考慮產(chǎn)品質(zhì)量控制的生產(chǎn)系統(tǒng)預(yù)防性維護策略聯(lián)合優(yōu)化研究

方 鵬，李 芳，劉 凡，江卓翰

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

大型機器設(shè)備工藝精密、造價高昂，如果設(shè)備發(fā)生了故障，將會產(chǎn)生高額的成本費用，增加生產(chǎn)成本。在良好的操作條件下保持生產(chǎn)，保證高質(zhì)量標(biāo)準，以及制定合理的生產(chǎn)計劃，這些對于滿足客戶需求和采用新的管理系統(tǒng)至關(guān)重要[1]。因此，需要經(jīng)常對設(shè)備進行預(yù)防性維護，這樣可以在減少故障發(fā)生的同時維持設(shè)備系統(tǒng)持續(xù)穩(wěn)定的運作，對提高產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量、降低生產(chǎn)成本具有重要的作用[2]。

在過去的幾十年中，基于時間的預(yù)防性維護研究有許多[3-5]，這些研究認為預(yù)防性維護可以降低設(shè)備發(fā)生故障的概率，減少設(shè)備因發(fā)生故障造成的損失。文獻[6]討論了一種用于制造單元的生產(chǎn)庫存控制和預(yù)防性維護策略的聯(lián)合優(yōu)化集成方法。但對設(shè)備進行周期性的預(yù)防性維護，會出現(xiàn)過度維修的情形，引起生產(chǎn)時間和生產(chǎn)材料等人力、物力的浪費[7]。因此，如何確定預(yù)防性維護的周期，避免生產(chǎn)設(shè)備出現(xiàn)故障的同時降低由于維修行為產(chǎn)生的停工損失與維修成本，成為學(xué)者們研究的方向。生產(chǎn)設(shè)備進行產(chǎn)品生產(chǎn)，在排除人工技術(shù)等外部因素的條件下，產(chǎn)品的質(zhì)量往往與設(shè)備的狀態(tài)有關(guān)。控制圖方法作為統(tǒng)計過程控制（statistical process control, SPC）實施的重要檢測手段和工具，是基于對生產(chǎn)過程中產(chǎn)品質(zhì)量的關(guān)鍵特性值進行測定、記錄和評估，繪制出相應(yīng)的產(chǎn)品質(zhì)量特性值統(tǒng)計圖，并根據(jù)假設(shè)檢驗原理對生產(chǎn)過程是否處于控制狀態(tài)進行判斷的統(tǒng)計圖形方法[8]。對于生產(chǎn)設(shè)備狀態(tài)的監(jiān)測，可以通過控制圖來進行判斷。因此，考慮控制圖監(jiān)測生產(chǎn)設(shè)備產(chǎn)品質(zhì)量與制定維護策略相結(jié)合的方法有待進一步的研究。

許多學(xué)者開始考慮生產(chǎn)設(shè)備、產(chǎn)品質(zhì)量與維護策略的結(jié)合。Ben-Daya等[9]建立控制圖和設(shè)備維修的聯(lián)合經(jīng)濟模型，用來衡量設(shè)備預(yù)防維修對質(zhì)量管理成本的影響，研究發(fā)現(xiàn)，考慮設(shè)備預(yù)防維修可以減少總的期望成本。文獻[10]提出繪制產(chǎn)品質(zhì)量的控制圖來對生產(chǎn)設(shè)備的狀態(tài)進行判斷，以此來決定采取何種預(yù)防性維修策略。文獻[11-12]提供了有關(guān)行業(yè)中預(yù)防性維修計劃和方法的文獻綜述。趙永強[13]將控制圖用來監(jiān)控設(shè)備零備件失效情況，從經(jīng)濟性角度出發(fā)，建立預(yù)防維修模型，確定控制圖的參數(shù)。張斌等[14]利用馬爾科夫鏈的方法，建立控制圖與維修的優(yōu)化模型，得出了控制圖參數(shù)和維修周期的確定方法。趙永強[15]將設(shè)備預(yù)防維修與均值控制圖結(jié)合，設(shè)置預(yù)防維修的警戒邊界，發(fā)現(xiàn)在控制圖預(yù)警區(qū)域報警時執(zhí)行預(yù)防維修的單位時間期望成本比未考慮預(yù)防維修的成本要低。成國慶等[16]提出了多設(shè)備系統(tǒng)的生產(chǎn)批量、質(zhì)量控制與預(yù)知維護聯(lián)合優(yōu)化。Khatab等[17]針對劣化制造系統(tǒng)，提出關(guān)于產(chǎn)品質(zhì)量與基于狀態(tài)維護的聯(lián)合優(yōu)化模型。周炳海等[18]針對需要實時監(jiān)控產(chǎn)品質(zhì)量與設(shè)備狀態(tài)的帶緩沖退化生產(chǎn)系統(tǒng)的設(shè)備維護問題，提出綜合考慮控制圖及緩沖區(qū)的串行生產(chǎn)系統(tǒng)維護建模方法。Pasha等[19]在Ben-Daya和Rahim模型的基礎(chǔ)上，采用了降低綜合危害程序的方法，將檢查間隔確定為一種保守的策略，進行算例分析。

上述研究涉及控制圖與預(yù)防性維修的結(jié)合，但對控制圖不完美檢測的情形未深入考慮?？刂茍D在監(jiān)控過程中可能出現(xiàn)“誤報警”與“漏報警”，忽略這樣的情況會使控制圖發(fā)出錯誤的預(yù)防維修信號，造成不必要的損失。李春發(fā)等[20]提出基于不完美監(jiān)測下的控制圖結(jié)果，依據(jù)更換過程理論制定維修策略，建立模型。本文在此基礎(chǔ)上，采用均值控制圖對產(chǎn)品質(zhì)量進行監(jiān)控，根據(jù)控制圖的報警信息與預(yù)防性維護周期采取相應(yīng)的設(shè)備更新策略，以此建立聯(lián)合費用模型。本文對考慮產(chǎn)品質(zhì)量控制的生產(chǎn)系統(tǒng)預(yù)防維護策略進行研究，分析了控制圖延時報警與異常報警下的情況，將實際可能出現(xiàn)的異常狀況納入考慮范圍，具有現(xiàn)實的指導(dǎo)意義，對生產(chǎn)控制、降低費用、分析設(shè)備異常情況具有借鑒作用。

1 問題描述

設(shè)備在生產(chǎn)產(chǎn)品過程中會存在控制中和失控狀態(tài)，設(shè)備系統(tǒng)處于失控狀態(tài)時往往不能立即反映出來被直接觀察到，但會引起產(chǎn)品質(zhì)量特性均值的異常偏移，因此可以通過均值控制圖來對產(chǎn)品質(zhì)量進行監(jiān)控。假設(shè)產(chǎn)品的質(zhì)量特性服從正態(tài)分布，控制圖會對生產(chǎn)過程中出現(xiàn)的異常狀況進行報警。如果未報警，那么在設(shè)備運行T時間后進行預(yù)防性維護，對生產(chǎn)系統(tǒng)進行更新；反之，控制圖在T時刻前報警，則立即檢測設(shè)備系統(tǒng)狀況。假設(shè)檢測過程十分準確且高效，檢測發(fā)現(xiàn)是誤報警，則對設(shè)備進行最小維護，保持原樣不更新設(shè)備，假設(shè)最小維護時間忽略不計；檢測發(fā)現(xiàn)是機器設(shè)備內(nèi)部故障，則采取故障維修，設(shè)備恢復(fù)如新。

采取均值控制圖監(jiān)控，當(dāng)系統(tǒng)過程處于控制中狀態(tài)時，產(chǎn)品質(zhì)量特性X～(μ,σ2)；當(dāng)系統(tǒng)過程處于失控狀態(tài)時，產(chǎn)品質(zhì)量特性X會發(fā)生異常偏移，即X～(μ+δσ,σ2)。其中，δ表示過程偏移σ的平均偏移量，反映了偏移的程度。因此，整個更新過程是由設(shè)備到達預(yù)防性維護時間點進行更新和均值控制圖正確報警進行維修更新決定的，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)更新情景Fig.1 System update scenario

圖中：情形S1表示在運行時間T內(nèi)控制圖未出現(xiàn)報警或者控制圖報警都是誤報警，此時系統(tǒng)在運行T時間后的預(yù)防維護時間點更新；情形S2表示在運行時間t時刻系統(tǒng)出現(xiàn)異常，時刻t處于第i到第i+1次抽樣檢測期間，而在第j次抽樣時控制圖才正確報警，因此系統(tǒng)在第j次抽樣后進行故障維修更新設(shè)備；情形S3表示在運行時間T內(nèi)控制圖漏報警，而實際上系統(tǒng)在t時刻已經(jīng)出現(xiàn)了異常，系統(tǒng)在運行T時間后的預(yù)防維護時間點進行故障維修更新設(shè)備。

假設(shè)每次更新過后設(shè)備系統(tǒng)都恢復(fù)如新，將整個更新過程看成一個周期，管理費用忽略不計。以更新周期內(nèi)的單位時間期望總費用最低為目標(biāo)建立模型，確定合適的預(yù)防維護時間間隔T以及控制圖的參數(shù)設(shè)置。

2 符號描述及假設(shè)

2.1 符號描述

基本符號描述如表1所示。

表1 相關(guān)符號描述Tab.1 Related symbol description

2.2 假設(shè)

假設(shè)1更新時間內(nèi)會針對不同的情形采用最小化維護、預(yù)防性維護和故障維修3種維護策略。由于最小化維護是諸如加潤滑油等維護行為，不改變設(shè)備狀態(tài)，因此假設(shè)最小化維護時間忽略不計。

假設(shè)2假設(shè)控制圖報警會立即監(jiān)測判斷設(shè)備狀態(tài)，監(jiān)測時間忽略不計。

假設(shè)3系統(tǒng)發(fā)生異常時的概率密度函數(shù)已知，表達式為f(t)=λe-λt，t∈[0,T]。

3 模型建立

根據(jù)以上描述的3種更新情形建立均值控制圖監(jiān)測與預(yù)防維護策略相結(jié)合的聯(lián)合優(yōu)化模型，對依據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量繪制的均值控制圖、更新周期內(nèi)的期望時間和期望費用分別進行描述。

3.1 均值控制圖

系統(tǒng)生產(chǎn)過程中采用控制圖進行監(jiān)控，根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量繪制均值控制圖。假設(shè)設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量特性服從正態(tài)分布，即產(chǎn)品質(zhì)量特性。系統(tǒng)正常時μ=μ0，σ=σ0；系統(tǒng)出現(xiàn)異常時μ=μ0+δσ，σ=σ0，此時，質(zhì)量均值漂移量為δ。均值控制圖的上限和下限分布表示為

當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量特性均值介于控制界限內(nèi)時（即XLCL≤≤XUCL），系統(tǒng)處于控制中狀態(tài)，系統(tǒng)正常運行；當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量特性均值超過控制界限時（即≥XUCL或≤XLCL），系統(tǒng)處于失控狀態(tài)，需要進行維護更新。其中，控制圖正確報警的情景如圖2所示。

圖2 控制圖正確報警情景Fig.2 Correct alarm scenario of control chart

樣本均值為，定義為。控制圖在監(jiān)測過程中可能會存在誤報或者未能監(jiān)測出設(shè)備狀態(tài)的情形，即稱為“誤報警”與“漏報警”。設(shè)控制圖出現(xiàn)誤報警的概率為α，控制圖出現(xiàn)漏報警的概率為β，則它們分別表示為[21]

3.2 更新周期內(nèi)的期望時間和期望費用

導(dǎo)致系統(tǒng)更新的情形有S1，S2，S3這3種情況，因此需要分別計算3種情形下的期望時間和期望費用。各種情形下的更新周期期望時間包括系統(tǒng)運行時間和維護時間，更新周期期望費用包括樣本抽樣費用、維修費用、質(zhì)量損失費用和停機損失費用，以此建立單位時間期望費用模型。預(yù)防性維護周期定義為T，抽樣時間間隔為h，故預(yù)防維護周期內(nèi)的最大抽樣次數(shù)為m（m=[T/h]，[]表示對式子取整）。

a.S1情形下的期望時間和期望費用。

S1發(fā)生即為在預(yù)防維護時間點T之前未出現(xiàn)系統(tǒng)異常，則S1出現(xiàn)的概率表示為

S1情形下的期望時間包括正常運行時間和預(yù)防性維護時間，表示為

S1情形下的期望費用包括樣本抽樣費用、預(yù)防維護費用、質(zhì)量損失費用和停機損失費用，表示為其中，質(zhì)量損失費用包括系統(tǒng)運行的損失費用和誤報警造成的損失費用，而誤報警發(fā)生的次數(shù)為。TARL0=1/α，表示控制中狀態(tài)下平均運行時間。

b.S2情形下的期望時間和期望費用。

情形S2表示在運行時間t時刻系統(tǒng)出現(xiàn)異常，時刻t處于第i到第i+1次抽樣檢測期間，而在第j次抽樣時控制圖才正確報警，故系統(tǒng)在第j次抽樣后更新。該情形下確定會出現(xiàn)正確報警，計算出現(xiàn)正確報警的概率為1-βm，則S2的發(fā)生概率為

S2情形下的期望時間包括正常運行時間、失控狀態(tài)下的運行時間和故障維修時間，表示為

式中，Tin(2)為正常運行時間，已知系統(tǒng)的失控時間服從指數(shù)分布F(t)，且S2情形下失控時間在T時間內(nèi)發(fā)生，故Tin(2)的表達式為

Tout(2)為失控狀態(tài)下的運行時間且失控狀態(tài)被監(jiān)測，則Tout(2)的表達式為

式中，TARL1=1/β，是失控狀態(tài)下的平均運行時間。

S2情形下的期望時間為

S2情形下的期望費用包括樣本抽樣費用、故障維修費用、質(zhì)量損失費用和停機損失費用。其中樣本抽樣次數(shù)由運行時間決定，質(zhì)量損失費用包括正常運行時的質(zhì)量損失費用、失控狀態(tài)下系統(tǒng)運行的質(zhì)量損失費用以及誤報警損失費用，該情形下誤報警只會出現(xiàn)在系統(tǒng)異常失控時刻t前的樣本抽樣中。故期望費用表示為

c.S3情形下的期望時間和期望費用。

情形S3表示系統(tǒng)在t時刻已經(jīng)出現(xiàn)了異常，但在運行時間T內(nèi)控制圖漏報警，則系統(tǒng)在運行T時間后進行故障維修。該情形下系統(tǒng)漏報警，計算漏報警的概率為βm，則S3發(fā)生的概率為

S3情形下的期望時間包括正常運行時間、失控狀態(tài)下運行時間和故障維修時間。其中由于系統(tǒng)失控狀態(tài)未被控制圖監(jiān)測出來，在t時刻出現(xiàn)異常后系統(tǒng)出現(xiàn)失控直到T時刻采取預(yù)防性維護進行更新。設(shè)Tin(3)和Tout(3)分 別代表了S3情形下系統(tǒng)的正常運行時間和失控狀態(tài)下的運行時間，則Tin(3)與Tout(3)的表達式分別為

因此，此時的期望時間為

S3情形下的期望費用包括樣本抽樣費用、故障維修費用、質(zhì)量損失費用和停機損失費用。期望費用表示為

3.3 更新周期內(nèi)的單位時間期望總費用

綜合考慮3種情形，根據(jù)更新周期內(nèi)的單位時間期望總費用最小來建立模型，以此來確定預(yù)防維護時間點T以及控制圖的參數(shù)n，h，k。模型表示為

為了得到合適的控制圖參數(shù)設(shè)置與預(yù)防維護間隔期，使更新周期內(nèi)的單位時間期望總費用最小，其目標(biāo)函數(shù)為minE(C,T)(n*,k*,h*,T*)。由于目標(biāo)函數(shù)存在多個變量，無法用常規(guī)方法直接求解得到最優(yōu)值，因此需要借助算法工作求解。

4 模型求解算法

差分進化(differential evolution, DE)算法是一種高效的群智能優(yōu)化算法。本文的目標(biāo)是獲得決策變量n,k,h,T的最優(yōu)解，以求得最小的單位時間期望總費用E(C,T)，圖3為差分進化算法流程圖。算法中的X= (n,k,h,T)是一個四維解向量。

圖3 差分進化算法流程圖Fig. 3 Flow chart of differential evolution algorithm

該模型具體進化求解過程如下：

a. 確定差分進化算法控制參數(shù)。其中控制參數(shù)設(shè)置為種群大小NP、進化代數(shù)g、縮放因子F與交叉概率CR。

b. 隨機產(chǎn)生初始種群。初始種群為一個n維參數(shù)矢量，表示為(i=1,2,···,NP)，其中NP為種群大小，n為決策變量的個數(shù)。

c. 對初始種群進行評價，計算初始種群中每個個體的適應(yīng)度值。

d. 判斷是否達到終止條件或進化代數(shù)達到最大。若是，則終止進化，將得到的最佳個體作為最優(yōu)解輸出；若否，繼續(xù)步驟e。

e. 進行變異和交叉操作，得到2NP個新的個體。變異操作，隨機選取種群中兩個不同的個體，將其向量差縮放后與待變異的個體進行向量合成。對于目標(biāo)個體，對應(yīng)的變異矢量表示為。其中，F(xiàn)為縮放因子，r1，r2，r3為互不相同的個體索引，隨機取自于種群集。

交叉操作，將當(dāng)前個體與選擇操作生成的n個個體組成小種群，對其中隨機的一個個體進行交叉，按照式（20）生成實驗個體,，表示為

式中：j=1,2,···,n,randj為[0,1]間的隨機數(shù)；CR為交叉概率；randi∈(1,2,···,n)是隨機選取的變量索引，確保有一維變量由變異變量貢獻。

f. 將原種群和2NP個新的個體中通過適應(yīng)度值排序，選取NP個最優(yōu)的個體，得到新一代種群，更新種群最優(yōu)解。

g. 進化代數(shù)g=g+1，轉(zhuǎn)步驟d。

5 算例分析

已知某企業(yè)以速率D滿足恒定且連續(xù)的產(chǎn)品需求，其產(chǎn)品質(zhì)量特性X服從正態(tài)分布，即；當(dāng)設(shè)備部件出現(xiàn)異常時，X的均值偏移量為δ=1.2而標(biāo)準差不變，整個過程通過均值控制圖進行監(jiān)控。假設(shè)該設(shè)備出現(xiàn)故障的時間服從指數(shù)分布，故障發(fā)生的概率密度函數(shù)為f(x)=0.05e-0.05x，其余的相關(guān)參數(shù)分別為T1=1.5 h，T2=3 h，cα=10元/次，c1=800元/次，c2=1 500元/次，cq=25元/個，cl1=20元/h，cl2=45元/h，cd=800元/h，cs=25元/（個·h-1），D=20個/h。參數(shù)設(shè)置為：種群大小NP=20、進化代數(shù)g=300、縮放因子F=0.5、交叉概率CR=0.9。利用差分進化算法在Matlab中求解。

5.1 算例結(jié)果及對比

經(jīng)過差分進化算法求解，最優(yōu)解趨于穩(wěn)定，最后目標(biāo)函數(shù)值最小時的最優(yōu)預(yù)防性維護間隔和控制圖參數(shù)結(jié)果如表2所示。

表2 最優(yōu)化參數(shù)結(jié)果Tab.2 Optimal parameter results

由表2的結(jié)果可以得知，預(yù)防性維護周期為198.73 h，即控制圖未監(jiān)測出異常的維護時間間隔。系統(tǒng)運行198.73 h后，即使沒有出現(xiàn)故障也要進行預(yù)防性維護，讓設(shè)備恢復(fù)如新。每次控制圖抽檢樣本量為15個，抽樣間隔時間為19.43 h，控制圖的控制系數(shù)為2.03。

為考慮結(jié)果的精確性，將相同的數(shù)據(jù)分別利用差分進化算法和傳統(tǒng)的遺傳算法進行計算，發(fā)現(xiàn)差分進化算法計算的結(jié)果有更好的收斂性，如圖4所示；而遺傳算法的結(jié)果容易陷入局部最優(yōu)，如圖5所示。圖中，橫坐標(biāo)g為迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)為單位時間期望總費用。

圖4 差分進化算法結(jié)果收斂圖Fig.4 Differential evolution algorithm results convergence graph

圖5 遺傳算法結(jié)果收斂圖Fig.5 Genetic algorithm results convergence graph

5.2 靈敏度分析

為研究各參數(shù)對控制圖參數(shù)n，h，k與預(yù)防維護時間T以及系統(tǒng)更新周期內(nèi)的單位時間期望費用E(C,T)的影響，對參數(shù)δ，c1，c2，cq，cl1，cl2，cd，cs，T1，T2進行靈敏度分析。參數(shù)水平如表3所示，選用正交表得到的16次實驗安排如表4所示，利用差分進化算法求解的結(jié)果記錄在表5中。

表3 參數(shù)水平Tab.3 Parameters

表4 實驗安排Tab.4 Experimental arrangement

表5 實驗計算結(jié)果Tab.5 Experimental calculation results

根據(jù)Matlab得出的以上計算結(jié)果，利用Minitab軟件對響應(yīng)變量E(C,T)進行回歸分析(a=0.05),得到的方差分析如表6所示，系數(shù)顯著性檢驗結(jié)果如表7所示。

表6 回歸方差分析Tab.6 Regression analysis of variance

表7 回歸系數(shù)顯著性檢驗Tab.7 Regression coefficient significance test

根據(jù)表6的方差分析結(jié)果可知，其P值為0，說明建立的模型有效，即存在參數(shù)對模型有顯著影響。進一步由表7可知，δ和cl2兩個參數(shù)的P值是0，說明對E(T,C)有十分顯著的影響。其中，δ表現(xiàn)為負面影響，cl2表現(xiàn)為正面影響，即E(C,T)隨著 δ的增大而減小，隨著cl2的增大而增大。其次，c1，c2，cq，cl1和cs的P值均在(0,0.05)區(qū)間內(nèi)，說明它們對E(C,T)影響顯著，并且都表現(xiàn)為正影響。其余參數(shù)的P值都大于0.05，說明它們對E(C,T)無顯著影響。

通過靈敏度分析表明，系統(tǒng)異常時的過程質(zhì)量特性均值偏移量 δ對單位時間期望總費用E(C,T)具有十分顯著的負向影響。這是由于均值偏移量 δ越大，控制圖越容易監(jiān)測出系統(tǒng)的異常狀況，從而減少系統(tǒng)失控運行的時間，降低費用。在質(zhì)量損失方面，無論是受控時的單位損失費用cl1，還是失控時的單位損失費用cl2，都對E(C,T)有顯著的正向影響。另外，樣本抽樣費用和單位缺貨費用對E(C,T)也有顯著影響。因此，在保證生產(chǎn)質(zhì)量和交貨時間的前提下，應(yīng)注意優(yōu)化設(shè)備的質(zhì)量管理水平。

6 結(jié) 論

利用均值控制圖對生產(chǎn)產(chǎn)品質(zhì)量進行監(jiān)控，根據(jù)控制圖以及預(yù)防性維護周期決定設(shè)備更新，考慮控制圖出現(xiàn)“誤報警”和“漏報警”的可能性，在單位時間期望總費用最小的前提下，建立控制圖與預(yù)防性維護的聯(lián)合模型。利用差分進化算法進行求解，通過實例分析驗證了產(chǎn)品質(zhì)量與預(yù)防性維護聯(lián)合模型的可行性，并且通過算法對比，得出差分進化算法結(jié)果的準確性。通過靈敏度分析確定了對單位時間期望費用E(C,T)具有顯著影響的因素，對指導(dǎo)企業(yè)優(yōu)化經(jīng)濟指標(biāo)具有參考價值。古典的維修模型多是根據(jù)時間來確定維修策略，本文通過產(chǎn)品質(zhì)量將設(shè)備狀態(tài)聯(lián)系起來，建立聯(lián)合維修策略，為復(fù)雜設(shè)備的生產(chǎn)、維護和質(zhì)量的結(jié)合提供一定的理論依據(jù)。但通過均值控制圖只能片面地反映出生產(chǎn)設(shè)備的狀態(tài)，為了全面掌握產(chǎn)品質(zhì)量與系統(tǒng)狀態(tài)的聯(lián)系，可以結(jié)合方差等監(jiān)控對象，進一步深入研究。