數(shù)學(xué)理解讓核心素養(yǎng)落地生根

沈凱

【摘要】數(shù)學(xué)理解是數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)能力之間的橋梁，在教與學(xué)中均有重要意義.它存在于教學(xué)過程之中，在教學(xué)結(jié)果中也得到了體現(xiàn).數(shù)學(xué)理解是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的重要途徑，它也可以避免大量的、重復(fù)的題海戰(zhàn)術(shù).本研究以一節(jié)新授課為例，在學(xué)生原有認知的基礎(chǔ)上運用基本知識和學(xué)科原理構(gòu)建新知識.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)理解;認知結(jié)構(gòu);關(guān)系性理解

一個數(shù)學(xué)的概念和方法或事實被理解了，那么它就會成為個人內(nèi)部知識網(wǎng)絡(luò)的一部分……理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強度來確定的.教學(xué)大綱將教學(xué)目標分為了解、理解、掌握、靈活運用四個層次，可見理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個重要目標.教學(xué)大綱對理解也作了如下定義：對概念和規(guī)律（定律、定理、公式、法則等）達到了充分且理性的認識，不但能夠用自己的語言準確地表達其內(nèi)容是什么，而且能夠知道它們是怎樣得到的，以及它們與概念之間有什么關(guān)聯(lián).

數(shù)學(xué)的理解主要是強調(diào)在原有理解的基礎(chǔ)上，運用基本知識和學(xué)科原理框架對新知識建構(gòu)新的認知.理解性學(xué)習(xí)重在獲得對基本概念和原理的深層次理解，是一種高效的學(xué)習(xí)，也是有意義的學(xué)習(xí).學(xué)習(xí)過程的本質(zhì)是理解的探索和發(fā)展，而不是事實內(nèi)容的記憶和積累，因此，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，促進其深層次的理解是很重要的一個步驟.

中學(xué)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)設(shè)計應(yīng)側(cè)重發(fā)展學(xué)生的理解，而不僅僅是傳授知識.教師在教學(xué)過程中應(yīng)了解學(xué)生的智能特點，充分理解學(xué)生的認知特點，在學(xué)生已有經(jīng)驗和思路的基礎(chǔ)上，采用合適的方法促進學(xué)生對數(shù)學(xué)對象的深層次理解.

一、問題提出

“函數(shù)的奇偶性”本質(zhì)上是用數(shù)學(xué)語言來刻畫一個函數(shù)圖像本身是否關(guān)于y軸對稱或關(guān)于原點對稱.筆者在學(xué)生初中階段已有知識的基礎(chǔ)上進行了如下教學(xué)設(shè)計.

在直角坐標系中作出函數(shù)f（x）=x2的圖像.

問題1：函數(shù)f（x）=x2的圖像具有對稱性嗎？

生：函數(shù)f（x）=x2的圖像關(guān)于y軸對稱.

問題2：函數(shù)f（x）=x2的圖像為什么關(guān)于y軸對稱？

生：我們初中就學(xué)過了，因為如果我們將f（x）=x2的圖像畫在一張紙上，再沿著y軸將這張紙折疊，那么y軸右邊的圖像將會與y軸左邊的圖像完全重合.

在肯定學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)提出問題3：如何用數(shù)學(xué)語言來準確刻畫函數(shù)f（x）=x2的圖像是關(guān)于y軸對稱的呢？

生：……（課堂鴉雀無聲）

二、問題分析

學(xué)生對對稱真正了解嗎？學(xué)生對對稱的認識還停留在初中階段，即翻折后折痕一邊的圖像與另一邊重合，或者繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形重合.這符合初中生的認知水平，也是對于對稱現(xiàn)象的一種感性認識.學(xué)生能從圖形的角度感受對稱現(xiàn)象的發(fā)生，并且獲得對于對稱概念的初步理性認識，但這是一種模糊的、淺顯的認知.高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心問題是幫助學(xué)生完成在現(xiàn)有學(xué)習(xí)能力下向高認知的學(xué)習(xí)任務(wù)攀升.其中有一方面就是對數(shù)學(xué)對象的認識，從自然語言向更準確、更精煉的符號語言的轉(zhuǎn)化.“函數(shù)的奇偶性”這一節(jié)課正是讓學(xué)生經(jīng)歷一個對稱概念的形成過程，加深學(xué)生對概念的準確認知，從中建構(gòu)自己對于對稱的理解和認識.

三、教學(xué)設(shè)計（片段）

問題4：是因為點（1，1）和點（-1，1）都在函數(shù)f（x）=x2的圖像上，所以認為函數(shù)f（x）=x2的圖像關(guān)于y軸對稱嗎？

生：盡管這兩個關(guān)于y軸對稱的點都在f（x）=x2的圖像上，但是不足以說明f（x）=x2的圖像是關(guān)于y軸對稱的.

問題5：那我們多取幾組點就能說明嗎？

生：有限組點肯定不足以說明.

問題6：那我們?nèi)o數(shù)組點呢？

生：好像也不行，應(yīng)該要任意一組點才行，即需要在函數(shù)f（x）=x2的圖像上任取一點P，證明它關(guān)于y軸的對稱點Q也在函數(shù)f（x）=x2的圖像上.

學(xué)生在教師的指導(dǎo)下完成證明：在f（x）=x2的圖像上任取一點Px0，f（x0），即f（x0）=x20.設(shè)點P關(guān)于y軸的對稱點為Q，則Q點的坐標為（-x0，f（-x0））.因為f（-x0）=（-x0）2=x20=f（x0），所以點Q也在函數(shù)f（x）=x2的圖像上.所以函數(shù)f（x）=x2的圖像關(guān)于y軸對稱.

問題7：這個證明中的關(guān)鍵之處有哪些？

生1：點P要從函數(shù)圖像上任取.

生2：f（-x0）=f（x0）這個式子的成立也是關(guān)鍵.

問題8：若函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）=f（x）對定義域中任意的x恒成立，能推出函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱嗎？

生：在函數(shù)y=f（x）的圖像上任取一點P（x0，y0），即y0=f（x0）.因為f（-x）=f（x）對定義域中任意的x恒成立，則y0=f（-x0），即點Q（-x0，y0）一定在函數(shù)y=f（x）的圖像上，所以函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱.

問題9：若函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱，則其解析式會有什么特征？

生：在函數(shù)y=f（x）的圖像上任取一點P（x0，y0），即y0=f（x0），點P關(guān)于y軸的對稱點Q（-x0，y0）一定在函數(shù)y=f（x）的圖像上，即y0=f（-x0）.等量代換后得到f（-x0）=f（x0），即f（-x）=f（x）對定義域中任意的x恒成立.

師：所以函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）=f（x）對任意的定義域中x恒成立等價于函數(shù)y=f（x）的圖像是關(guān)于y軸對稱的.此時給出偶函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f（-x）=f（x），那么稱函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù).

問題10：大家可以繼續(xù)思考偶函數(shù)的圖像有什么特點？

生：剛才我們已經(jīng)證明了偶函數(shù)的圖像是關(guān)于y軸對稱的.