一線串通的四道數(shù)列試題

劉凱峰 龔浩生

(1.江蘇省南通大學(xué)理學(xué)院 226007;2.北京陳經(jīng)綸中學(xué) 100020)

一、引言

無(wú)論是平時(shí)的檢測(cè)，還是關(guān)鍵性的選拔性考試，數(shù)學(xué)命題都是一項(xiàng)非常重要的工作.高質(zhì)量的、創(chuàng)新型的數(shù)學(xué)試題，旨在考查學(xué)生的基本技能和創(chuàng)新思維，體現(xiàn)了考試公平，提高了試卷的區(qū)分度，發(fā)揮了較好的選拔功能.數(shù)學(xué)命題的一個(gè)主要途徑是改造陳題.對(duì)于一個(gè)有開(kāi)發(fā)價(jià)值的陳題，我們可以通過(guò)變換、挖掘、推廣等途徑，得到一些新穎別致的新題.

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，一直是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)所在.不管在高考試題中，還是在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，總是能見(jiàn)到其身影，近年來(lái)數(shù)學(xué)高考試卷中，尤其是北京高考數(shù)學(xué)題，出現(xiàn)了不少高水平的數(shù)列題目.

二、四道數(shù)列試題的演進(jìn)

題目1(1985，美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克)在不減正整數(shù)序列a1,a2,…,am,…中，對(duì)任何正整數(shù)m，定義bm=min{n|an≥m}.已知a19=85，求S=a1+a2+…+a19+b1+b2+…+b85的最大值.

這是一道早年的美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，非常別致有趣，由一個(gè)已知數(shù)列{an}按照一定規(guī)則生成新數(shù)列{bn}，要求解題者閱讀并深入理解規(guī)則，解題受阻時(shí)及時(shí)回歸定義，這類題越來(lái)越受到關(guān)注與好評(píng).此類題難在把定義與規(guī)則轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)表達(dá)式，即數(shù)學(xué)符號(hào)、方程、不等式、函數(shù)等.題目1是后面題目2-5的母題，是一汪源頭活水.

解析首先，最大的數(shù)一定存在.由條件有a1≤a2≤…≤a19=85.猜想：極值點(diǎn)是各個(gè)ai盡可能大且各個(gè)ai相等，各個(gè)bi相等.實(shí)際上，若有aiai，所以ai+1≥ai+1.但ai

綜上，S≤19×85+1×85=1700，等號(hào)在ai=85,bi=1(1≤i≤19,1≤j≤85)時(shí)成立.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)學(xué)閱讀理解能力、調(diào)整法等數(shù)學(xué)思想方法．

題目1中的數(shù)列生成規(guī)則bm=min{n|an≥m}，該表達(dá)式是以集合及最值的形式呈現(xiàn)的抽象方程，沒(méi)有一定功底的解題者會(huì)望而生畏.題目2完全借用了題目1的生成規(guī)則.

題目2 (2009，北京高考文科)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=pn+q(n∈N*,p>0). 數(shù)列{bn}定義如下：對(duì)于正整數(shù)m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值.

(2)若p=2,q=-1，求數(shù)列{bm}的前2m項(xiàng)和公式；

(3)是否存在p和q，使得bm=3m+2(m∈N*)？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．

上面兩題中新數(shù)列中的bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值，著眼于某個(gè)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的某個(gè)下標(biāo).在此基礎(chǔ)上拓展延伸，我們?cè)O(shè)計(jì)了題目3，著眼于某些項(xiàng)對(duì)應(yīng)的多個(gè)下標(biāo)，即項(xiàng)數(shù).

題目3 (2014，“學(xué)數(shù)學(xué)”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)已知數(shù)列{an}、{bn}，對(duì)任意n∈N+，{an}中不大于n的項(xiàng)數(shù)恰為bn；{bn}中不大于n的項(xiàng)數(shù)恰為an.

(1)若a1=b1，求{an}與{bn}；

(2)若a1=b1+2014，求{an}與{bn}.

解析(1)首先，容易得到一個(gè)簡(jiǎn)單事實(shí)：{an}與{bn}均為單調(diào)遞增數(shù)列.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：an=bn=n,n=1,2,3,…

1°當(dāng)n=1時(shí)，若a1=b1=0，則{an}中不大于1的項(xiàng)至少有一項(xiàng)(a1)，從而b1≥1，這與b1=0矛盾！若a1=b1≥2，但由a1≥2及簡(jiǎn)單事實(shí){an}為單調(diào)遞增數(shù)列，{an}中沒(méi)有不大于1的項(xiàng)，從而b1=0，這與b1≥2矛盾！所以a1=b1=1.

2°假設(shè)n=k時(shí)，ak=bk=k.當(dāng)n=k+1時(shí)，下面證明：ak+1=bk+1=k+1.若ak+1≥k+2，而{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，故{an}中不大于k+1的項(xiàng)只有k項(xiàng)，即bk+1=k，但此時(shí){bn}中不大于k的項(xiàng)至少有k+1項(xiàng)(b1,b2,…,bk,bk+1)，于是ak≥k+1，這與假設(shè)ak=k矛盾！所以ak+1≤k+1.若ak+1=k，則{an}中不大于k的項(xiàng)至少有k+1項(xiàng)(a1,a2,…,ak,ak+1)，于是bk≥k+1，這與假設(shè)bk=k矛盾！所以ak+1=k+1，同理可證bk+1=k+1.即當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=bk+1=k+1.

30因此，對(duì)任意自然數(shù)n，an=bn=n成立.

點(diǎn)評(píng)本題兩個(gè)數(shù)列{an}、{bn}互相關(guān)聯(lián)，像一對(duì)孿生兄弟.我們進(jìn)一步將“對(duì)任意m∈N*，{an}中不大于m的項(xiàng)數(shù)恰為bm”中的m拓展到f(m)，設(shè)計(jì)了下面的題目4.

題目4 (2015，北京朝陽(yáng)區(qū)理科一模)若數(shù)列{an}中不超過(guò)f(m)的項(xiàng)數(shù)恰為bm(m∈N*)，則稱數(shù)列{bm}是數(shù)列{an}的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)f(m)是{an}生成{bm}的控制函數(shù)．設(shè)f(m)=m2．

(1)若數(shù)列{an}單調(diào)遞增，且所有項(xiàng)都是自然數(shù)，b1=1，求a1；

(2)若數(shù)列{an}單調(diào)遞增，且所有項(xiàng)都是自然數(shù)，a1=b1，求a1；

(3)若an=2n(n=1,2,3,…)，是否存在{bm}生成{an}的控制函數(shù)g(n)=pn2+qn+r(其中常數(shù)p,q,r∈Z)？使得數(shù)列{an}也是數(shù)列{bm}的生成數(shù)列？若存在，求出g(n)；若不存在，說(shuō)明理由.

點(diǎn)評(píng)本題第三問(wèn)兩個(gè)數(shù)列相互生成，與題目3有異曲同工之妙.并且控制函數(shù)g(n)多解.