動對數(shù)學課堂教學的重要作用，在教學中我們應做好以下幾點.

1. 折紙活動要找準切入點

良好的開端是成功的一半. 一個好的切入點，能讓學生積極參與操作、思考. 對于折紙活動的切入點，我們要根據(jù)教材內容和學生已有的知識水平來合理構建，如本課中的“活動1”通過讓學生目測A4紙長、寬之比來切入，學生在“說一說”中發(fā)現(xiàn)自己的目測結果和別人的結果不同，于是自然地就用“量一量”來證明自己的結論是正確的. 當計算后發(fā)現(xiàn)“量一量”的結果接近時，對“活動2”的“折一折”活動就充滿了期待，于是積極地參與折紙活動.

2. 折紙活動要找準著力點

數(shù)學活動經驗的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志，幫助學生積累數(shù)學活動經驗是數(shù)學教學的重要目標. 數(shù)學活動經驗包括實踐的經驗和思維的經驗. 在折紙活動中，我們不僅要注重指導學生的操作，更要注重學生的數(shù)學表征能力和數(shù)學思想方法的滲透. 我們既要讓學生通過“看一看”“折一折”等活動直觀觀察折痕所形成的邊角關系，又要引導學生用數(shù)學語言描述操作原理，闡述自己的發(fā)現(xiàn)，并能用圖形、文字、符號等對知識進行表征. 如本課“活動2”中的等腰三角形的三邊之比為1 ∶ 1 ∶ 的原因，折疊后折痕和邊長所形成的三角形是等腰三角形的判斷依據(jù)等，均是這個活動的著力點. 學生能夠類比折疊A4紙構建等腰三角形，能把A4紙的一半轉變?yōu)锳6紙，遷移應用新學的知識技能解決問題，對于這些，教師應給予學生積極的評價和肯定，應增強學生的自我效能感，提升他們的探索創(chuàng)新能力，從而提升他們的數(shù)學學科素養(yǎng).

3. 折紙活動要找準借力點

數(shù)學折紙活動能讓學生在操作過程中體驗圖形的變化，體悟圖形變化過程中點、線、面之間的對應關系. 在折紙活動中，我們發(fā)現(xiàn)學生經常會出現(xiàn)這樣的困境——他們會忘記圖形原來的位置和數(shù)量關系，為了更好地幫助學生整體認識變化前后圖形之間的關系，我們可以借助幾何畫板將變化前后的圖形呈現(xiàn)給學生，利用多媒體設備對操作過程進行錄制，以動畫或者視頻的形式予以展示. 折紙活動中合理借助現(xiàn)代化設備進行輔助教學，不僅有利于學生理解所學知識，而且對學生熟練掌握數(shù)學軟件和信息技術的應用有極大的幫助，能進一步提升學生適應未來生活的學習能力和解決問題的能力.