張德琪,沈景鳳,陳俊豪
(200093 上海市 楊浦區(qū) 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院)
超聲振動(dòng)加工技術(shù)是一種重要的特種加工技術(shù),在航天領(lǐng)域、國(guó)防領(lǐng)域以及醫(yī)療等領(lǐng)域發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用,解決了許多難加工材料的精密加工問(wèn)題[1]。超聲波振動(dòng)系統(tǒng)一般由超聲波發(fā)生器、換能器、變幅桿和加工工具組成。由于換能器端面上的振幅微小于10μm,需要在換能器端面連接變幅桿,以實(shí)現(xiàn)振幅放大。變幅桿是超聲振動(dòng)系統(tǒng)中最為重要的組成部分,合適的變幅桿可以顯著提高加工效率與加工工件質(zhì)量。變幅桿一般有單一型和復(fù)合型兩種類型[2]。在高強(qiáng)度超聲加工工藝中,往往要求變幅桿末端必須具有較大的振幅,而變幅桿的形狀因素和放大系數(shù)是影響振幅的主要因素,所以要求這兩個(gè)值越大越好,而單一變幅桿一般此優(yōu)彼劣,很難二者兼顧,因此需使用各種復(fù)合型或者形狀復(fù)雜程度高的變幅桿。目前,由多種母線組合而成的復(fù)合型變幅桿在精確設(shè)計(jì)及工作穩(wěn)定性方面仍存在較多缺陷[3]。本文基于波動(dòng)理論來(lái)設(shè)計(jì)加工圓錐型復(fù)合變幅桿,并導(dǎo)入SolidWorks 中進(jìn)行有限元分析,利用優(yōu)化算例可以較好地改善以往由多種母線組合而成的復(fù)合型變幅桿在設(shè)計(jì)和工作方面的不足。
變幅桿根據(jù)不同的分類方法可以分成圖1 所示的類型。
圖1 變幅桿分類圖Fig.1 Classification of horns
變幅桿是組成超聲振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)的關(guān)鍵部件,由于換能器產(chǎn)生的振幅特別小,一般在幾微米左右,但超聲加工需要幾十微米的幅度,所以需要變幅桿將振幅放大,完成加工[4]。變幅桿的作用有負(fù)載阻抗匹配和聚能。作為負(fù)載時(shí),將振動(dòng)的機(jī)械能傳遞給工具,最終工具迫使工件振動(dòng),從而完成去除材料的加工;作為聚能作用時(shí),能量密度和振幅存在式(1)的關(guān)系:
式中:K——常數(shù);J——能量密度;A——振動(dòng)的幅度。由此定性分析二者關(guān)系,變幅桿振動(dòng)幅度與面積大小成反比,所以變幅桿一般為上面直徑大、下面直徑小的結(jié)構(gòu),同理,圓柱結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)振動(dòng)等幅度傳遞。
1.2.1 理論分析
國(guó)內(nèi)目前對(duì)于變幅桿的設(shè)計(jì)理論大多都是建立振動(dòng)方程,利用一些邊界條件求解出變幅桿的頻率方程,這樣計(jì)算出的變幅桿結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,但是當(dāng)改變變幅桿一些結(jié)構(gòu)時(shí)對(duì)變幅桿的影響較大,沒(méi)法計(jì)算改變結(jié)構(gòu)后的具體數(shù)據(jù)。針對(duì)這種情況,本文采用了先用變幅桿理論計(jì)算出具體數(shù)據(jù),然后用SolidWorks 建立模型,并建立與實(shí)際一樣的三維模型,包括螺紋孔。利用SolidWorks 的優(yōu)化算例,分析出比較合理的尺寸分布,最后通過(guò)諧響應(yīng)分析得到優(yōu)化后的變幅桿,完成優(yōu)化設(shè)計(jì)。
根據(jù)設(shè)計(jì)旋轉(zhuǎn)超聲振動(dòng)電加工機(jī)床的需求,決定采用圓錐復(fù)合型變幅桿,這種變幅桿放大性能好,工作穩(wěn)定,受力狀況好。下面簡(jiǎn)單闡述圓錐復(fù)合變幅桿的理論計(jì)算[5]。
如圖2 所示,以圓錐復(fù)合變幅桿大端與圓錐交界處為節(jié)點(diǎn)位置,建立坐標(biāo)軸,將變幅桿大端、過(guò)渡部分和小端分別稱作第1、2 和3 部分。假設(shè)變幅桿為理想狀態(tài),則振動(dòng)方程為
圖2 圓錐復(fù)合變幅桿Fig.2 Cone composite horn
式中:ξ——質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù);k——圓波數(shù);S——截面積。
由于設(shè)計(jì)的變幅桿為半波長(zhǎng)類型,所以k=k,根據(jù)振動(dòng)方程可以得到圓錐復(fù)合變幅桿的小端質(zhì)點(diǎn)位移分布函數(shù)
中間圓錐過(guò)渡段的質(zhì)點(diǎn)位移分布函數(shù)
復(fù)合變幅桿大端部分質(zhì)點(diǎn)位移分布函數(shù)
式中:l1,l2,l3——圓錐復(fù)合變幅桿各段長(zhǎng)度;錐度系數(shù)為α=(N-1)/(Nl2);N——大端與小端的直徑比。
得到整個(gè)圓錐復(fù)合變幅桿的頻率方程:
位移節(jié)點(diǎn)為
放大系數(shù)Mp為
1.2.2 變幅桿的設(shè)計(jì)
變幅桿需要與換能器的前蓋板緊密連接,為了更好地傳遞振動(dòng),減少能量損失,設(shè)計(jì)的變幅桿大端直徑應(yīng)該和換能器前蓋板直徑一樣大[6],所以變幅桿大端直徑為50 mm;設(shè)計(jì)的變幅桿類型為1/2 波長(zhǎng)圓錐復(fù)合型,即l1=l3。為了方便計(jì)算變幅桿的數(shù)據(jù),給定l2的尺寸為50 mm;材料選用傳聲性能好,價(jià)格便宜且易加工的45 號(hào)鋼,其縱波聲速c=5 170 m/s、密度ρ=7.85 g/mm3、楊氏模量E=211 GPa、泊松比λ=0.28。
查閱資料,面積比N=2 時(shí)變幅桿性能相對(duì)較好[7],故以N=2 計(jì)算。將已知數(shù)據(jù)代入式(9)得l1=l3=44.1 mm。聯(lián)立式(2)、式(3),計(jì)算節(jié)點(diǎn)位置x0=17.4 mm,注意節(jié)點(diǎn)位置相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)開(kāi)始,由式(11)計(jì)算出放大倍數(shù)Mp=3.469 8。圓錐復(fù)合變幅桿的初步尺寸如表1 所示。
表1 圓錐復(fù)合變幅桿計(jì)算尺寸Tab.1 Calculated size of cone composite horn
這樣就完成了圓錐復(fù)合變幅桿的理論計(jì)算,變幅桿的尺寸全部確定。接下來(lái),結(jié)合頻率分析和諧響應(yīng)分析來(lái)優(yōu)化初步設(shè)計(jì)的變幅桿,優(yōu)化設(shè)計(jì)出性能接近真實(shí)的圓錐復(fù)合變幅桿。
根據(jù)理論計(jì)算出來(lái)的數(shù)據(jù)進(jìn)行SolidWorks 建模,然后進(jìn)行圓錐復(fù)合變幅桿的模態(tài)分析。由于理論計(jì)算是無(wú)約束條件下的頻率方程,在頻率分析時(shí)不添加任何約束,材料設(shè)置為45 號(hào)鋼,網(wǎng)格采用自動(dòng)生成,利用FFEPlus 求解前15 階頻率,發(fā)現(xiàn)在12 階時(shí)最接近設(shè)計(jì)頻率,為19 631 Hz。查看其12 階振型,發(fā)現(xiàn)共振變形為變幅桿為縱振狀態(tài),可以滿足變幅桿縱向振動(dòng)加工的需求[8],具體分析如圖3 所示。
圖3 理論圓錐復(fù)合變幅桿模態(tài)Fig.3 Theoretical cone composite horn mode
對(duì)計(jì)算的理論變幅桿進(jìn)行分析,頻率誤差為(20 000-19 631)/20 000=1.845%,由大端面和小端面的相對(duì)位移計(jì)算放大倍數(shù)MP=2.408/0.704=3.420,則放大倍數(shù)誤差為(3.469 8-3.420)/3.469 8=1.397%。通過(guò)分析計(jì)算,可知理論計(jì)算符合設(shè)計(jì)要求,但這只是簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)下的結(jié)論。變幅桿往往需要通過(guò)法蘭跟機(jī)床連接,在變幅桿底部還需要與加工工具連接,這些結(jié)構(gòu)對(duì)變幅桿的諧振頻率有影響,尤其法蘭盤的大小會(huì)影響變幅桿的放大狀態(tài)[9],對(duì)于法蘭盤和加工工具目前沒(méi)有較好的計(jì)算方法。利用SolidWorks 的優(yōu)化算例對(duì)實(shí)際變幅桿進(jìn)行優(yōu)化分析,最后進(jìn)行諧響應(yīng)分析,得到最終實(shí)際性能優(yōu)越的變幅桿。
根據(jù)旋轉(zhuǎn)超聲系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),確定變幅桿的法蘭盤大小,并將其定位在計(jì)算的節(jié)點(diǎn)位置。法蘭盤直徑100 mm,在72 mm 處有4×Φ4 的安裝孔,重建變幅桿模型。完成建模后,為了得到更加實(shí)際的工作狀態(tài),將變幅桿法蘭盤處添加固定約束,然后進(jìn)行模態(tài)分析,找出最接近20 000 Hz 的模態(tài),發(fā)現(xiàn)在第10 階模態(tài)達(dá)到20 587 Hz,并且變幅桿屬于縱向振動(dòng)狀態(tài)[10],具體如圖4 所示。
圖4 變幅桿優(yōu)化前的模態(tài)Fig.4 Modal before optimization of the horn
打開(kāi)SolidWorks 的設(shè)計(jì)算例,建立并設(shè)置頻率傳感器,頻率傳感器可以獲取到變幅桿在第10階振型下的共振頻率。以變幅桿的大端、過(guò)渡段、小端的長(zhǎng)度為變量,結(jié)合變幅桿優(yōu)化理論,給定過(guò)渡段范圍為40~50 mm、大端和小端的長(zhǎng)度為40.1~48.1 mm,進(jìn)行優(yōu)化算法。
經(jīng)過(guò)算法優(yōu)化分析,得到表2 中的優(yōu)化結(jié)果。變幅桿尺寸確定后,只需要進(jìn)行變幅桿的諧響應(yīng)分析,看是否滿足設(shè)計(jì)的需要。
表2 優(yōu)化結(jié)果和部分優(yōu)化數(shù)據(jù)Tab.2 Optimization results and partial optimization data
優(yōu)化設(shè)計(jì)的圓錐復(fù)合變幅桿帶有法蘭盤,由于法蘭盤的存在,使得變幅桿工作端的振幅變小。為了確保放大倍數(shù),進(jìn)行變幅桿諧響應(yīng)分析,設(shè)置求取20 000 Hz 附近的10 階模態(tài),搜索范圍在10 000~25 000 Hz。按照實(shí)際工作狀況固定變幅桿法蘭盤,給變幅桿大端一個(gè)統(tǒng)一基準(zhǔn)的0.01 mm的激發(fā)位移,網(wǎng)格選用帶有曲率的網(wǎng)格化分,曲率網(wǎng)格可以使諧響應(yīng)分析的結(jié)果更加可靠[11]。分析完成后列舉共振頻率,在求出的各階振動(dòng)頻率中,第6 階頻率為20 012 Hz,最接近設(shè)計(jì)的理論值20 000 Hz,誤差不超過(guò)1%,滿足設(shè)計(jì)和理論的需要,列舉的共振頻率如表3 所示。
表3 共振頻率Tab.3 The resonant frequencies
變幅桿在第6 階振型下共振頻率為20 012 Hz,其振型圖如圖5 所示。通過(guò)分析圖5 可以看出,在換能器與變幅桿連接處,換能器給其0.01 mm振幅位移;在法蘭盤處的變形最小,變幅桿可以輸出0.039 mm 振幅位移,從而完成放大的功能,完成超聲加工。
圖5 變幅桿優(yōu)化后諧響應(yīng)分析Fig.5 Harmonic response analysis after horn optimization
由變幅桿諧響應(yīng)圖6 可知,在20 012 Hz 時(shí)優(yōu)化后的變幅桿發(fā)生共振,并且振幅情況在整個(gè)響應(yīng)頻率中較大,在40μm 左右,可以正常完成超聲加工,且性能良好。
圖6 優(yōu)化后變幅桿頻率響應(yīng)圖Fig.6 Frequency response diagram of the horn after optimization
本文通過(guò)分析,確定了變幅桿的類型為圓錐過(guò)渡復(fù)合結(jié)構(gòu)。從理論計(jì)算了基本尺寸,并從具體的結(jié)構(gòu)出發(fā),建立了變幅桿的三維模型,考慮了法蘭盤和螺紋孔對(duì)變幅桿的影響。利用SolidWorks 進(jìn)行模態(tài)分析后,確定了優(yōu)化變量,利用SolidWorks 的優(yōu)化算例優(yōu)化了變幅桿的具體尺寸,并通過(guò)諧響應(yīng)分析證明了優(yōu)化后的變幅桿性能穩(wěn)定。所優(yōu)化設(shè)計(jì)的變幅桿能夠滿足超聲加工的需要,性能可靠,可以滿足實(shí)際工程需求。