張 穎,胡 潔
(首都師范大學物理系,北京 100048)
自從愛因斯坦預(yù)言的玻色?愛因斯坦凝聚態(tài)(Bose?Einstein condensation,BEC)于1995年首次在實驗室產(chǎn)生以來[1],超冷玻色和費米氣體已成為當代物理學中熱門研究領(lǐng)域之一.超冷原子是保持在接近絕對零度下的原子,通常低于幾十μK.冷原子物理實驗系統(tǒng)為研究凝聚態(tài)物理問題,如BEC[2-4]和超流[5]等,提供了較為理想的平臺.超流性與BEC現(xiàn)象密切相關(guān).超流體可以流過狹窄的毛細管或狹縫而不耗散能量,其剪切粘度為0.1938年,Kapitza[6]與Allen 和Misener[7]分別發(fā) 現(xiàn)液體4He的超流 性.Landau 很快解釋了這一現(xiàn)象,如果基本激發(fā)譜滿足適當?shù)臉藴剩黧w的運動就不會引起耗散,其顯著特征是線性色散,這會發(fā)生超流[2].在研究超流態(tài)時,為求解出準粒子的能譜,需要利用Bogoliubov 對體系的哈密頓量進行對角化[8].由文獻[9]可知,對于玻色子系統(tǒng),Bogoliubov 變換為雙曲變換,不再是幺正變換,這意味著對角化Bogoliubov 哈密頓量的問題,可以等價轉(zhuǎn)化成求解泡利矩陣σz乘以Bogoli?ubov 哈密頓量所對應(yīng)的本征值和本征態(tài)問題.對于簡單的能帶系統(tǒng),如只有2 條能帶,能帶之間不存在耦合,Bogoliubov 哈密頓量的對角化等價于求解一個2×2 的非厄米矩陣的對角化問題,很容易求解.然而,當體系涉及多條能帶時,能帶之間相互耦合,Bogoliubov 哈密頓量矩陣的維度變得很高,計算變得非常困難.一般而言,無法利用解析的方法精確地對角化高維度的非厄米矩陣.因此,本文研究如何對多能帶玻色系統(tǒng)做Bogoliubov 變換.
考慮一個簡單的兩能帶的玻色子體系,二次量子化后的哈密頓量為[8]
需要做Bogoliubov 變換以將體系的哈密頓量轉(zhuǎn)換至自身表象下表示.對于玻色子系統(tǒng),準粒子需要滿足對易關(guān)系,對角化Bogoliubov 哈密頓量矩陣等價于求解σz Hk的本征值問題[9].
對于2×2 的非厄米矩陣,可以通過求解其所對應(yīng)的久期方程,得到體系的能量本征值,得到超流能譜
設(shè)Ek,i對應(yīng)的本征態(tài)為ψi(k)=(ψk,ia,ψk,ib)T,其中i=1,2 分別表示體系的2 個本征態(tài).由文獻[9]可知,2 個本征態(tài)的形式分別為:
完成了Bogoliubov 哈密頓量矩陣的對角化,此時哈密頓量在自身表象中是對角矩陣,對角項為Bogoli?ubov 能量本征值,即準粒子能譜.
當體系涉及更多能帶時,Bogoliubov 哈密頓量矩陣的維度也變得更高,此時對角化矩陣有一定難度.一般而言,無法解析求解出Bogoliubov 譜,在此,引入一種微擾的方法來求解Bogoliubov 譜.將非厄米的分為2 部分其中部分可以嚴格求解出相應(yīng)的本征態(tài)和本征值,對于而言,是小量,記作微擾[13].因此,可以在的本征解的基礎(chǔ)上,將微擾的影響逐級考慮進去,從而可求得盡可能精確的近似能譜解.
式中En為體系的能量本征值分別為左右本征波函數(shù),被稱為雙正交基,其正交性和完備性分別為
結(jié)合投影算符的性質(zhì)可進一步推出
該式被稱為譜分解定理[14].
按照微擾論逐級展開的基本原理,令
并約定波函數(shù)的各高級近似解與零級近似解均正交,即
將等式(18)和(20)代入等式(9),可得
比較等式兩邊同量級項,可得出各級近似下的本征方程為:
將等式(17)分別代入等式(24)和(25)中,可得:
在此,求出了能量的各級修正.由此可知,Bogoli?ubov變換矩陣U由本征態(tài)組成,繼續(xù)求解哈密頓量對應(yīng)的本征態(tài)
利用投影算符的完備性,可將一級微擾近似波函數(shù)改寫為
將等式(30)代入式(31),可將一級近似微擾波函數(shù)表示為
將所求的一級近似微擾波函數(shù),代入能量的二級修正表達式(29)中,并結(jié)合投影算符的性質(zhì),可得出二級能量修正的簡化表示形式
綜上,準確到二級近似下,能量的本征值為
同理,可求出一級微擾近似下左本征波函數(shù)為
因此,在一級近似下,能量的左右本征波函數(shù)分別為:
得到能量En的本征態(tài)后,便可獲得Bogoliubov 變換矩陣U,進而確定玻色子場算符與準粒子算符之間的關(guān)系,將Bogoliubov 哈密頓量從玻色子場表象轉(zhuǎn)換至準粒子表象,完成Bogoliubov 變換,最終得到Bogoliubov 譜,即準粒子能譜.
在求解Bogoliubov 能譜時,對于式(1)體系的哈密頓量只保留了玻色子算符的二次項,因此,準粒子激發(fā)是具有良好定義的本征模式.在下一階計算中,只將4 個動量k1、k2、k3和k4中的任意1 個替換為零動量,得到
此時,Bogoliubov 準粒子存在相互作用,不再是具有良好定義的本征模式,將導(dǎo)致準粒子具有有限的壽命,即發(fā)生衰變.而通過對體系哈密頓量做Bogoliubov 變換得到的準粒子能譜,變換矩陣為計算準粒子的Beliaev 衰變和Landau 衰 變[15]等行為,提供了重要的物理參數(shù).
本文研究了玻色子超流問題,當體系涉及多個能帶時,提出一種非厄米矩陣微擾的方法求解Bogoliubov 能譜,同時,由近似本征波函數(shù)構(gòu)成Bogoliubov 變換矩陣,完成玻色子場表象到準粒子表象的轉(zhuǎn)換,以實現(xiàn)對體系哈密頓量的Bogoliubov變換.當考慮到玻色子場算符高階項時,準粒子數(shù)不守恒,發(fā)生衰變.準粒子的壽命決定了量子多體系統(tǒng)的許多基本性質(zhì),如輸運和熱化等,為進一步研究準粒子的其他物理性質(zhì)如衰變等,提供了盡可能精確的物理參數(shù).