黃自鑫，秦翔宇，王樂君

1. 武漢工程大學(xué)電氣信息學(xué)院，湖北 武漢430205；2. 中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）自動化學(xué)院，湖北 武漢430074

非完整系統(tǒng)是指一類具有非完整約束的非線性系統(tǒng)［1］，非完整約束可分為一階非完整系統(tǒng)和二階非完整系統(tǒng)［2］。欠驅(qū)動連桿機(jī)械系統(tǒng)是一類驅(qū)動關(guān)節(jié)個數(shù)少于系統(tǒng)自由度個數(shù)的非線性系統(tǒng)［3-4］，即系統(tǒng)的控制輸入維數(shù)少于系統(tǒng)位形空間的維數(shù)［5］。其中，主要研究對象為垂直欠驅(qū)動連桿系統(tǒng)（含重力）［6］和平面欠驅(qū)動連桿系統(tǒng)（不含重力）［7-8］。近年來，國內(nèi)外學(xué)者針對垂直欠驅(qū)動機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行了廣泛的研究。與垂直欠驅(qū)動系統(tǒng)相比，平面欠驅(qū)動機(jī)械系統(tǒng)的任意可達(dá)位置均為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，且該類系統(tǒng)的近似模型不滿足線性可控條件［9］，無法采用垂直欠驅(qū)動系統(tǒng)的控制方法實(shí)現(xiàn)其穩(wěn)定控制。

其中，針對平面三連桿欠驅(qū)動機(jī)械系統(tǒng)，主要依據(jù)欠驅(qū)動關(guān)節(jié)的位置進(jìn)行分類研究。首關(guān)節(jié)為欠驅(qū)動的平面三連桿系統(tǒng)是一階非完整系統(tǒng)，文獻(xiàn)［10］提出一種基于模型降階的位置控制方法，將原系統(tǒng)分段降階為兩個平面虛擬Acrobot 系統(tǒng)，并依據(jù)平面Acrobot 系統(tǒng)的角度約束關(guān)系進(jìn)行有效控制。末關(guān)節(jié)為欠驅(qū)動的平面三連桿系統(tǒng)是二階非完整系統(tǒng)，文獻(xiàn)［11］將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為鏈?zhǔn)揭?guī)范型，設(shè)計(jì)控制器進(jìn)行控制。而對中間關(guān)節(jié)為欠驅(qū)動的平面三連桿系統(tǒng)，文獻(xiàn)［12］提出一種末端滑?？刂频姆椒?，當(dāng)欠驅(qū)動關(guān)節(jié)的速度小于設(shè)置閾值時被鎖住，將系統(tǒng)控制到目標(biāo)位置，該方法使被控對象不再具有欠驅(qū)動特性?；谏鲜龇治觯槍χ虚g關(guān)節(jié)為欠驅(qū)動的平面三連桿系統(tǒng)的位置控制是一個開放的問題。

本文針對中間關(guān)節(jié)為欠驅(qū)動的平面三連桿系統(tǒng)（簡稱平面APA系統(tǒng)），提出一種模型降階的分段控制策略，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)位置控制目標(biāo)。首先，控制第一連桿到達(dá)目標(biāo)位置，并控制第三連桿角度和角速度為零，使系統(tǒng)降階為平面虛擬Pendubot。其次，基于平面Pendubot 冪零近似特性，設(shè)計(jì)一個周期性開環(huán)迭代控制器，使平面虛擬Pendubot 兩連桿的角速度為0 的同時，第一連桿回到目標(biāo)位置，使原系統(tǒng)降階為所有連桿初始角速度為零的平面虛擬Acrobot。根據(jù)平面Acrobot 的運(yùn)動狀態(tài)約束關(guān)系，以及系統(tǒng)末端點(diǎn)坐標(biāo)位置和連桿之間的約束關(guān)系，利用粒子群優(yōu)化算法計(jì)算第二連桿和第三連桿目標(biāo)角度。最后，針對第三連桿控制目標(biāo)設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)平面虛擬Acrobot 的控制目標(biāo)，從而實(shí)現(xiàn)平面APA系統(tǒng)的控制目標(biāo)。

1 系統(tǒng)建模

平面APA系統(tǒng)的模型如圖1 所示。圖中，mi為第i(i= 1,2,3 )桿的質(zhì)量，Li為i桿的長度，Lci為i桿的質(zhì)心到前一關(guān)節(jié)的長度，Ji是i桿的轉(zhuǎn)動慣量。

根據(jù)歐拉-拉格朗日法建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程為：

如圖1 所示，設(shè)欠驅(qū)動關(guān)節(jié)的位置為(XP,YP)，則欠驅(qū)動關(guān)節(jié)與系統(tǒng)末端點(diǎn)的幾何約束關(guān)系為：

圖1 平面APA 系統(tǒng)Fig. 1 Planar APA system

其中，XP= -sinq1L1，YP= cosq1L1，θP=q1+q2。

2 平面虛擬Pendubot控制

將平面APA系統(tǒng)降階為平面虛擬Pendubot，并實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動關(guān)節(jié)位置控制目標(biāo)。

2.1 第一連桿目標(biāo)角度求解

根據(jù)系統(tǒng)的目標(biāo)位置來求解系統(tǒng)第一連桿的目標(biāo)角度。 以平面APA系統(tǒng)目標(biāo)位置為圓心(xd,yd)，平面虛擬Acrobot 兩連桿桿長之和為半徑，構(gòu)建一個圓C1；以平面APA系統(tǒng)首關(guān)節(jié)為圓心，平面虛擬Pendubot 驅(qū)動連桿桿長為半徑，構(gòu)建另一個圓C2；可得：

圓C1與圓C2的交點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)為欠驅(qū)動關(guān)節(jié)目標(biāo)范圍的極限位置。欠驅(qū)動連桿目標(biāo)角度的范圍在qd1∈[ arctan (y1/x1), arctan(y2/x2)] 內(nèi)就能保證平面APA系統(tǒng)末端點(diǎn)目標(biāo)位置在幾何可達(dá)范圍內(nèi)。

2.2 原系統(tǒng)降階為平面虛擬Pendubot

控制第一連桿達(dá)到目標(biāo)角度，同時控制第三連桿的角度和角速度為零。

根據(jù)控制目標(biāo)和平面APA系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程［10］，構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)V1( )

x：

其中，e1和e2為正數(shù)。

當(dāng)連桿狀態(tài)滿足條件S1時，平面APA系統(tǒng)被降階為一個欠驅(qū)動關(guān)節(jié)速度不為零的平面虛擬Pendubot。因此，需要對平面虛擬Penduobt進(jìn)行穩(wěn)定控制。

2.3 平面虛擬Pendubot穩(wěn)定控制

為維持第二連桿與第三連桿為一根虛擬連桿，τ3持續(xù)保持式（10）對第三連桿持續(xù)進(jìn)行控制作用。

基于以上分析，可得平面虛擬Pednubot 的部分反饋線性化形式為：

式中，N= (m2+m3)L1Lc1/(J?2+ (m2+m3)(Lc2+Lc3)2)。

模糊規(guī)則如表1 所示。

表1 模糊控制規(guī)則Tab. 1 Rules of fuzzy control

將系統(tǒng)總輸出乘以比例因子Γ=kout·η代入開環(huán)迭代鎮(zhèn)定控制器中。經(jīng)過鎮(zhèn)定控制的平面虛擬Pendubot 達(dá)到控制目標(biāo)時可以進(jìn)行切換。定義切換條件S3為：

當(dāng)平面APA系統(tǒng)連桿的狀態(tài)滿足切換條件S3時，就可以被降階為初始速度為零的平面虛擬Acrobot。

3 平面虛擬Acrobot控制

根據(jù)平面虛擬Acrobot 驅(qū)動連桿與欠驅(qū)動連桿的角度約束關(guān)系設(shè)計(jì)穩(wěn)定控制器。根據(jù)平面虛擬Acrobot 的位置控制目標(biāo)和幾何約束關(guān)系，利用粒子群優(yōu)化算法獲得對應(yīng)兩桿的目標(biāo)角度。

3.1 平面虛擬Acrobot模型

3.2 基于粒子群算法的目標(biāo)角度求解

根據(jù)平面虛擬Acrobot 的位置控制目標(biāo)，用粒子群算法［15］進(jìn)行計(jì)算其目標(biāo)角度。目標(biāo)函數(shù)可以定義為：

式中，(xd,yd)為平面虛擬Acrobot 的末端點(diǎn)目標(biāo)位置，P(X,Y)為系統(tǒng)末端點(diǎn)位置，由式（2）計(jì)算可得。求解目標(biāo)角度的算法步驟如下：

Step1：初始化粒子的初始位置與初始速度；

Step2：根據(jù)式（2）和式（35）計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)h；

Step3：當(dāng)h( · )≤e3時，可得第三桿目標(biāo)角度，否則，轉(zhuǎn)到第二步；

Step4：將第三桿目標(biāo)角度代入根據(jù)角速度約束關(guān)系，求出欠驅(qū)動連桿的目標(biāo)角度。

3.3 平面虛擬Acrobot系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)控制目標(biāo)，構(gòu)造Lyapun ov 函數(shù)V2(x)：

依據(jù)LaSalle 不變原理，可得xi→qid，xi+3→0。則式（37）能實(shí)現(xiàn)平面虛擬Acrobot 的控制目標(biāo)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)研究

利用MATLAB 數(shù)值計(jì)算工具驗(yàn)證提出的控制策略的有效性，平面APA系統(tǒng)的模型參數(shù)如表2所示。

表2 平面APA 系統(tǒng)模型參數(shù)Tab. 2 Model parameters of planar APA system

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為：

如圖2 所示，角度、角速度都收斂到目標(biāo)狀態(tài)，末端點(diǎn)也穩(wěn)定到目標(biāo)位置。系統(tǒng)驅(qū)動桿的驅(qū)動力矩始終保持在20 N·m 以內(nèi)，力矩較小。在13.17 s時，系統(tǒng)從第一階段切換到第二階段；在23.67 s時，系統(tǒng)從第二階段切換到第三階段；在33.79 s時，系統(tǒng)各連桿均到達(dá)目標(biāo)角度，從而平面APA系統(tǒng)末端點(diǎn)也到達(dá)目標(biāo)位置。

圖2 仿真結(jié)果：（a）角度，（b）角速度，（c）控制力矩，（d）位置Fig. 2 Simulation results：（a）angle，（b）angular velocity，（c）control torque，（d）position

5 結(jié) 論

針對平面APA系統(tǒng)末端點(diǎn)位置控制問題，本文提出了一種基于模型降階的控制策略。將平面APA系統(tǒng)末端點(diǎn)位置控制問題轉(zhuǎn)化為平面虛擬Pendubot 的穩(wěn)定控制問題和平面虛擬Acrobot 的位置控制問題。首先，基于開環(huán)迭代控制實(shí)現(xiàn)平面虛擬Pendubot 的穩(wěn)定控制。其次，針對平面虛擬Acrobot，借助角度約束關(guān)系，采用粒子群算法計(jì)算各連桿角度，直接控制驅(qū)動連桿到達(dá)目標(biāo)角度，并間接實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動連桿的控制角度目標(biāo)，并最終實(shí)現(xiàn)平面APA系統(tǒng)末端點(diǎn)位置控制。