加強(qiáng)概念理解 提升思維品質(zhì)

顧宏萍

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)“方程家族”最后一個(gè)亮相的方程，同學(xué)們有前面學(xué)習(xí)方程的基礎(chǔ)，會(huì)感覺非常容易上手，但在解題的過程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“不明原因”的錯(cuò)誤。其實(shí)這是對方程概念理解得不夠透徹，在解題過程中缺乏思考導(dǎo)致。

一、忽視對一元二次方程概念的理解

例1 若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）·x2-3x+m2-1=0有一個(gè)根是0，則m的值為。

【錯(cuò)解】把x=0代入方程得m2-1=0，解得m=±1，∴m的值為±1。

【正解】同上解得m=±1?！叽藶橐辉畏匠蹋鄊-1≠0，m≠1，∴m=-1，即m的值為-1。

例2 若關(guān)于x的一元二次方程（k-1）·x2-2kx+k-3=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為。

【錯(cuò)解】因?yàn)榇艘辉畏匠逃袑?shí)數(shù)根，根據(jù)根的判別式得Δ≥0，即Δ=（-2k）2-4（k-1）×（k-3）≥0，解得k≥[34]?！鄈的取值范圍為k≥[34]。

【正解】同上解得k≥[34]。又∵k-1≠0，k≠1，∴k的取值范圍為k≥[34]且k≠1。

【剖析】這兩個(gè)例題雖然看似不同，例1考查的是方程的概念，例2考查的是根的判別式，但是做錯(cuò)的原因卻是相同的。一元二次方程的概念強(qiáng)調(diào)，二次項(xiàng)系數(shù)必須不為0，在解題過程中如果忽略這個(gè)重要前提，解答就會(huì)出錯(cuò)。

【點(diǎn)評(píng)】我們在學(xué)習(xí)一元二次方程概念的時(shí)候，不能只關(guān)注概念的表象，更要關(guān)注概念的內(nèi)涵，在解題過程中要加強(qiáng)思維的深度和廣度，關(guān)注每個(gè)已知條件，以免出錯(cuò)。

二、忽視對一元二次方程有實(shí)數(shù)根的理解

例3 下列一元二次方程中，兩根之和為1的是（）。

A.x2+x+1=0 B.x2-x+3=0

C.2x2-x-1=0 D.x2-x-5=0

【錯(cuò)解】由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系x1+x2=[-ba]，部分同學(xué)看到選項(xiàng)B滿足條件即完成解答，選擇了B。

【正解】由根與系數(shù)的關(guān)系可得x2-x+3=0與x2-x-5=0的兩根之和為1，選項(xiàng)B、D均符合條件。但B選項(xiàng)的方程x2-x+3=0中Δ<0，無實(shí)根，D選項(xiàng)的方程x2-x-5=0有實(shí)數(shù)根且兩根之和為1，所以只能選D。

例4 關(guān)于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的兩實(shí)根之和大于-4，則k的取值范圍是（）。

A.k>-1 B.k<0

C.-1

【錯(cuò)解】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2=-（2k+4）>-4，求出k<0。故選B。

【正解】根據(jù)條件可得此為一元二次方程，且有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由根的判別式求出b2-4ac=[2（k+2）]2-4×1×k2=16k+16≥0，即k≥-1;根據(jù)兩實(shí)根之和大于-4這個(gè)條件，由根與系數(shù)的關(guān)系求出-（2k+4）>-4，即k<0，所以k的取值范圍是-1≤k<0。故選D。

【剖析】這兩個(gè)選擇題雖然看似難度不高，但錯(cuò)誤率都比較高，做錯(cuò)的原因也完全相同。答題過程中同學(xué)們只關(guān)注題目中呈現(xiàn)的方程兩根滿足的條件，利用根與系數(shù)關(guān)系直接獲取答案，忽略了運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系的前提是此一元二次方程要有實(shí)數(shù)根。

【點(diǎn)評(píng)】這兩題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系。我們要注意，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系式的前提條件是一元二次方程ax2+bx+c=0中a≠0且b2-4ac≥0。因此，在做此類題目的時(shí)候，我們要仔細(xì)審題，圈出關(guān)鍵字，找尋到相關(guān)條件，提升思維的嚴(yán)密性。

三、忽視實(shí)際意義，未檢驗(yàn)結(jié)果的合理性

例5 已知關(guān)于x的方程x2-（2k-3）x+k2-3k-10=0。

（1）求證：無論k為何值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

（2）已知Rt△ABC的斜邊AB的長為5，是否存在實(shí)數(shù)k，使Rt△ABC的兩直角邊AC、BC的長是這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根？如果存在，求出k的值;如果不存在，請說明理由。

【錯(cuò)解】（1）由根的判別式即可得出Δ=49>0，則無論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

（2）在Rt△ABC中，斜邊AB=5，兩邊BC、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k-3）x+k2-3k-10=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴BC2+AC2=25，BC+AC=2k-3，BC·AC=k2-3k-10。

∵BC2+AC2=（BC+AC）2-2BC·AC=25，

∴（2k-3）2-2·（k2-3k-10）=25，

化簡，得k2-3k+2=0，∴k1=2或k2=1。

答：k的值為2或1。

【正解】（1）同上。（2）同上求得k值。

當(dāng)k1=2時(shí)，此方程為x2-x-12=0，BC·AC=-12<0，即BC和AC是一正數(shù)一負(fù)數(shù)，不符題意，故舍去;

當(dāng)k2=1時(shí)，此方程為x2+x-12=0，同樣BC和AC是一正數(shù)一負(fù)數(shù)，不符題意，故舍去。

∴不存在實(shí)數(shù)k，使Rt△ABC的斜邊為5且兩直角邊AC、BC的長是這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

【剖析】本題的解題思路是利用直角三角形勾股定理建立方程，通過三角形的邊是方程的根的條件，運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程，轉(zhuǎn)化過程中需要進(jìn)行必要的恒等變形，難度有所提升。但同學(xué)們在解題過程中出現(xiàn)的最大的問題則是針對實(shí)際問題沒有檢驗(yàn)結(jié)果的合理性。第一問雖然已經(jīng)判斷出此方程肯定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，但三角形的邊是此方程的解，就需要額外滿足此方程有兩個(gè)正根的條件。

【點(diǎn)評(píng)】本題的第二問錯(cuò)誤率極高，反映了同學(xué)們在解題的時(shí)候思維不夠嚴(yán)密。一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是中考的重要考點(diǎn)，在學(xué)習(xí)過程中要加強(qiáng)對概念的理解，解題過程中要關(guān)注每個(gè)條件，實(shí)際問題要學(xué)會(huì)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，提升自己思維的深度、廣度和嚴(yán)謹(jǐn)性。

（作者單位：江蘇省無錫市東林中學(xué)）