基于混合式教學(xué)的“數(shù)列的極限”案例研究

包云霞 趙文才 魯法明

【摘要】以“數(shù)列的極限”為教學(xué)案例，探討了基于線上、線下相結(jié)合的混合式教學(xué)方法和綜合評價(jià)體系在教學(xué)過程中的實(shí)施步驟，從而使學(xué)生成為教學(xué)過程的主體，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性;并且有效解決了教學(xué)互動(dòng)與學(xué)情反饋等方面的問題。

【關(guān)鍵詞】混合式教學(xué) ?數(shù)列的極限 ?教學(xué)互動(dòng) ?學(xué)情反饋

【基金項(xiàng)目】山東科技大學(xué)青年教師本科教學(xué)拔尖人才培養(yǎng)計(jì)劃（BJRC20190503）;山東科技大學(xué)優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)計(jì)劃資助（JXTD20160507）;山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)計(jì)劃資助（JXTD20180504）。

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2021）05-0007-03

基于互聯(lián)網(wǎng)的信息化，線上教學(xué)讓知識(shí)表現(xiàn)得更形象、具體，既活躍了課堂氣氛，又拓展了學(xué)生的知識(shí)面;此外，信息化教學(xué)中，采取的是多元評價(jià)機(jī)制，對學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)過程、課后實(shí)踐以及互助合作程度等多方面做出評價(jià)。這樣使得教師對學(xué)生的評價(jià)更加客觀、全面，有利于提高學(xué)習(xí)者的積極性和自主探究能力。

高等數(shù)學(xué)的主要研究對象是微積分，極限是微積分的基礎(chǔ)，因此，對極限思想和概念的理解和掌握直接決定著微積分思想的理解和掌握。本節(jié)課采用線上、線下相結(jié)合的混合式教學(xué)方式對“數(shù)列的極限”進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生深刻地理解數(shù)列極限的“？著-N”定義及用極限的嚴(yán)格定義證明數(shù)列的極限是本節(jié)課要解決的主要問題。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)目標(biāo)：理解數(shù)列極限的“？著-N”定義;掌握利用定義證明數(shù)列極限的方法。

2.能力目標(biāo)：使學(xué)生初步理解有限和無限、量變和質(zhì)變相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義思想。

3.情感目標(biāo)：通過莊子名言，劉徽“割圓術(shù)”，讓學(xué)生對中國傳統(tǒng)文化及數(shù)學(xué)成就有一種自豪感;通過分析給出數(shù)列極限的嚴(yán)格“？著-N”定義，讓學(xué)生感受探索的樂趣和成功的喜悅，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密邏輯性和數(shù)學(xué)美;通過極限的發(fā)展歷程，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家們的勤奮和嚴(yán)謹(jǐn)，不斷探索的精神，提升學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和勇于攀登的精神。

二、教學(xué)策略

1.采取線上、線下結(jié)合的混合式教學(xué)模式：首先，課前在學(xué)習(xí)平臺(tái)發(fā)布本次課要解決的重點(diǎn)和難點(diǎn)問題，引導(dǎo)學(xué)生們基于網(wǎng)上教學(xué)資源提前預(yù)習(xí)，提出自己的問題;其次，結(jié)合學(xué)生們提出的主要問題精選本節(jié)教學(xué)內(nèi)容，以短小精悍的“微課”形式制作教學(xué)課件;此外，課堂教學(xué)過程中穿插提問、搶答、練習(xí)、小組討論等環(huán)節(jié)檢驗(yàn)學(xué)生們的課前預(yù)習(xí)情況及課堂掌握情況，活躍課堂氣氛，提升學(xué)生們分析問題的能力;最后，在教學(xué)平臺(tái)布置課后思考，鼓勵(lì)學(xué)生們踴躍發(fā)言、共同討論，從而對極限的概念有更進(jìn)一步的理解，初步學(xué)會(huì)用極限的概念解決實(shí)際問題。學(xué)生們的上述活動(dòng)都將形成一個(gè)線上的學(xué)習(xí)成績，計(jì)入最后的考評。

2.啟發(fā)式教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣：課堂教學(xué)按照“情境導(dǎo)入-直觀分析-嚴(yán)格定義與推理—實(shí)例分析—學(xué)習(xí)總結(jié)—知識(shí)拓展”的步驟展開教學(xué)。教學(xué)過程由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，在學(xué)生掌握知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

3.突出重點(diǎn)，化解難點(diǎn)：通過課前布置線上學(xué)習(xí)內(nèi)容及課堂上動(dòng)畫展示極限過程讓學(xué)生直觀地感受“？著-N”含義;通過詳細(xì)的推導(dǎo)和例題的解答鞏固重點(diǎn)，化解難點(diǎn)。

三、教學(xué)安排

（一）線上自學(xué)部分

1.結(jié)合實(shí)例（圖1）給出數(shù)列極限的直觀定義

2.結(jié)合實(shí)例初步理解數(shù)列極限的嚴(yán)格定義

試以1+n為例進(jìn)行分析，初步理解數(shù)列極限的嚴(yán)格定義，并解答思考題（圖2），初步理解ε 任意性及Ν被動(dòng)性和不唯一性。

（二）線下討論部分

1.情境導(dǎo)入

首先通過莊子“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”（圖3）引入數(shù)列極限的樸素思想;之后，介紹劉徽的“割圓術(shù)”（圖4），由此引出極限在實(shí)際中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對極限的學(xué)習(xí)興趣。

2.直觀分析

結(jié)合線上學(xué)習(xí)情況，安排提問環(huán)節(jié)（圖5），以“選人”的方式解決這一問題，由此給出數(shù)列極限的直觀定義。

3.嚴(yán)格定義與推理

5.學(xué)習(xí)總結(jié)

回顧數(shù)列極限的直觀定義、精確定義及幾何意義（圖8）;強(qiáng)調(diào)利用定義證明數(shù)列的極限基本步驟，同時(shí)指出可適當(dāng)放大不等式求取N。

6.知識(shí)拓展

借助芝諾悖論（圖9）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考極限的概念，體會(huì)有限與無限之間的辯證關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生課下自主學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容。

總結(jié)數(shù)列極限的發(fā)展歷程，融入課程思政。從公元前三世紀(jì)左右極限的萌芽到十八世紀(jì)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，再到十九世紀(jì)數(shù)學(xué)家柯西、維爾斯特拉斯等人在前人所積累的大量成果（包括許多失敗的嘗試）的基礎(chǔ)上，給出極限的精確定義，建立起微積分的理論基礎(chǔ)，這中間經(jīng)歷了兩千多年的時(shí)間。極限概念的發(fā)展歷程充分說明任何事物的發(fā)展都不是一帆風(fēng)順的，都是遵從否定之否定的發(fā)展規(guī)律;因此，我們在日常的學(xué)習(xí)和工作中要想取得一些成績一定要敢于質(zhì)疑，勇于否定，同時(shí)也要沉得住氣，持之以恒。

布置相關(guān)作業(yè)及下節(jié)預(yù)習(xí)內(nèi)容。如何根據(jù)數(shù)列極限的嚴(yán)格定義給出函數(shù)極限的嚴(yán)格定義呢？二者有什么不同呢？以此鞏固學(xué)生本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)，引出下節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的遷移能力。

三、總結(jié)與反思

本次課基于線上、線下的混合式教學(xué)方式能夠讓學(xué)生積極主動(dòng)地分析、解決問題，通過課堂提問、練習(xí)，能夠全面地、有效地了解學(xué)生們的學(xué)習(xí)掌握情況，根據(jù)反饋情況及時(shí)地調(diào)整教學(xué)內(nèi)容。

從授課情況來看，大部分學(xué)生理解了數(shù)列極限的嚴(yán)格定義，能用定義嚴(yán)格地證明數(shù)列的極限，達(dá)到了教學(xué)目標(biāo)。但是也發(fā)現(xiàn)少部分基礎(chǔ)較弱、學(xué)習(xí)主動(dòng)性不強(qiáng)的學(xué)生跟不上課堂的節(jié)奏，學(xué)習(xí)起來比較吃力，所以在后續(xù)的教學(xué)過程中將對如何調(diào)動(dòng)這一部分學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，如何更好地進(jìn)行分層教學(xué)作進(jìn)一步的探討。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊憲立，趙自強(qiáng).問題驅(qū)動(dòng)原則在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，23（1）：49-52.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[3]趙文才.基于混合式教學(xué)的“梯度”教學(xué)案例研究[J].大學(xué)教育，2018，3：61-70.

[4]吳慧卓.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透課程思政的探索與思考[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2019，35（5）：40-43.

[5]劉濤.淺談一階線性微分方程在混合式教學(xué)模式下的解法探索[J].攀枝花學(xué)院學(xué)報(bào)，2019，36（2）：110-112.

[6]蔣英春.“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代高等數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)教學(xué)模式的探索與實(shí)踐[J].大學(xué)教育，2018，9：92-94.

作者簡介：

包云霞（1979年3月-），女，漢族，山東省海陽市人，碩士研究生，講師，研究方向：貝葉斯統(tǒng)計(jì)。