基于格子Boltzmann 方法的冪律流體二維頂蓋驅(qū)動(dòng)流轉(zhuǎn)捩研究*

張恒 任峰 胡海豹

(西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院,西安 710072)

研究非牛頓流體轉(zhuǎn)捩問(wèn)題,可為調(diào)控非牛頓流體動(dòng)力特性提供理論基礎(chǔ).相對(duì)于牛頓流體轉(zhuǎn)捩問(wèn)題,非牛頓流體轉(zhuǎn)捩研究較少,缺乏轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)精細(xì)預(yù)報(bào)方法.論文以格子Boltzmann 方法為核心求解器,以典型非牛頓流體冪律模型為例,開(kāi)展了冪律流體二維頂蓋驅(qū)動(dòng)流轉(zhuǎn)捩模擬,給出剪切變稀和剪切增稠流體的第一轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù),并分析了轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)附近流場(chǎng)時(shí)頻域特性及模態(tài)分布.結(jié)果表明,剪切變稀流體和剪切增稠流體的第一轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)與牛頓流體差異顯著,且在轉(zhuǎn)捩臨界雷諾數(shù)附近監(jiān)控點(diǎn)處速度分量均呈現(xiàn)周期性變化趨勢(shì).通過(guò)對(duì)流場(chǎng)速度和渦量的本征正交分解發(fā)現(xiàn),不同類(lèi)型的流體在轉(zhuǎn)捩臨界雷諾數(shù)附近,前兩階模態(tài)均為流場(chǎng)的主模態(tài),能量占比超過(guò)95%,且同類(lèi)型流體不同雷諾數(shù)的主模態(tài)間具有相似的結(jié)構(gòu).

1 引 言

頂蓋驅(qū)動(dòng)流是計(jì)算流體力學(xué)中經(jīng)典物理模型之一,被廣泛應(yīng)用于層流流動(dòng)、流動(dòng)轉(zhuǎn)捩等問(wèn)題的研究[1?4].研究流動(dòng)轉(zhuǎn)捩問(wèn)題,可為界定流場(chǎng)狀態(tài)和調(diào)控流體動(dòng)力特性提供理論依據(jù),具有重要學(xué)術(shù)意義.轉(zhuǎn)捩問(wèn)題涉及多種流動(dòng)狀態(tài),屬?gòu)?fù)雜流體力學(xué)問(wèn)題,已有大量學(xué)者開(kāi)展過(guò)相關(guān)研究.例如,Peng 等[5]采用有限差分法研究了頂蓋驅(qū)動(dòng)流的轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù),并給出臨界雷諾數(shù)附近流場(chǎng)的時(shí)頻域特性.Bruneau 和Saad[6]進(jìn)一步提高網(wǎng)格分辨率,改進(jìn)對(duì)流項(xiàng)差分格式,佐證了Peng 等[5]、Auteri 等[7]、Sahin 和Owens[8]關(guān)于第一轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)在8000 附近的結(jié)論.需要指出的是,上述研究均是以牛頓流體為研究對(duì)象.

非牛頓流體的剪應(yīng)力與剪切應(yīng)變率之間為非線(xiàn)性關(guān)系,會(huì)表現(xiàn)出剪切增稠[9]、剪切變稀[10]等不同于牛頓流體的運(yùn)動(dòng)行為.非牛頓流體廣泛存在于自然界和工業(yè)生產(chǎn)中,如化工中的聚乙烯、聚氯乙烯,食品中的淀粉液,人體內(nèi)的血液等.非牛頓流體種類(lèi)眾多,其中具有代表性的是冪律流體.冪律流體按照冪律指數(shù)主要分為剪切變稀流體、剪切增稠流體.作為特例,牛頓流體可視為指數(shù)為1的冪律流體.學(xué)者們開(kāi)展了大量的冪律流體實(shí)驗(yàn)與仿真的研究,如Johnston 等[11]發(fā)現(xiàn)相比于牛頓流體,用冪律流體模擬血液流動(dòng),可獲更精準(zhǔn)的壁面切應(yīng)力;Zhao 等[12]模擬了冪律流體在微通道中的電滲流動(dòng);Hojjat 等[13]通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了含納米顆粒流體的剪切變稀行為.但是,關(guān)于冪律流體轉(zhuǎn)捩問(wèn)題的鮮有研究報(bào)道.

與有限差分和有限體積等傳統(tǒng)方法不同,格子Boltzmann 方 法(lattice Boltzmann method,LBM)[14]通過(guò)對(duì)分布函數(shù)進(jìn)行碰撞和遷移處理,可實(shí)現(xiàn)宏觀(guān)流場(chǎng)時(shí)空演化過(guò)程的模擬,具有并行性高,邊界處理簡(jiǎn)單等優(yōu)勢(shì),已在牛頓流體仿真領(lǐng)域取得大量研究成果[15?17].近年來(lái),也有學(xué)者將LBM拓展至非牛頓流體模擬,如Boyd 等[18]在LBM 框架下實(shí)現(xiàn)了冪律流體中速度導(dǎo)數(shù)的快速求解;Wang和Ho[19]在LBM的框架下模擬了剪切變稀的血液流動(dòng);Chen 等[20]模擬了冪律流體通過(guò)多孔介質(zhì)的流動(dòng).然而,將LBM 應(yīng)用于冪律流體轉(zhuǎn)捩問(wèn)題研究仍有待探索.

基于此,本文以二維頂蓋驅(qū)動(dòng)流為物理模型,以格子Boltzmann 方法為核心求解器,采用非牛頓流體冪律模型,開(kāi)展了非牛頓流體二維頂蓋驅(qū)動(dòng)流轉(zhuǎn)捩模擬,并借助快速傅里葉變換、本征正交分解(proper orthogonal decomposition,POD)等方法,分析了轉(zhuǎn)捩點(diǎn)附近的流場(chǎng)時(shí)頻域特性及模態(tài)分布.

2 數(shù)值方法

2.1 物理模型

頂蓋驅(qū)動(dòng)流模型如圖1 所示,上頂板為運(yùn)動(dòng)壁面,速度為U0,其余3 個(gè)壁面均為靜止無(wú)滑移壁面.模型水平和豎直方向上長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)x和Ly,且Lx=Ly=L0,L0為特征長(zhǎng)度.圖1 中,坐標(biāo)原點(diǎn)O位于底面與左壁面交點(diǎn)處.為定量表征流場(chǎng)狀態(tài)與雷諾數(shù)(Reynolds number,Re)之間的關(guān)系,選取監(jiān)控點(diǎn)坐標(biāo)為(0.6L0,0.6L0).

圖1 算例模型示意圖Fig.1.Schematic diagram of calculation model.

冪律流體運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)的計(jì)算公式如下:

式中,S為流場(chǎng)中格點(diǎn)處應(yīng)變率張量,γ˙ 為剪切率,n為冪律指數(shù),ν為運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù),m為冪律系數(shù)(與Re有關(guān)的常量).當(dāng)n=1 時(shí)為牛頓流體;n<1為剪切變稀流體;n>1 時(shí)為剪切增稠流體.

雷諾數(shù)的定義為[21]

2.2 數(shù)值方法

采用LBM 多松弛時(shí)間模型[22],并使用基于統(tǒng)一計(jì)算設(shè)備構(gòu)架的顯卡并行加速技術(shù)[23]來(lái)提高計(jì)算速度.其中,多松弛時(shí)間模型表達(dá)式為

式中,f(x,t) 為t時(shí)刻流場(chǎng)中坐標(biāo)位置為x處的分布函數(shù),ei為離散速度,δt為時(shí)間步長(zhǎng),M為從速度空間向矩空間進(jìn)行轉(zhuǎn)換的矩陣,為平衡態(tài)分布函數(shù).

針對(duì)文中研究的二維頂蓋驅(qū)動(dòng)流,選用經(jīng)典D2Q9 模型[24],離散速度ei為

LBM 平衡態(tài)分布函數(shù)采用不可壓模型[25],其表達(dá)式為

式中,ρ0為不可壓流體的密度;p為壓強(qiáng);u為格點(diǎn)處的速度;權(quán)系數(shù)wi的取值為w0=4/9 ,w1?4=1/9,w5?8=1/36 ;cs為格子聲速.松弛參數(shù)對(duì)角矩陣選為Λf=[1.0,1.1,1.0,1.0,1.2,1.0,1.2,1/τ,1/τ],松弛時(shí)間τ與運(yùn)動(dòng)黏性關(guān)系為ν=(τ ?0.5).

流場(chǎng)中宏觀(guān)速度與壓強(qiáng)的求解公式為

為保證流場(chǎng)時(shí)空分辨率,本文最終選用的網(wǎng)格分辨率為512 × 512,計(jì)算時(shí)間總長(zhǎng)2000T0(T0為參考時(shí)間),即1600 萬(wàn)個(gè)格子時(shí)間步長(zhǎng).靜壁邊界采用半步長(zhǎng)反彈格式[26],動(dòng)壁采用動(dòng)量補(bǔ)償格式[27].為防止運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)過(guò)大或者過(guò)小造成計(jì)算結(jié)果發(fā)散,這里設(shè)置運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)上限和下限[28]分別為 2 0ν0,ν0/20 .不失一般性,文中取n=0.75,1.25 分別代表剪切變稀流體和剪切增稠流體.具體模擬流程如圖2 所示.

圖2 LBM 與冪律模型耦合計(jì)算流程示意圖Fig.2.Diagram of coupling calculation process between LBM and power law model.

2.3 POD 方法

POD[29,30]是一種廣泛應(yīng)用于流場(chǎng)降階模型中的方法,可用于流場(chǎng)特征信息的提取.以速度POD為例,已知N個(gè)時(shí)刻流場(chǎng)速度信息u(x,ti),i=1—N,則有

另 外,Σ=diag(σ1,σ2,···σi,···)中各σi模長(zhǎng)的平方可用來(lái)表征對(duì)應(yīng)模態(tài)的“能量”.按照模態(tài)能量的大小進(jìn)行排序即可得到流場(chǎng)的主要模態(tài).

2.4 第一轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)計(jì)算

在頂蓋驅(qū)動(dòng)流中,隨著Re增加,呈現(xiàn)出的流動(dòng)狀態(tài)往往是從層流逐步過(guò)渡到湍流,并存在Hopf 分岔現(xiàn)象.通過(guò)在流場(chǎng)的特定位置處設(shè)置監(jiān)控點(diǎn)的方法[5,31],可以研究Hopf 分岔現(xiàn)象.開(kāi)始產(chǎn)生分岔現(xiàn)象時(shí)的雷諾數(shù),即第一轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)可以通過(guò)如下的方式計(jì)算:

其中 max[u(t)] 與 min[u(t)] 分別為流場(chǎng)充分發(fā)展后,監(jiān)控點(diǎn)處水平速度u的最大值與最小值.鑒于與Re成正比關(guān)系,因此可以通過(guò)計(jì)算不同雷諾數(shù)下的,使用最小二乘法線(xiàn)性擬合出Re-圖.擬合所得的直線(xiàn)與=0的交點(diǎn),即流場(chǎng)從穩(wěn)定向周期態(tài)轉(zhuǎn)變的第一轉(zhuǎn)捩臨界雷諾數(shù).

3 計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 算例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證計(jì)算的準(zhǔn)確性,這里首先給出了牛頓流體頂蓋驅(qū)動(dòng)流模擬結(jié)果.圖3 為Re=5000 時(shí),方腔中心線(xiàn)上的速度分布與Peng 等[5]結(jié)果的對(duì)比,其中X-v曲線(xiàn)顯示的是豎直方向上方腔的中心線(xiàn)上速度分量分布,即縱坐標(biāo)y/L=0.5 上的X和v之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系;Y-u曲線(xiàn)顯示的是水平方向上的中心線(xiàn)上速度分量分布,即橫坐標(biāo)x/L=0.5上的Y和u之間的關(guān)系.Peng 等[5]在牛頓流體頂蓋驅(qū)動(dòng)流轉(zhuǎn)捩問(wèn)題研究中,使用的是限差分法,本文的計(jì)算結(jié)果與Peng 等[5]對(duì)比良好.值得注意的是Peng 等[5]求解對(duì)流項(xiàng)使用的是七階迎風(fēng)格式,擴(kuò)散項(xiàng)使用的是六階中心差分格式.

圖3 頂蓋驅(qū)動(dòng)流在中心線(xiàn)處的速度分布Fig.3.Velocity distribution at center line of lid-driven flow.

3.2 第一轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)

按照文中2.4 節(jié)的方法得到牛頓流體、剪切變稀流體和剪切增稠流體的第一轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)依次為7835,5496 和11546,結(jié)果如圖4 所示.

圖4 轉(zhuǎn)捩臨界雷諾數(shù)Fig.4.Transition critical Reynolds number.

將本文計(jì)算的牛頓流體轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)與文獻(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行比對(duì),如表1 所列,可以看出,本文計(jì)算的牛頓流體轉(zhuǎn)捩臨界雷諾數(shù)相對(duì)于Peng 等[5]和Poliashenko 與Aidu[32]的計(jì)算結(jié)果而言較大,而相對(duì)于Cazemier 等[31]和Bruneau 與Saad[6]的計(jì)算結(jié)果而言較小,但是從總的相對(duì)誤差的值來(lái)看,誤差上限不超過(guò)5%,可以看出本文計(jì)算可靠性較高.

表1 牛頓流體轉(zhuǎn)捩臨界雷諾數(shù)計(jì)算結(jié)果的對(duì)比Table 1. Comparison of calculation results of critical Reynolds number for Newtonian fluid transition.

相比于牛頓流體,剪切變稀流體的轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)較低,即剪切變稀流體更容易從定常狀態(tài)向周期態(tài)轉(zhuǎn)變.而由剪切變稀流體本身的定義可知,剪切速率越大,其黏性會(huì)越低,流動(dòng)狀態(tài)也越容易發(fā)生轉(zhuǎn)變,這與計(jì)算結(jié)果表現(xiàn)出的性質(zhì)是相符合的.與牛頓流體相比,剪切增稠流體的轉(zhuǎn)捩臨界雷諾數(shù)較高,即剪切增稠流體更不易從定常狀態(tài)向周期態(tài)轉(zhuǎn)變.而根據(jù)剪切增稠流體本身的定義可知,剪切速率越大,其黏性會(huì)越大,流動(dòng)狀態(tài)也越不易發(fā)生轉(zhuǎn)變.

3.3 速度監(jiān)控點(diǎn)時(shí)頻域特性

選取三類(lèi)流體在轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)附近的流場(chǎng),進(jìn)行時(shí)頻域分析.圖5 給出了三類(lèi)流體在轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)附近,速度監(jiān)控點(diǎn)處的時(shí)頻域特性圖.其中圖5(a)—(c)給出了三類(lèi)流體在轉(zhuǎn)捩前后,水平方向速度隨時(shí)間的變化,可以看出,三類(lèi)流體在轉(zhuǎn)捩發(fā)生前的定常流動(dòng)狀態(tài)下,速度為一水平直線(xiàn),在轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)附近,速度均呈現(xiàn)周期性變化的特點(diǎn),在轉(zhuǎn)捩后湍流狀態(tài)下,速度有明顯的大幅度波動(dòng).對(duì)水平速度作快速傅里葉變換得圖5(d)—(f),在發(fā)生轉(zhuǎn)捩前,由于其直流部分即f=0 為其主要分量,在頻譜圖上顯示為一點(diǎn),在轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)附近,水平速度均存在一個(gè)主頻f1與諧頻f2,且滿(mǎn)足f2=2f1,但不同類(lèi)型流體的f1值并不相同,在轉(zhuǎn)捩后湍流狀態(tài)下,出現(xiàn)了明顯的多頻現(xiàn)象.圖5(g)—(i)為三類(lèi)流體在轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)附近,水平速度u與豎直方向速度v之間形成的速度相圖.可以發(fā)現(xiàn)不同類(lèi)型的流體的速度相圖的變化范圍并不相同,但均為單一光滑封閉曲線(xiàn).

圖5 三類(lèi)流體在速度監(jiān)控點(diǎn)處的時(shí)頻域特性 (a),(d) n=1,Re=7500,8500,16000;(g) n=1,Re=8500;(b),(e) n=0.75,Re=5500,6500,10000;(h) n=0.75,Re=6500;(c),(f) n=1.25,Re=9500,13000,20000;(i) n=1.25,Re=13000Fig.5.Time-frequency spectrum characteristics at the velocity monitoring point for three types of fluids:(a),(d) n=1,Re=7500,8500,16000;(g) n=1,Re=8500;(b),(e) n=0.75,Re=5500,6500,10000;(h) n=0.75,Re=6500;(c),(f) n=1.25,Re=9500,13000,20000;(i) n=1.25,Re=13000.

圖6 為監(jiān)控點(diǎn)處牛頓流體、剪切變稀與剪切增稠流體在不同雷諾數(shù)情況下的速度相圖,各封閉曲線(xiàn)中心點(diǎn)用虛線(xiàn)進(jìn)行連接.圖6(a)為牛頓流體在不同雷諾數(shù)下的速度相圖,其中Re=7500,8000時(shí),速度波動(dòng)極小,在相圖上呈現(xiàn)的是1 個(gè)點(diǎn),而在Re=8500—9500 時(shí),相圖為光滑封閉曲線(xiàn),曲線(xiàn)整體向右上方移動(dòng)且包圍的面積在不斷增加.圖6(b)為剪切變稀流體在不同雷諾數(shù)下的速度相圖,在Re=5500 時(shí),速度相圖為1 個(gè)點(diǎn),而Re=5700—6000 時(shí),速度相圖為封閉曲線(xiàn),隨著Re增加向上方移動(dòng),且包圍的面積在不斷增加.圖6(c)為剪切增稠流體在不同雷諾數(shù)下的速度相圖,其中Re=11500,12000,12500 時(shí),速度相圖為單一點(diǎn),而Re=13000—15000 時(shí),速度相圖為光滑封閉曲線(xiàn).速度相圖整體變化趨勢(shì)為先向右再向左上方移動(dòng),向右移動(dòng)的過(guò)程中,豎直方向上速度v幾乎沒(méi)有變化,而向左上方移動(dòng)的過(guò)程中,封閉曲線(xiàn)包圍的面積逐漸增大,有較為明顯的變化規(guī)律.

圖6 在監(jiān)控點(diǎn)處的速度相圖 (a) 牛頓流體;(b) 剪切變稀流體;(c) 剪切增稠流體Fig.6.Velocity phase diagrams at the monitoring point:(a) Newtonian fluid;(b) shear-thinning fluid;(c) shear-thickening fluid.

3.4 流場(chǎng)模態(tài)分析

進(jìn)一步使用POD 對(duì)牛頓流體、剪切變稀和剪切增稠流體的流場(chǎng)速度、渦量和黏性進(jìn)行處理,結(jié)果如圖7 和圖8 所示.圖7(a)—(c)分別為牛頓流體、剪切變稀流體和剪切增稠流體的水平速度POD能量占比圖.從圖7 可以發(fā)現(xiàn),不同類(lèi)型的流體在第一臨界轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)附近且發(fā)生轉(zhuǎn)捩后,均呈現(xiàn)前兩階模態(tài)能量占主導(dǎo)地位的特點(diǎn),能量占比超95%,且前兩階模態(tài)能量占比接近.在圖7(a)Re=10500 時(shí),出現(xiàn)了多模態(tài)的結(jié)果,這里的流場(chǎng)可能是進(jìn)入Hopf 第二分岔第二模式中[5].在圖7(c)Re=11500,12500 時(shí),一階模態(tài)能量占比大幅度高于二階模態(tài)的能量占比,但結(jié)合圖6(c)可以發(fā)現(xiàn),此時(shí)流場(chǎng)速度波動(dòng)量較小幾乎為定常流場(chǎng),一階模態(tài)與二階模態(tài)相對(duì)于平均流場(chǎng)幾乎可以忽略.

圖7 速度u的各階模態(tài)的能量占比 (a) 牛頓流體;(b) 剪切變稀流體;(c) 剪切增稠流體Fig.7.Energy share of each order of mode for velocity u:(a) Newtonian fluid;(b) shear thinning-fluid;(c) shear-thickening fluid.

圖8(a)—(c)分別為牛頓流體、剪切變稀流體和剪切增稠流體的渦量POD 能量占比圖.渦量POD 能量占比與水平速度POD 能量占比結(jié)果相比,同種流體在同一雷諾數(shù)下,渦量POD 一階模態(tài)的占比略高于水平速度POD 能量占比,渦量POD 中前兩階模仍占主導(dǎo)地位.

圖8 渦量的各階模態(tài)的能量占比 (a) 牛頓流體;(b) 剪切變稀流體;(c) 剪切增稠流體Fig.8.Vortex energy share of each order of mode:(a) Newtonian fluid;(b) shear-thinning fluid;(c) shear-thickening fluid.

圖9 為牛頓流體在不同雷諾數(shù)下各階模態(tài)的流場(chǎng)模態(tài)的速度場(chǎng)云圖,圖9(a)和圖9(d)分別為Re=8500 與Re=9000 時(shí)平均水平速度場(chǎng)云圖,圖9(b)和圖9(e) 分別為Re=8500 與Re=9000時(shí)水平速度一階模態(tài)云圖,圖9(c)和圖9(f) 分別為Re=8500 與Re=9000 時(shí)水平速度二階模態(tài)云圖.從速度平均場(chǎng)來(lái)看,Re=8500 與Re=9000的結(jié)果相近;從一階模態(tài)的云圖來(lái)看,峰值區(qū)域均靠近壁面,且峰值區(qū)域的形狀相似;從二階模態(tài)的云圖來(lái)看,二階模態(tài)的結(jié)果相近,且峰值主要分布在壁面處.

圖9 牛頓流體的水平速度的各階模態(tài)圖 (a),(b),(c) Re=8500 時(shí),平均場(chǎng)、一階模態(tài)與二階模態(tài);(d),(e),(f) Re=9000 時(shí),平均場(chǎng)、一階模態(tài)與二階模態(tài)Fig.9.Modal diagrams of horizontal velocity of Newtonian fluid:(a),(b) and(c) The mean field,the first and second modes when Re=8500;(d),(e),(f) mean field,first-order mode and second-order mode when Re=9000.

圖10 為剪切變稀流體在不同Re下各階模態(tài)的流場(chǎng)模態(tài)的速度場(chǎng)云圖,圖10(a)和圖10(d)分別為Re=5700 與Re=6000 時(shí)平均速度場(chǎng)云圖,圖10(b)和圖10(e)分別為Re=5700 與Re=6000時(shí)速度一階模態(tài)云圖,圖10(c)和圖10(f)分別為Re=5700 與Re=6000 時(shí)速度二階模態(tài)云圖.從平均場(chǎng)的結(jié)果來(lái)看,Re=5700 與Re=6000 結(jié)果相近;從一階和二階模態(tài)的結(jié)果來(lái)看,模態(tài)峰值分布區(qū)域集中在壁面附近,峰值分布區(qū)域的形狀相似,但峰值分布區(qū)的模態(tài)值相反.

圖11 為剪切增稠流體在不同Re下各階模態(tài)的流場(chǎng)模態(tài)的速度場(chǎng)云圖,圖11(a)和圖11(d)分別為Re=13000 與Re=13500 時(shí)平均速度場(chǎng)云圖,圖11(b)和圖11(e)分別為Re=13000 與Re=13500 時(shí)速度一階模態(tài)云圖,圖11(c)和圖11(f)分別為Re=13000 與Re=13500 時(shí)速度二階模態(tài)云圖.從平均場(chǎng)的結(jié)果來(lái)看,Re=13000 與Re=13500 結(jié)果相近;從一階和二階模態(tài)的結(jié)果來(lái)看,峰值分布區(qū)域集中在壁面附近,且峰值分布區(qū)域的形狀相似,這與牛頓流體和剪切變稀流體的結(jié)果是類(lèi)似的.剪切增稠流體一階和二階模態(tài)峰值分布區(qū)的模態(tài)值相反.

圖11 剪切增稠流體的水平速度的各階模態(tài)圖 (a),(b),(c) Re=13000 時(shí),平均場(chǎng)、一階模態(tài)與二階模態(tài);(d),(e),(f) Re=13500 時(shí),平均場(chǎng)、一階模態(tài)與二階模態(tài)Fig.11.Modal diagrams of horizontal velocity of shear-thickening fluid:(a),(b),(c) The mean field,the first and second modes when Re=13000;(d),(e),(f) mean field,first-order mode and second-order mode when Re=13500.

4 結(jié) 論

論文針對(duì)典型的非牛頓流體—冪律流體,利用格子Boltzmann的計(jì)算框架,以頂蓋驅(qū)動(dòng)流為物理模型,研究得到冪律指數(shù)在0.75 和1.25 時(shí)的第一臨界轉(zhuǎn)捩Re分別為5496 和11546.在轉(zhuǎn)捩Re附近且發(fā)生轉(zhuǎn)捩后,流場(chǎng)監(jiān)控點(diǎn)的速度隨時(shí)間呈周期性變化,存在一個(gè)主頻與諧頻.與轉(zhuǎn)捩前速度相圖為單一點(diǎn)不同,轉(zhuǎn)捩后速度相圖為光滑封閉曲線(xiàn),且隨著Re增加,曲線(xiàn)中心點(diǎn)朝一定的方向移動(dòng)且包絡(luò)面積不斷增加,但不同流體中心點(diǎn)移動(dòng)的方向不相同.流場(chǎng)的速度、渦量POD 分解的結(jié)果均表明,流場(chǎng)在轉(zhuǎn)捩臨界雷諾數(shù)附近,其前兩階模態(tài)為其主要模態(tài),能量占比超95%.從模態(tài)云圖的結(jié)果看,一階模態(tài)與二階模態(tài)速度峰值分布區(qū)域主要在壁面附近,且同種流體不同Re下的平均場(chǎng)結(jié)果相近,一階模態(tài)與二階模態(tài)的峰值分布區(qū)域形狀相似.