■劉長柏

命題是數(shù)學(xué)的重要構(gòu)成形式,而充分條件、必要條件是數(shù)學(xué)的重要概念,是對命題進行研究的重要途徑,討論的是“若p,則q”命題中的條件和結(jié)論的邏輯關(guān)系。因而,“四種條件”問題是高考的必考內(nèi)容和熱門考點。

一、定義法

一般地,“若p,則q”為真命題,是指由p通過推理可以得出q。這時,我們就說,由p可推出q,記作p?q,并且說p是q的充分條件,q是p的必要條件。同學(xué)們往往只注意到第一層含義,忽略第二層含義。由p不能推出q,這也說明兩層含義:p不是q的充分條件,q不是p的必要條件。

例1“x+y=5”是“x=2,y=3”的( )。

A.充分必要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

解:容易知道“x+y=5”不能推出“x=2,y=3”,如當(dāng)x=1,y=4時,滿足x+y=5,但不能得到x=2,y=3。顯然“x=2,y=3”能推出“x+y=5”。故“x+y=5”是“x=2,y=3”的必要不充分條件。應(yīng)選C。

二、傳遞法

對于較復(fù)雜的關(guān)系,常用?、?、?/ 等符號進行傳遞,畫出它們的綜合結(jié)構(gòu)圖,可降低解題難度,顯得直觀快捷。

例2已知p是r的充分不必要條件,q是r的充分條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,現(xiàn)有下列命題:①r是q的充要條件;②p是q的充分不必要條件;③r是q的必要不充分條件;④﹁p是﹁s的必要不充分條件;⑤r是s的充分不必要條件。其中正確命題的序號是_____。

解:(法1)由已知得p?r,q?r,r?s,s?q,由此得r?q且q?r,①正確,③不正確。顯然p?r,r?q,p?q,②正確。④等價于p?s,由p?r,r?s,可得p?s,④正確。顯然r?s,且s?r,⑤不正確。答案為①②④。

(法2)根據(jù)題意畫出示意圖,如圖1 所示。由圖可得,①②正確,③⑤不正確,④等價于s是p的必要不充分條件,也是正確的。

圖1

三、集合關(guān)系判斷法

已知命題p,q的解集分別為集合A,B,若p是q的充分不必要條件,則A是B的真子集,若p是q的必要不充分條件,則B是A的真子集。

例3不等式≥7 成立的一個必要不充分條件是( )。

A.x≥1 B.x≤-6

C.x≥1或x≤-6 D.x≠0

解:|2x+5|≥7的解集是{x∣x≥1或x≤-6}。欲找出不等式≥7 成立的一個必要不充分條件,需找出真包含集合{x∣x≥1或x≤-6}的集合即可。分析選項可知,{x|x≠0}{x|x≥1或x≤-6}。應(yīng)選D。

四、等價命題法

原命題與逆否命題等價,逆命題與否命題等價。對于那些帶有否定性的命題,可先轉(zhuǎn)化為它的等價命題,再進行判斷,這樣可培養(yǎng)同學(xué)們思維的靈活性。

例4已知命題p:>2;q:,問:﹁p是﹁q的什么條件?

解:由>2,可 得x>2 或x<,所以﹁p:≤x≤2。由,可得x>2 或x<-1,所以﹁q:-1≤x≤2。容易判斷﹁p是﹁q的充分不必要條件。

或者,判斷﹁p是﹁q的什么條件等價于判斷q是p的什么條件(略)。