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      基于MATLAB軟件的周期符號(hào)糾纏函數(shù)構(gòu)造的新混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

      2017-05-17 10:29:02羅宏偉張建剛杜文舉安新磊
      關(guān)鍵詞:指數(shù)混沌平衡點(diǎn)

      羅宏偉++張建剛++杜文舉++安新磊++盧加榮

      摘要:使用周期符號(hào)函數(shù)對(duì)兩個(gè)穩(wěn)定的子系統(tǒng)進(jìn)行糾纏,構(gòu)造了一個(gè)新三維混沌控制系統(tǒng),理論分析了新三維控制系統(tǒng)的耗散性、有界性、平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分岔的條件,通過計(jì)算得到了系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的第一Lyapunov指數(shù),進(jìn)一步分析了分岔的方向和穩(wěn)定性。通過MATLAB軟件,對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬,驗(yàn)證了理論分析的正確性。

      關(guān)鍵詞:糾纏函數(shù);混沌;Hopf分岔;平衡點(diǎn);Lyapunov 指數(shù)

      中圖分類號(hào):O415.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1007-9416(2017)03-0054-04

      混沌現(xiàn)象的特征即蝴蝶效應(yīng),具有對(duì)初值敏感而表現(xiàn)出的不可預(yù)測的、類似隨機(jī)性的運(yùn)動(dòng)。自Lorenz [1]在三維自治系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)混沌吸引子以來,在過去數(shù)十年中,隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和進(jìn)步,混沌理論得到了空前發(fā)展,尤其在數(shù)學(xué)、物理及其工程實(shí)際應(yīng)用中得到極大發(fā)展,關(guān)于混沌的構(gòu)造和分析方法已經(jīng)成為最新的研究熱點(diǎn)問題[2,4,5,6]。文獻(xiàn) [7]通過構(gòu)造了一個(gè)新的混沌,文獻(xiàn)[8,9,10]利用分段技術(shù),發(fā)現(xiàn)了一些新的混沌吸引子的存在,文獻(xiàn)[11]首次提出糾纏函數(shù)的基本概念,并給出構(gòu)造混沌的基本原理,即使用糾纏函數(shù)通過對(duì)兩個(gè)或更多的線性穩(wěn)定子系統(tǒng)進(jìn)行糾纏,可產(chǎn)生混沌系統(tǒng)。構(gòu)造人工混沌在解決噪聲污染,提高天氣預(yù)測的準(zhǔn)確度,保持非線性機(jī)械系統(tǒng)穩(wěn)定性等方面有重要意義。

      本文使用周期符號(hào)函數(shù)作為糾纏函數(shù),對(duì)兩個(gè)線性子系統(tǒng)進(jìn)行糾纏,構(gòu)造出了一個(gè)新的三維混沌系統(tǒng),通過對(duì)系統(tǒng)的耗散性、有界性、平衡點(diǎn)穩(wěn)定性、Hopf分岔和Lyapunov指數(shù)等動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析,最后通過數(shù)值模擬驗(yàn)證理論的結(jié)果。

      1 系統(tǒng)描述

      考慮兩個(gè)線性子系統(tǒng),其中一個(gè)是二維系統(tǒng)

      另一個(gè)是一維系統(tǒng)

      其中是狀態(tài)變量,當(dāng)和,系統(tǒng)(1)和(2)是穩(wěn)定的,用周期符號(hào)函數(shù)糾纏以上兩個(gè)子系統(tǒng),可得如下三維控制系統(tǒng):

      3 數(shù)值仿真

      根據(jù)引理1和定理2,當(dāng),,和時(shí),平衡點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

      系統(tǒng)(3)的Lyapunov 指數(shù)可以通過文獻(xiàn)[15]提供的方法計(jì)算得到,其中Lyapunov 指數(shù),and如圖1所示,時(shí)間序列、頻譜和Poincaré 截面圖分別如圖1所示。當(dāng)和,出現(xiàn)混沌糾纏現(xiàn)象,其三維相圖,和二維相圖分別如圖2所示。 當(dāng)參數(shù)和值不變,作為變量時(shí),系統(tǒng)(3)的動(dòng)力行為如圖3所示。

      4 結(jié)語

      本文將一個(gè)周期符號(hào)函數(shù)作為糾纏函數(shù),利用混沌糾纏的基本原理,對(duì)兩個(gè)穩(wěn)定子系統(tǒng)進(jìn)行糾纏,人工構(gòu)造出一個(gè)新三維控制系統(tǒng),根據(jù)混沌系統(tǒng)的分析方法,對(duì)新三維控制系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了理論分析,結(jié)果發(fā)現(xiàn)新構(gòu)造的系統(tǒng)具有混沌的特征,并使用MATLAB軟件進(jìn)行了數(shù)值模擬,驗(yàn)證了理論分析的結(jié)果。該方法為我們解決工程中混沌問題提出來新的思路。

      參考文獻(xiàn)

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