縱觀“一元一次方程”“二元一次方程”“分式方程”“一元二次方程”等內(nèi)容,我們要學(xué)會(huì)的其實(shí)是一種數(shù)學(xué)方法——數(shù)學(xué)建模。一元二次方程是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn),也是學(xué)好二次函數(shù)不可或缺的條件,更是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),還能解決生活中經(jīng)常遇到的問題。從每年的中考數(shù)學(xué)試卷中,我們都能看到一元二次方程實(shí)際應(yīng)用的身影。下面,就讓我們一起來歸納探討。
一、增長率問題
例1 (2021·江蘇鹽城)勞動(dòng)教育已納入人才培養(yǎng)全過程,某學(xué)校加大投入,建設(shè)校園農(nóng)場,該農(nóng)場一種作物的產(chǎn)量兩年內(nèi)從300千克增加到363千克。設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為x,則可列方程為。
【解析】可先表示出第一年的產(chǎn)量,那么第二年的產(chǎn)量×(1+增長率)=363。把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解第一年的產(chǎn)量為300×(1+x),第二年的產(chǎn)量在第一年產(chǎn)量的基礎(chǔ)上增加x,為300×(1+x)×(1+x),則列出的方程是300(1+x)2=363。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均變化率問題,解題的關(guān)鍵在于理解平均變化率。若設(shè)變化前的量為a,變化后的量為b,平均變化率為x,則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(1±x)2=b。
二、銷售問題
例2 (2021·山東煙臺(tái))直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活。某電商在抖音上對(duì)一款成本價(jià)為40元的小商品進(jìn)行直播銷售,如果按每件60元銷售,每天可賣出20件。通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),每件小商品售價(jià)每降低5元,日銷售量增加10件。
(1)若日利潤保持不變,商家想盡快銷售完該款商品,每件售價(jià)應(yīng)定為多少元?
(2)小明的線下實(shí)體商店也銷售同款小商品,標(biāo)價(jià)為每件62.5元。為提高市場競爭力,促進(jìn)線下銷售,小明決定對(duì)該商品實(shí)行打折銷售,使其銷售價(jià)格不超過(1)中的售價(jià),則該商品至少需打幾折銷售?
【解析】(1)根據(jù)日利潤=每件利潤×日銷售量,可求出售價(jià)為60元時(shí)的原利潤。設(shè)每件售價(jià)應(yīng)定為x元,則每件的利潤為(x-40)元,日銷售量為20+[10(60-x)5]=(140-2x)件。根據(jù)日利潤=每件利潤×日銷售量,得(x-40)(140-2x)=(60-40)×20,即可得出關(guān)于x的一元二次方程x2-110x+3000=0,解得x1=50,x2=60,取較小值即可。
(2)設(shè)該商品需要打a折銷售。由題意得62.5×[a10]≤50,解得a≤8,即該商品至少需打8折銷售。
【點(diǎn)評(píng)】這是一個(gè)生活中常見的銷售類問題,解題的關(guān)鍵在于從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型。通過方程模型的建立,我們能更好地感受到數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活,同時(shí)增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。
三、面積問題
例3 (2020·貴州遵義)如圖,把一塊長為40cm,寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個(gè)相同小正方形,然后把紙板的四邊沿虛線折起,并用膠帶粘好,即可做成一個(gè)無蓋紙盒。若該無蓋紙盒的底面積為600cm2,設(shè)剪去小正方形的邊長為xcm,則可列方程為()。
A.(30-2x)(40-x)=600
B.(30-x)(40-x)=600
C.(30-x)(40-2x)=600
D.(30-2x)(40-2x)=600
【解析】設(shè)剪去小正方形的邊長是xcm,則紙盒底面的長為(40-2x)cm,寬為(30-2x)cm,根據(jù)長方形的面積公式,結(jié)合紙盒的底面積是600cm2,即可得出關(guān)于x的一元二次方程(30-2x)(40-2x)=600。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查用含有x的代數(shù)式表示長、寬這些量,感受用字母表示量的思想,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程。
四、球賽問題
例4 (2020·廣西桂林)參加足球聯(lián)賽的每兩支球隊(duì)之間都要進(jìn)行兩場比賽,共要比賽110場,設(shè)參加比賽的球隊(duì)有x支,根據(jù)題意,下面列出的方程正確的是()。
A.[12]x(x+1)=110
B.[12]x(x-1)=110
C.x(x+1)=110
D.x(x-1)=110
【解析】設(shè)有x個(gè)隊(duì)參賽,每兩隊(duì)之間都進(jìn)行兩場比賽,共要比賽110場,可列出方程x(x-1)=110。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程,我們可以根據(jù)總比賽場數(shù)作為等量關(guān)系列方程求解。
數(shù)學(xué)來源于生活,又服務(wù)于生活。如何學(xué)好數(shù)學(xué)?這就要求我們要會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光從生活中捕捉數(shù)學(xué)問題,自主運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析生活現(xiàn)象,將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題,從而解決生活中的實(shí)際問題。那么,在運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題的過程中,我們應(yīng)找出問題中的已知量和未知量,分析數(shù)量之間的等量關(guān)系,建立數(shù)學(xué)模型,列出符合題意的方程,同時(shí)不忘檢驗(yàn)方程的解是否合理。這樣,問題便能迎刃而解,同時(shí)學(xué)習(xí)的知識(shí)也能形成體系。
(作者單位:江蘇省無錫市梅里中學(xué))