基于梯度下降法直接擬合光譜吸收信號(hào)的氣體濃度測(cè)量方法研究

邵國(guó)棟， 李崢輝， 郭松杰， 鄒麗昌， 鄧 瑤， 盧志民, 2, 3， 姚順春, 2, 3*

1. 華南理工大學(xué)電力學(xué)院， 廣東 廣州 510640 2. 廣東省能源高效清潔利用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 廣東 廣州 510640 3. 廣東省能源高效低污染轉(zhuǎn)化與工程技術(shù)研究中心， 廣東 廣州 510640

引 言

可調(diào)諧二極管激光吸收光譜(tunable diode laser absorption spectroscopy， TDLAS)技術(shù)由于選擇性強(qiáng)、 靈敏度高、 精確度高、 非侵入式測(cè)量等優(yōu)點(diǎn)， 被廣泛應(yīng)用于大氣環(huán)境監(jiān)測(cè)、 燃燒流場(chǎng)診斷、 工業(yè)過(guò)程控制、 人體呼吸探測(cè)等領(lǐng)域[1]。 可調(diào)諧二極管激光器有兩種最廣泛使用的吸收光譜技術(shù)： 直接吸收光譜技術(shù)和波長(zhǎng)調(diào)制光譜技術(shù)。

已有的基線擬合研究主要集中在對(duì)基線進(jìn)行修正和對(duì)誤差進(jìn)行校準(zhǔn)兩個(gè)方面。 在此基礎(chǔ)上， 提出了一種新的濃度反演方法： 基于梯度下降法直接擬合光譜吸收信號(hào)， 即直接擬合法， 對(duì)透射激光強(qiáng)度進(jìn)行擬合以提取光譜和濃度信息， 并通過(guò)測(cè)量不同濃度的CO2， 驗(yàn)證該方法的可行性和準(zhǔn)確性。

1 理論分析

1.1 Beer-Lambert定律

根據(jù)Beer-Lambert定律， 一束激光穿過(guò)氣體， 其透射信號(hào)與入射信號(hào)的關(guān)系可表示為[7]

It=I0e-PSLxφ(ν)

(1)

式中，It為透射激光強(qiáng)度，I0為入射激光強(qiáng)度；P[atm]為被測(cè)氣體的總壓強(qiáng);S[cm-2·atm-1]為吸收譜線的線強(qiáng)， 可以通過(guò)分子光譜數(shù)據(jù)庫(kù)HITRAN確定[9]；L[cm]為光程長(zhǎng)度；x是目標(biāo)氣體的濃度， 用體積分?jǐn)?shù)表示；φ(ν)為線型函數(shù)， 表示被測(cè)氣體吸收譜線的形狀， 本文以洛倫茲線型擬合吸收譜線。

(2)

(3)

式中，A是積分吸光度， 通常用式(3)計(jì)算目標(biāo)氣體濃度， 即積分面積法， 也稱為吸光度曲線擬合法。

1.2 梯度下降法的基本原理

梯度下降法是一種經(jīng)典的數(shù)值優(yōu)化算法， 用來(lái)遞歸性地逼近最小偏差， 常作為機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域訓(xùn)練算法的核心內(nèi)容被應(yīng)用于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與邏輯斯諦回歸。 它的主要思想是： 首先對(duì)系數(shù)向量初始化， 然后逐步迭代更新系數(shù)向量值， 進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)的極小化， 直到收斂。 由于負(fù)梯度方向是使函數(shù)值下降最快的方向， 所以在迭代的每一步以負(fù)梯度方向更新系數(shù)向量值， 從而達(dá)到減少函數(shù)值的目的[9]。

假設(shè)函數(shù)f(x)在xk附近連續(xù)可微， 且gk=▽f(xk)≠0， 對(duì)于求解f(x)極小值問(wèn)題， 梯度下降法計(jì)算步驟如下[10]：

步驟1 給出x0∈R, 0≤ε≤1,k: =0;

步驟2 令dk=-gk； 如果‖gk‖≤ε， 則停止；

步驟3 由一維搜索步長(zhǎng)因子α， 使得

步驟4 計(jì)算xk+1=xk+αdk；

步驟5k∶=k+1， 轉(zhuǎn)步驟2。

1.3 梯度下降法直接擬合光譜吸收信號(hào)過(guò)程

(4)

式(4)中，It=I0e-PSLxφ(ν)， 通常可以寫為關(guān)于時(shí)間的低階多項(xiàng)式， 可將其寫為三次多項(xiàng)式[11]， 如式(5)所示

I0=C0t3+C1t2+C2t+C3

(5)

眾所周知， 激光器的發(fā)射頻率受材料、 電流和溫度影響[12]。 對(duì)于分布反饋式激光器， 在溫度不變時(shí)， 可以認(rèn)為線性變化的電流在一定掃描范圍內(nèi)引起波長(zhǎng)的線性變化[13]。 采用高精度鋸齒波可以實(shí)現(xiàn)波長(zhǎng)的精確掃描， 波長(zhǎng)隨時(shí)間的變化關(guān)系可以表示為式(6)

ν(t)=C4t+C5

(6)

(7)

損失函數(shù)L(θ)中， 向量θ包括了八個(gè)未知參量， 即C0，C1，C2，C3，C4，C5，C6和氣體濃度x。 在應(yīng)用梯度下降法前， 需對(duì)八個(gè)參量分別求偏導(dǎo)。 最后， 根據(jù)2.2節(jié)所述的梯度下降法， 每次迭代更新參數(shù)

(8)

其中θj是未知參量， 每一次迭代對(duì)八個(gè)參量同時(shí)分別更新。

梯度下降法直接擬合光譜吸收信號(hào)過(guò)程的流程圖如圖1所示。

圖1 擬合流程圖

擬合過(guò)程在以下三個(gè)前提下進(jìn)行： (1)激光器的發(fā)射信號(hào)可以用三階式來(lái)描述； (2)氣體對(duì)激光的吸收線型用洛倫茲線型描述； (3)在高精度鋸齒波掃描下， 出射激光頻率與電流呈線性關(guān)系。 當(dāng)以上三個(gè)條件改變時(shí)， 需要對(duì)擬合的迭代公式做出相應(yīng)調(diào)整。

2 實(shí)驗(yàn)部分

為驗(yàn)證基于梯度下降法直接擬合光譜吸收信號(hào)的氣體濃度測(cè)量方法的準(zhǔn)確性， 本文采用TDLAS實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行CO2濃度測(cè)量[4]， 如圖2所示。 用流量控制儀(D08-2F， 七星華創(chuàng))調(diào)節(jié)N2和CO2氣體流量以配置不同濃度的CO2氣體， 兩種氣體用混合器充分混合后通入氣體池。 選用中心波長(zhǎng)為1 580 nm的分布反饋式激光器(Distributed-feedback， Nanoplus)作為光源， 由激光控制器(PCI-1DA， Port City Instruments)控制激光器的電流和溫度， 出射激光經(jīng)過(guò)光纖準(zhǔn)直器(F220FC-1550， Thorlabs)進(jìn)入光程長(zhǎng)度為2 000 cm的赫里奧特池， 經(jīng)多次反射后由光電探測(cè)器(SM05PD5A， Thorlabs)將光信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)殡娦盘?hào)， 再經(jīng)過(guò)前置放大器放大后返回激光控制器， 采集的信號(hào)由PC上控制器軟件讀取， 采集頻率為10 kHz。

圖2 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)圖

通過(guò)查閱HITRAN光譜參數(shù)數(shù)據(jù)庫(kù)可知， 在波長(zhǎng)1 580 nm附近有兩條CO2的強(qiáng)吸收線， 均在10-23量級(jí)， 其光譜參數(shù)如表1所示。 可見(jiàn)Line2的吸收線強(qiáng)比Line1的吸收線強(qiáng)更強(qiáng)， 故擬合時(shí)選擇Line2。 在溫度25 ℃， 壓力101.325 kPa的環(huán)境條件下， 用CO2和N2配置CO2濃度為10%， 12%， 14%， 16%， 18%和20%的六種混合氣體， 將混合氣分別通入氣體池， 測(cè)量CO2對(duì)激光的吸收。

表1 CO2在1 580 nm附近兩條吸收譜線的光譜參數(shù)(296 K)

3 結(jié)果與討論

根據(jù)2.2節(jié)所述的梯度下降法基本原理， 給定的初始值越接近真實(shí)值， 迭代的速度越快， 迭代也越不容易發(fā)散， 因此初始值的賦值至關(guān)重要， 有必要對(duì)初始值如何賦值做出說(shuō)明。

對(duì)入射激光強(qiáng)度中的四個(gè)參數(shù)C0，C1，C2，C3賦值， 方法為： 在采集的數(shù)據(jù)中選取四個(gè)未吸收區(qū)域采樣點(diǎn)， 如圖3所示。 選取的分別是第一個(gè)(No.1)、 第十個(gè)(No.10)、 倒數(shù)第十個(gè)(No.-10)、 最后一個(gè)采樣點(diǎn)(No.-1)的數(shù)據(jù)， 將其代入式(5)計(jì)算。 根據(jù)四個(gè)未知數(shù)和四個(gè)公式， 可以得到一組C0，C1，C2，C3， 將這四個(gè)值作為C0，C1，C2，C3的初始值。

ν(t)中的C4和C5通常在實(shí)驗(yàn)前對(duì)激光器的性能測(cè)試實(shí)驗(yàn)中得到近似值作為迭代初始值， 但在本實(shí)驗(yàn)中沒(méi)有使用標(biāo)準(zhǔn)具， 因此通過(guò)吸收光譜的兩個(gè)吸收峰來(lái)確定波長(zhǎng)與采樣點(diǎn)之間的關(guān)系， 從而獲得C4和C5的值。

對(duì)洛倫茲線型下的碰撞展寬， 有： 2C6=Δνc=P∑xA2γB-A， 式中，P為總壓強(qiáng)，xA為組分A的體積分?jǐn)?shù)，γB-A為組分A和B之間的展寬系數(shù)。 對(duì)于常溫常壓下的氣體， 2γ≈0.1 cm-1·atm-1[14]， 在未知Δνc的情況下， 可以取為0.1 cm-1， 故C6的初始值可以賦值為0.05。

圖3 入射激光強(qiáng)度參數(shù)初值計(jì)算選點(diǎn)

確定目標(biāo)氣體濃度x的初始值， 有兩種方式， 一種是利用對(duì)被測(cè)量氣體的經(jīng)驗(yàn)給出一個(gè)接近的初始值； 另一種方式是對(duì)于被測(cè)氣體完全未知的情況下， 可以直接將其賦值為50%。 因?yàn)楸狙芯康墓r是模擬電廠煙道中CO2濃度， 在此應(yīng)用場(chǎng)景下CO2濃度在10%～20%之間， 所以可以將迭代初始濃度設(shè)置為15%。

此外， 在迭代之前還需要確定步長(zhǎng)因子， 采用CO2濃度10%的數(shù)據(jù)計(jì)算， 比較了五種步長(zhǎng)因子迭代50次的擬合方差， 如圖4所示。 其中， 步長(zhǎng)因子為0.1時(shí)收斂速度最快， 因此選擇0.1作為步長(zhǎng)因子。 同時(shí)， 從圖4上還可以看出， 迭代開始階段， 擬合方差迅速降低， 說(shuō)明所用方法收斂速度很快。

圖4 五種步長(zhǎng)因子的收斂速度

確定步長(zhǎng)因子后， 對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行迭代計(jì)算。 采集了25 ℃下六種CO2濃度的吸收光譜信號(hào)， 為了提高吸收區(qū)域的擬合效果， 刪除了低吸收區(qū)域四分之三的采樣點(diǎn)之后再進(jìn)行初始值賦值， 最后通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的迭代獲得氣體的濃度信息。

迭代30步后， 得到如圖5所示的擬合效果圖， 其中圖5(a)—(f)分別是濃度為10%， 12%， 14%， 16%， 18%和20%的擬合結(jié)果。 采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)、 擬合開始位置、 迭代之后的數(shù)據(jù)曲線在圖中標(biāo)示， 藍(lán)色實(shí)線為采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)， 綠色實(shí)線為擬合初始位置， 紅色虛線為擬合得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)。 其中， 擬合的數(shù)據(jù)點(diǎn)和采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)基本重合， 殘差在-0.035～0.015之間， 可以直觀地看出應(yīng)用梯度下降法可以很好地對(duì)光譜吸收信號(hào)進(jìn)行擬合。

圖5 不同濃度下擬合結(jié)果

由上述擬合結(jié)果得到直接擬合法更詳細(xì)的數(shù)據(jù)， 如表2所示。 可以看到， 擬合計(jì)算濃度的相對(duì)誤差在0.9%～4.4%之間， 同時(shí)六種濃度下擬合的方差均在1×10-4以下， 此時(shí)迭代時(shí)間在4 s以內(nèi)。 以標(biāo)準(zhǔn)差的三倍來(lái)計(jì)算檢測(cè)限， 檢測(cè)限為0.39%。 利用積分面積法得到的CO2氣體濃度值和相對(duì)誤差也在表2中列出， 與直接擬合法進(jìn)行對(duì)比， 積分面積法的平均相對(duì)誤差為5.74%， 直接擬合法的平均相對(duì)誤差為2.63%， 在本實(shí)驗(yàn)條件下直接擬合法的結(jié)果優(yōu)于積分面積法。

表2 直接擬合法與積分面積法分析結(jié)果

對(duì)以上直接擬合法分析性能優(yōu)于積分面積法的原因進(jìn)行分析， 繪制出了在常規(guī)基線擬合法下得到的不同濃度的吸光度， 如圖6所示。 可以看到， 積分面積法在做基線擬合時(shí)會(huì)出現(xiàn)吸光度小于0的情況， 這是積分面積法誤差的主要來(lái)源。

圖6 常規(guī)基線擬合得到的不同濃度下的吸光度

4 結(jié) 論

將基線、 氣體濃度、 吸收線型等作為未知量， 通過(guò)建立光譜吸收信號(hào)的數(shù)學(xué)模型， 結(jié)合梯度下降法， 分別對(duì)10%， 12%， 14%， 16%， 18%和20%濃度的CO2吸收后的激光透射信號(hào)進(jìn)行了擬合。 結(jié)果顯示： 采用直接擬合法計(jì)算的濃度最小相對(duì)誤差僅為0.90%， 平均相對(duì)誤差為2.63%， 同時(shí)六種濃度下的擬合方差均小于1×10-4。 而積分面積法濃度反演的最小相對(duì)誤差為4.10%， 平均相對(duì)誤差為5.74%， 本工作所提出的基于梯度下降法直接擬合光譜吸收信號(hào)的氣體濃度測(cè)量方法優(yōu)于積分面積法， 進(jìn)一步表明了該方法在氣體濃度測(cè)量時(shí)的可行性與準(zhǔn)確性。