王文義 朱惠英 何男

摘 要：本節(jié)課運(yùn)用問題提出教學(xué)模式，循序漸進(jìn)，層層設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生探究歸納出指數(shù)函數(shù)定義。運(yùn)用幾何畫板動(dòng)態(tài)效果，生動(dòng)形象地繪制出指數(shù)函數(shù)的圖像，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)函數(shù)的定義和性質(zhì)體會(huì)更深。同時(shí)在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的過程中滲透辯證唯物主義的思想，把學(xué)生培養(yǎng)成為具有哲學(xué)思想的人。

關(guān)鍵詞：指數(shù)函數(shù);底數(shù);指數(shù);辯證唯物主義

一、 創(chuàng)設(shè)情境，引入實(shí)例

教師提出問題：同學(xué)們玩過折紙嗎？你相信一張紙能帶你上月球嗎？帶著這個(gè)問題，我們來進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

接下來教師播放1分10秒的小視頻《指數(shù)爆炸》，并請(qǐng)學(xué)生在觀看后回答問題：折紙的過程中，紙張的哪兩個(gè)屬性會(huì)發(fā)生變化？

學(xué)生回答：紙的厚度和面積。

教師：假設(shè)一張紙的厚度為1個(gè)單位，面積為1個(gè)單位。理想狀態(tài)下，如果不考慮紙的延展性，這張紙可以折疊無數(shù)次。當(dāng)這張紙折疊1次，2次，3次，乃至x次時(shí)，你能推算出紙的厚度和紙的面積分別是多少嗎？請(qǐng)同學(xué)們通過小組合作，完成下表。（小組合作探究后請(qǐng)兩個(gè)小組代表發(fā)言）

學(xué)生填寫表格：

折疊次數(shù)紙的厚度紙的面積

12=2112=121

24=2214=122

38=2318=123

………

x2x12x

教師：由表格，我們能得到哪兩個(gè)函數(shù)解析式呢？

學(xué)生：一是紙折疊后的厚度與折疊次數(shù)的函數(shù)y=2x，二是紙折疊后的面積與折疊次數(shù)的函數(shù)y=12x。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過反復(fù)折疊紙的操作過程，分別抽象出指數(shù)函數(shù)y=2x，y=12x，既滿足了指數(shù)函數(shù)按底數(shù)劃分的兩類函數(shù)，又滿足了教材上所舉的函數(shù)例子，達(dá)到了靈活處理教材的目的。紙?jiān)诜磸?fù)折疊的過程中，隨著折疊次數(shù)的增加，厚度呈指數(shù)型增長，而面積卻呈指數(shù)型減少，學(xué)生可初步感受由底數(shù)不同帶來的指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的不同，充分經(jīng)歷從數(shù)學(xué)情境中抽象出指數(shù)函數(shù)特例的過程，為后面引出指數(shù)函數(shù)的概念做鋪墊。

二、 討論底數(shù)，歸納結(jié)論

教師提出問題：函數(shù)y=2x，y=12x，與我們之前所學(xué)的函數(shù)有何不同？

（提示：未知數(shù)的位置在哪？）

教師：像這種指數(shù)位置為x，底數(shù)位置為常數(shù)2或者12的函數(shù)，我們稱之為指數(shù)函數(shù)。也就是說，形如y=ax的函數(shù)叫作指數(shù)函數(shù)（此時(shí)板書定義的一部分）。大家還能舉幾個(gè)例子嗎？

教師提出問題：底數(shù)a為負(fù)數(shù)可不可以？如y=-3x。

學(xué)生回答：指數(shù)函數(shù)底數(shù)為負(fù)數(shù)會(huì)導(dǎo)致某些值沒有意義，比如x=12。

教師：為了讓x取遍所有的實(shí)數(shù)，規(guī)定指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為正數(shù)，即底數(shù)a>0。

教師提出問題：除了底數(shù)a>0，同時(shí)底數(shù)還要滿足什么條件？

學(xué)生回答：底數(shù)不等于1。當(dāng)?shù)讛?shù)a=1，那么1x=1，沒有研究的意義。

教師繼續(xù)板書補(bǔ)充指數(shù)函數(shù)的定義：形如y=ax（a>0，且a≠1）的函數(shù)叫作指數(shù)函數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：指數(shù)函數(shù)是高中階段學(xué)習(xí)的第一個(gè)函數(shù)，不同于初中學(xué)的函數(shù)。引導(dǎo)學(xué)生觀察指數(shù)函數(shù)底數(shù)位置和指數(shù)位置，未知數(shù)x在指數(shù)位置，再辨析底數(shù)a的取值范圍，這一過程經(jīng)歷了特殊到一般，具體到抽象的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

教師介紹指數(shù)函數(shù)的歷史出處：

1748年時(shí)，世界著名數(shù)學(xué)家歐拉，在著作《無窮分析引論》（Introduction to Analysis of the Infinite）中對(duì)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行了明確和詳細(xì)的介紹。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解指數(shù)函數(shù)的出處和產(chǎn)生時(shí)間，有利于讓學(xué)生了解知識(shí)產(chǎn)生的背后，數(shù)學(xué)家起著重要的作用。

【例1】 下列函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)。

（1）y=2·3x

（2）y=-3x（系數(shù)錯(cuò)誤）

（3）y=（-4）x（底數(shù)錯(cuò)誤）

（4）y=x3（指數(shù)錯(cuò)誤）

（5）y=3-x

（6）y=πx（正確）

當(dāng)學(xué)生回答正確時(shí)，追問學(xué)生回答為什么不是指數(shù)函數(shù)，分別表揚(yáng)學(xué)生突破了系數(shù)、指數(shù)、底數(shù)錯(cuò)誤關(guān)卡。

接著，教師幫助學(xué)生總結(jié)判斷一個(gè)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）需滿足的條件：（1）系數(shù)為1;（2）底數(shù)a>0，且a≠1;（3）指數(shù)位置僅有自變量x。

設(shè)計(jì)意圖：例題1有利于加深學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)概念的理解與掌握，同時(shí)通過關(guān)卡這一游戲氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

三、 對(duì)象階段：利用技術(shù)，探索性質(zhì)

教師：研究函數(shù)一般從函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質(zhì)，你還記得用什么方法畫函數(shù)的圖像嗎？

學(xué)生回答：描點(diǎn)法。

教師提問：你能用描點(diǎn)法畫出指數(shù)函數(shù)y=2x的函數(shù)圖像嗎？

學(xué)生畫好圖像后，教師也用幾何畫板展示出圖像（這里可以適當(dāng)表揚(yáng)學(xué)生）

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生動(dòng)手操作，初步感知指數(shù)函數(shù)的圖像，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

教師提出問題：同學(xué)們現(xiàn)在可以根據(jù)這個(gè)特殊的函數(shù)圖像發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性嗎？

學(xué)生搖搖頭說：發(fā)現(xiàn)它在定義域上單調(diào)遞減的。

教師：除了這一點(diǎn)，別的發(fā)現(xiàn)不了對(duì)不對(duì)？回到我們指數(shù)函數(shù)的定義，同學(xué)們有沒有注意到指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是會(huì)變化的呢？

學(xué)生：對(duì)，會(huì)變化。

教師：那我們可不可以利用底數(shù)的變化來找到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)呢？其實(shí)，馬克思的辯證唯物主義思想給了我們答案。我們一起來看一下。馬克思曾說，事物的運(yùn)動(dòng)發(fā)展是變與不變的統(tǒng)一。我們要認(rèn)識(shí)與把握不變中有變，變中有不變。這個(gè)“變中有不變”即如：雖然我國成為世界第二大經(jīng)濟(jì)體，經(jīng)濟(jì)實(shí)力和綜合國力顯著增強(qiáng)，但我國仍處于并將長期處于社會(huì)主義初級(jí)階段的基本國情沒有變。所以我們?nèi)孕璨粩嗯?，不斷奮斗。那么，同學(xué)們說，我們應(yīng)如何利用“變中有不變”這一思想來發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)蘊(yùn)含的規(guī)律呢？