吳卓恒

（華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣東 廣州 510641）

混凝土是當(dāng)今應(yīng)用最為廣泛的工程材料之一，然而作為一種準(zhǔn)脆性材料，其在正常使用中會(huì)不可避免的出現(xiàn)裂縫，雖然現(xiàn)行《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[1]允許鋼筋混凝土構(gòu)件帶裂縫工作，但這些裂縫則對(duì)構(gòu)件乃至結(jié)構(gòu)造成的不利影響仍是不可忽略的。

2018 年，Wu 提出的混凝土相場(chǎng)損傷模型[1]在給定相場(chǎng)尺度參數(shù)b 后僅需彈性模量、泊松比、單軸抗拉強(qiáng)度等容易獲取的材料參數(shù)即可很好地模擬混凝土中復(fù)雜的開(kāi)裂行為，有很廣闊的應(yīng)用前景。但該模型在通過(guò)有限元方法（Finite Element Method，F(xiàn)EM）進(jìn)行求解時(shí)，由于需要保證相場(chǎng)梯度的精度，在潛在開(kāi)裂區(qū)域附近往往需要?jiǎng)澐州^為精細(xì)的網(wǎng)格，這導(dǎo)致模型分析效率偏低。

2007 年Liu 等結(jié)合無(wú)網(wǎng)格法中的光滑應(yīng)變技術(shù)，提出了光滑有限元方法（Smoothed FEM, S-FEM）[3]，其中子單元光滑有限元（Cell-based S-FEM, CS-FEM）算法簡(jiǎn)單，且在同網(wǎng)格下較FEM具有更高的計(jì)算精度。用其求解混凝土相場(chǎng)損傷模型的位移場(chǎng)與相場(chǎng)將有望提升求解精度，降低其對(duì)網(wǎng)格尺寸的要求，提升分析效率。

基于以上考慮，本工作將使用CS-FEM來(lái)求解混凝土相場(chǎng)損傷模型的位移場(chǎng)與相場(chǎng)，驗(yàn)證其求解相場(chǎng)損傷模型的能力，同時(shí)比較CS-FEM 在建議網(wǎng)格尺寸下的細(xì)網(wǎng)格和建議網(wǎng)格尺寸外的粗網(wǎng)格模擬結(jié)果的差異。

1 混凝土相場(chǎng)損傷模型

圖1 混凝土相場(chǎng)損傷模型對(duì)裂縫的幾何規(guī)則化

在混凝土相場(chǎng)損傷模型中，尖銳裂縫S 被彌散至寬度由尺度參數(shù)b 控制的損傷帶B 中，固體其余部分ΩB 則不受裂縫影響。根據(jù)[1，3，4]，混凝土相場(chǎng)損傷模型的相關(guān)公式可整理為表1 所示的公式方框圖。

表1 混凝土相場(chǎng)損傷模型公式

在混凝土相場(chǎng)損傷模型基于FEM的數(shù)值實(shí)現(xiàn)中，為保證求解精度，一般建議網(wǎng)格尺寸h 與相場(chǎng)長(zhǎng)度尺度參數(shù)b 滿足h≤b/5。

2 CS-FEM 基礎(chǔ)理論與數(shù)值實(shí)現(xiàn)

2.1 光滑應(yīng)變技術(shù)

在標(biāo)準(zhǔn)FEM中，固體的應(yīng)變通過(guò)以下公式計(jì)算

式中，Nn為模型中的節(jié)點(diǎn)總數(shù)，Ni為節(jié)點(diǎn)i 的位移插值形函數(shù)矩陣，ai為節(jié)點(diǎn)i 的所有位移自由度。

CS-FEM中采用的光滑應(yīng)變技術(shù)則是在標(biāo)準(zhǔn)有限元應(yīng)變場(chǎng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行空間平均化處理。將求解區(qū)域劃分為Ns個(gè)光滑域Ωsk，采用常數(shù)型光滑函數(shù)[6]，根據(jù)高斯公式可以得到邊界上一維線積分形式的光滑應(yīng)變場(chǎng)計(jì)算公式

式中，nx和ny分別為邊界Γsk單位外法向量沿x 軸和y 軸方向的分量。

2.2 混凝土相場(chǎng)損傷模型在CS-FEM中的實(shí)現(xiàn)

CS-FEM中位移場(chǎng)與相場(chǎng)的通過(guò)以下的插值公式計(jì)算

式中，Nui和Ndi為節(jié)點(diǎn)位移和相場(chǎng)的插值形函數(shù)矩陣，aui和adi分別為節(jié)點(diǎn)i 的所有位移自由度和相場(chǎng)自由度。

如圖2 所示，CS-FEM 的光滑域是通過(guò)連接兩條對(duì)邊的中點(diǎn)得到的。相應(yīng)的光滑后的應(yīng)變和相場(chǎng)梯度表達(dá)式為

圖2 CS-FEM 中的光滑域劃分與積分的分布

式中，NsΓ為光滑域的邊界數(shù)；xGp為邊界上高斯積分點(diǎn)的坐標(biāo)；lp為積分邊界的長(zhǎng)度。需要指出的是，整個(gè)過(guò)程不需要標(biāo)準(zhǔn)有限元中對(duì)單元插值形函數(shù)的求導(dǎo)以及單元的等參變換。

通過(guò)上述的離散過(guò)程，可以得到殘量形式的控制方程

3 數(shù)值算例

考慮Winkler[7]的L 型板試驗(yàn)，試件的幾何尺寸、加載方式與裂縫路徑如圖3 所示。模擬中采用Unger 等[7]建議的材料參數(shù)：彈性模量E0=2.0×104MPa，泊松比υ=0.18，單軸抗拉強(qiáng)度f(wàn)t=2.5MPa，Ⅰ型斷裂能Gf=0.130N/mm。相場(chǎng)長(zhǎng)度尺度參數(shù)b 取為10mm。分別考慮大于建議網(wǎng)格尺寸的粗網(wǎng)格（h = b/2）和滿足建議網(wǎng)格尺寸外的細(xì)網(wǎng)格（h = b/5）。

圖3 L 型板試驗(yàn)：幾何尺寸、加載方式與裂縫路徑

模擬得到的開(kāi)裂路徑如圖4 所示，可以看出基于CS-FEM的相場(chǎng)損傷模型在粗、細(xì)網(wǎng)格下得到的裂縫路徑相同，且落在試驗(yàn)實(shí)測(cè)范圍內(nèi)。

圖4 模擬得到的開(kāi)裂路徑

模擬得到的荷載- 位移曲線如圖5 所示，從中可以看出粗網(wǎng)格下得到的荷載較細(xì)網(wǎng)格下的結(jié)果偏大，但二者間差別很小且均落在試驗(yàn)實(shí)測(cè)范圍內(nèi)。

圖5 模擬和試驗(yàn)得到的荷載- 位移曲線

4 結(jié)論

4.1 子單元光滑有限元（CS-FEM）能正確求解混凝土相場(chǎng)損傷模型。

4.2 CS-FEM在采用較FEM建議的網(wǎng)格尺寸（h≤b/5）更粗的網(wǎng)格（h=b/2）時(shí)同樣能正確地模擬混凝土開(kāi)裂破壞過(guò)程。