陸文娟
如果已知一個一元二次方程,就是知道了ax2+bx+c=0(a≠0)中的系數(shù)a、b、c,那么我們可以通過直接開平方法、配方法、公式法或因式分解法把它的根求出來。反之,如果知道一元二次方程的根,就可以反過來求出待定字母a、b、c的值。這說明一元二次方程的根與三個系數(shù)之間有著緊密的聯(lián)系。下面我們就來整體認(rèn)識一下這三個系數(shù)。
一、正確認(rèn)識二次項系數(shù)
關(guān)于x的一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0,其中a、b、c是常數(shù),并且a≠0。這句話告訴我們,如果確定了某一個方程是一元二次方程,那么對應(yīng)的a≠0;反之,只有a≠0,才能保證所給的方程是一元二次方程。
例1 已知關(guān)于x的方程(m-2)xm2-2+5mx-7=0是一元二次方程,求m的值。
【分析】粗心的同學(xué)一看到關(guān)于x的一元二次方程,馬上想到最高次數(shù)是2,進(jìn)而得到m2-2=2,求得m=±2。事實上,題目告訴我們關(guān)于x的方程是一元二次方程,所以首先要保證二次項系數(shù)不為0,即m-2≠0,得m≠2;其次才有m2-2=2,求得m=±2。結(jié)合上述兩條結(jié)論,本題正確的結(jié)果是m=-2。
二、全面認(rèn)識根的判別式
一個一元二次方程有沒有實數(shù)根,只要計算根的判別式,根據(jù)判別式的值是大于0、等于0還是小于0,就可以判斷。顯然,三個系數(shù)a、b、c決定了根的判別式的值。但同學(xué)們千萬不要忘記,要計算根的判別式,其前提是給出的方程必須是一個一元二次方程。因此,我們要在a≠0的前提條件下,才能考慮計算Δ=b2-4ac的值。否則,就有可能出現(xiàn)差錯。
例2 當(dāng)n為何值時,關(guān)于y的方程(n-1)y2+2ny+n+3=0有兩個不相等的實數(shù)根?
【分析】粗心的同學(xué)看到方程有兩個不相等的實數(shù)根,馬上計算根的判別式的值Δ=(2n)2-4(n-1)(n+3)>0,求出n<[32]。事實上,上面已經(jīng)說過,要計算根的判別式的值,其前提是要保證二次項系數(shù)不為0,即先保證它是一個一元二次方程,所以n-1≠0,得n≠1。本題的解題過程是,先保證n≠1,再滿足n<[32],這樣,正確結(jié)果為n<[32]且n≠1。
如果我們把上述問題的敘述稍加改變,就可以得到下面這樣一個問題:
當(dāng)n為何值時,關(guān)于y的方程(n-1)y2+2ny+n+3=0有實數(shù)根。這時的問題又該如何求解呢?
【分析】由于問題中沒有說是一元二次方程,只說是方程,那么,我們應(yīng)該把視野放大,從整式方程的角度來看問題。如果n-1=0,即n=1,方程變成2y+4=0,顯然,這個方程有實數(shù)根。如果n-1≠0,得n≠1,即方程是一元二次方程,此時有根,那么根的判別式大于等于0,求出n的取值范圍是n≤[32]。綜合上述兩種情況,得到最后的結(jié)果是n≤[32]。
三、整體認(rèn)識韋達(dá)定理
上面我們介紹了一個整式方程是一元二次方程的前提是a≠0,在此前提下考慮根的判別式的值,進(jìn)而確定一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根、有兩個相等的實數(shù)根、沒有實數(shù)根等情況。那么,一元二次方程ax2+bx+c=0根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=[-ba],x1?x2=[ca]又該如何整體認(rèn)識呢?談到根與系數(shù)的關(guān)系,首先對應(yīng)的一元二次方程得有根,而一元二次方程有根的前提是根的判別式Δ=b2-4ac≥0,而要計算根的判別式的前提是方程必須是一元二次方程,即a≠0。由此我們就得出這樣的思考先后順序:首先是a≠0,其次是Δ=b2-4ac≥0,最后才是x1+x2=[-ba],x1?x2=[ca]。
例3 已知關(guān)于x的方程(k2-1)x2+(k+1)x+1=0,其中k為實數(shù),此方程的兩個實數(shù)根x1、x2滿足x1·x2=1,求k的值。
【分析】粗心的同學(xué)看到x1·x2=1,就會根據(jù)韋達(dá)定理列出關(guān)于k的等式x1·x2=[ca]=[1k2-1]=1,求出k=[±2],進(jìn)而下結(jié)論。上面的整體認(rèn)識告訴我們,首先要考慮二次項系數(shù)k2-1≠0,求出k≠±1;其次計算根的判別式Δ=b2-4ac≥0,求出-1≤k≤[53];最后考慮根與系數(shù)的關(guān)系x1?x2=[ca]=[1k2-1]=1,求出k=[±2]。綜合以上三條結(jié)論,最后得出正確的結(jié)果是k=[2]。
乍一看一元二次方程的二次項系數(shù)、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系,會覺得是三個不同的知識點,但上面的三個“認(rèn)識”告訴我們,它們都是研究一元二次方程系數(shù)的關(guān)鍵,看似獨立,實際卻緊密聯(lián)系,甚至還有先后的邏輯關(guān)系。事實告訴我們,很多數(shù)學(xué)知識之間都是有聯(lián)系的,學(xué)好數(shù)學(xué)知識的秘訣就是要先把每個知識點熟練掌握,再把相互關(guān)聯(lián)的知識點全面認(rèn)識,最后對所學(xué)章節(jié)的知識或同類知識進(jìn)行整體把握。我們只有逐步跨上了這樣三個從低到高的臺階,才能在知識的海洋中自由地暢游。
(作者單位:江蘇省江陰市新橋中學(xué))