莊 蘇，叢玉豪,2

（1. 上海大學(xué) 理學(xué)院，上海 200444；2. 上海海關(guān)學(xué)院，上海 201204）

可達集估計是控制理論中一個重要的研究課題，它在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如安全檢查[1]、峰間極小化[2]、參數(shù)估計[3]和具有飽和執(zhí)行器的控制系統(tǒng)[4]。系統(tǒng)的可達集是指從初始條件出發(fā)，能夠到達的所有系統(tǒng)狀態(tài)的集合。通常人們很難獲得可達集的精確特征，所以，需要確定一個能夠界定可達集的區(qū)域，并且希望這個區(qū)域能夠盡可能的小，這就是可達集估計問題。

眾所周知，在工程和實際系統(tǒng)中，一方面，由于數(shù)據(jù)變換、測量誤差、線性化近似等原因，擾動輸入現(xiàn)象是不可避免的。對于具有有界峰值擾動的系統(tǒng)，研究可達集估計問題的最新方法之一就是橢球體技術(shù)，其目的是確定包含可達集的橢球體。Boyd等[1]提出，這種橢球可以通過使用Lyapunov方法和線性矩陣不等式（LMI）技術(shù)獲得。

另一方面，在各種實際系統(tǒng)中，時滯經(jīng)常發(fā)生，它的存在可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定[5]。然而目前對于時滯系統(tǒng)可達集的研究還比較少。因此，如何找到一個盡可能小的估計來界定時滯系統(tǒng)的可達集引起了許多學(xué)者的關(guān)注[6-12]。Fridman等[6]采用Lyapunov-Razumikhin方法研究了帶有有界峰值擾動的時變時滯連續(xù)線性系統(tǒng)的可達集估計問題；Kim[7]改進了Fridman等的研究成果，通過建立適當(dāng)?shù)腖yapunov-Krasovskii泛函，提出了一個改進的可達集橢球界，其中時滯相關(guān)條件以僅涉及一個非凸參數(shù)的矩陣不等式形式給出；Zuo等[8]提出了一種用于多面體不確定系統(tǒng)可達集估計的極大Lyapunov-Krasovskii泛函方法；Nam等[9]認為時滯下限不必為零，提出利用時滯分解技術(shù)來估計可達集。

值得注意的是，上述文獻中考慮的系統(tǒng)都是連續(xù)的。實際上，隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，大多數(shù)控制工程應(yīng)用系統(tǒng)都是數(shù)字實現(xiàn)的。因此，直接對離散模型進行研究更為合理。到目前為止，對于離散時滯系統(tǒng)的可達集估計問題的研究還很少。That等[10]討論了受狀態(tài)時滯和有界擾動的線性離散系統(tǒng)的可達集有界問題，提出了一種新的極軸投影的概念；Lam等[11]研究了具有有界擾動和多重常時滯的離散多面體系統(tǒng)的可達集估計問題。但是上述結(jié)果僅僅針對開環(huán)系統(tǒng)，而對于系統(tǒng)可達集估計的控制器設(shè)計問題研究成果較少。比如，Zhang等[12]研究了具有分布時滯的連續(xù)系統(tǒng)的控制器設(shè)計問題；Chen等[13]研究了離散線性切換系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計問題，但并未考慮時滯對系統(tǒng)可達集估計的影響。但有關(guān)利用反饋控制器來研究離散變時滯系統(tǒng)的可達集估計問題還未被涉及。此外，上述文獻都假設(shè)系統(tǒng)的初始值為零，這個條件在可達集估計的過程中帶來了一些限制。

本文在有界擾動下，研究了一類變時滯離散系統(tǒng)的可達集估計和控制器設(shè)計問題，其中系統(tǒng)的初始值不再要求為零。利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法，得到界定閉環(huán)系統(tǒng)可達集的充分條件。之后，通過求解優(yōu)化問題，確定了一個盡可能小的區(qū)域來估計系統(tǒng)的可達集，最后給出兩個仿真實例驗證所得結(jié)果的有效性。

1 問題描述

考慮變時滯離散系統(tǒng)

式中：x(k)=[x1(k),x2(k),···,xn(k)]T∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；u(k)為輸入向量；A,D,B和E為適當(dāng)維數(shù)的常矩陣；τ(k)為時變時滯，且滿足0＜τm≤τ(k)≤τM，τm,τM為非負整數(shù)。

初始條件 φ(k)滿足

定義1在有界擾動下，系統(tǒng)（1）的可達集為

定義2對于矩陣P＞0，橢球的定義如下

對于系統(tǒng)（1），考慮如下形式的狀態(tài)反饋控制器

式中，K和G為待定控制器增益矩陣。

將狀態(tài)反饋控制器式（6）代入系統(tǒng)（1），可得如下閉環(huán)系統(tǒng)

定義3令，稱,λ1,λ2,···,λn是A的特征值}為矩陣A的譜半徑。若ρ(A)＜1，則稱矩陣A是Schur穩(wěn)定的。

本文的主要目的是設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)的可達集包含在橢球體中，并且橢球體盡可能小。因此，為了得到本文主要結(jié)果，首先給出引理1和引理2。

引理1[14]設(shè)V(x(k))是滿足的Lyapunov泛函，且V(x(k))＞0。若存在標(biāo)量0＜α＜1使得

2 主要結(jié)論

2.1 可達集的橢球界

本文旨在設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器（6），使得閉環(huán)系統(tǒng)（7）的可達集包含在橢球里面，并且該橢球要盡可能的小。以下定理給出系統(tǒng)（1）～（3）可達集橢球界存在的充分條件。

定理1考慮在有界峰值擾動（3）下的系統(tǒng)（7），若存在正標(biāo)量λ1,λ2,λ3,λ4，矩陣＞0，＞0，＞0，＞0,L,R及標(biāo)量0＜α＜1，滿足

其中

那么，存在狀態(tài)反饋控制器（6），使得閉環(huán)系統(tǒng)（7）的可達集包含在橢球中。

證明選取如下Lyapunov-Krasovskii泛函：

其中

定義 ΔV(x(k))為V(x(k))的向前差分，則

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那么

為了簡便，式（8）記為

運用引理1，可得

其中

若J≤0，運用Schur補引理，可得

進一步，考慮Lyapunov泛函初值V(x(0))

由條件（10）～（11）和引理2可知，

由于V2(x(k)),V3(x(k))≥0，所以V1(x(k))≤1。即，xT(k)Px(k)是橢球ε(P,1)的內(nèi)部。由此可以得出結(jié)論：系統(tǒng)（7）的可達集包含在ε(P,1)中。定理1證畢。

在狀態(tài)反饋控制器設(shè)計過程中，開環(huán)系統(tǒng)不一定穩(wěn)定，只需滿足定理1中的相關(guān)條件，就可以為系統(tǒng)設(shè)計控制器，得到穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)。

定理1中得到的條件不是LMI，因為它包含決策變量的乘積。然而，如果標(biāo)量 α是固定的，則式（9）中的條件對于矩陣變量也是線性的。

為了求解帶有參數(shù)λ1,λ2,λ3,λ4的矩陣不等式式（10），首先要將其轉(zhuǎn)化為LMIs的形式。例如，不等式可表述為線性矩陣不等式，記=diag(λ1,λ1,···,λ1)。其中被定義為一個矩陣變量，并且依賴于決策變量λ1。

系統(tǒng)（13）優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為

2.2 算法描述

定理1給出了有界擾動下閉環(huán)系統(tǒng)的可達集的界定條件，通過上述優(yōu)化方法可以對邊界橢球進行優(yōu)化。然而，定理1中的結(jié)果是一個包含非凸標(biāo)量 α?xí)r滯相關(guān)的矩陣不等式，通過固定α，可以使該問題轉(zhuǎn)化為求解線性矩陣不等式（LMI）。

為了獲得可達集的最小橢球，必須確定最優(yōu)的標(biāo)量α，這可以通過遺傳算法（GA）來實現(xiàn)。算法如下：

a. 在（0, 1）中隨機生成α，每個 α都是GA種群的一個個體；

b. 對于每個α，利用mincx. 求解包括變量的LMI優(yōu)化問題，得到最優(yōu)的；

c. 設(shè)置最大代數(shù)，如果達到該數(shù)字，則GA終止，否則，繼續(xù)GA過程；

d. 根據(jù)每個α 的適應(yīng)值，以概率選擇下一代個體；

e. 根據(jù)給定的概率對新一代進行交叉和變異操作；

3 數(shù)值算例

本節(jié)給出兩個數(shù)值實例來驗證結(jié)果的有效性。

例1考慮時滯離散系統(tǒng)（1），系統(tǒng)參數(shù)為

由定理1得到的邊界橢球以及閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)如圖1所示。由圖可見，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)包含在橢球ε(P,1)中。

圖1 可達集和橢球邊界（例1）Fig.1 Reachable set and ellipsoidal bound (Example 1)

例2 考慮時滯離散系統(tǒng)（1），系統(tǒng)參數(shù)如下：

注意到，例2中A不是Schur穩(wěn)定矩陣，因此開環(huán)系統(tǒng)的可達集不能被任何橢球體所界定。所以可以通過設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，處理閉環(huán)系統(tǒng)的可達集估計問題。

通過求解優(yōu)化問題（15），計算結(jié)果如下：

由定理1得到的橢球邊界以及閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)如圖2所示。由圖可見，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)包含在橢球ε(P,1)中。

圖2 可達集和橢球邊界（例2）Fig.2 Reachable set and ellipsoidal bound (Example 2)

4 結(jié) 論

研究了在有界峰值擾動下離散變時滯系統(tǒng)的可達集估計問題，且系統(tǒng)的初值不必為零。通過設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，將系統(tǒng)由開環(huán)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為閉環(huán)系統(tǒng)。隨后，利用Lyapunov-Krasovkii泛函方法給出了閉環(huán)系統(tǒng)可達集的橢球邊界。為了使該橢球體盡可能小，提出了優(yōu)化方法。在此過程中，采用遺傳算法求解最優(yōu)參數(shù)，數(shù)值算例驗證了本文所得結(jié)果的有效性。