圓盤塔倒塌的動力學分析

朱世棟,黎秋航,侯吉旋,陳 乾

(東南大學 a.物理學院;b.交通學院，江蘇 南京 211189)

2020年國際青年物理學家錦標賽(IYPT)的第14賽題為“下落的塔(Falling tower)”：相同的圓盤，一個疊在另一個上面，形成獨立的塔. 當突然施加水平力移除塔底部的圓盤時，塔身的其余部分會掉落到底面上，并且依然保持直立狀態(tài). 研究該現(xiàn)象并確定允許塔保持靜止直立的條件. 這是經(jīng)典的理論力學問題，可以引申到建筑物穩(wěn)定性等實際問題. 針對圓盤堆疊的模型，王涵等[1]提出了用倒塌概率判定塔穩(wěn)定性的思路，并通過實驗分析了相關(guān)參量的影響. 但研究因素較少. 舒幼生[2]對此類剛體堆疊問題做了理論研究，得出了底部物體抽出過程中塔的其他部分不會有相對運動的結(jié)論，并提出了不同條件下存在多種運動狀態(tài)的可能性.

本文的理論部分分為基礎(chǔ)理論與特殊情況2部分，將對圓盤的整個運動過程進行深入分析，得到塔是否倒塌的判別條件，并通過參量分析得到影響塔穩(wěn)定性的因素. 實驗部分將對理論中得到的結(jié)論進行佐證.

1 基礎(chǔ)理論模型及求解

1.1 是否倒塌的判別條件

通過幾個簡單的預(yù)實驗發(fā)現(xiàn)，移除最下方圓盤會導(dǎo)致上方圓盤的錯開，錯開的距離決定了塔是否倒塌. 通過求解落地后圓盤間的錯開距離可以得到塔是否倒塌的判別條件. 設(shè)圓盤數(shù)為N，單個質(zhì)量為m，半徑為r，厚度為h.地面摩擦系數(shù)設(shè)為μ0，圓盤間粗糙程度相同，具有相同的摩擦系數(shù)μ1. 底部圓盤受到突然的水平力后獲得初速度v0. 為方便描述，將圓盤從下到上編號1～N，如圖1所示.

圖1 圓盤塔的質(zhì)心旋轉(zhuǎn)

以下均假設(shè)圓盤落地前近似水平. 設(shè)圓盤質(zhì)量分布均勻，則圓盤1和2錯開x時，上方圓盤會開始翻覆. 圓盤1與2只有唯一接觸點，所有的摩擦力與支持力都作用在這個點上，且

FN=(N-1)mg,f=μ1(N-1)mg.

(1)

取過質(zhì)心且垂直于底部圓盤速度方向的轉(zhuǎn)軸，由角動量定理[3]：

(2)

其中Ic為上方圓盤塔的轉(zhuǎn)動慣量，且

(3)

當?shù)撞繄A盤初速度很大(v02?gr)時，可近似為勻速抽出，即

x=v0t.

(4)

將式(4)代入式(2)即可得到關(guān)于t的微分方程為

(5)

從0積分到r/v，即可以得到落地時圓盤塔的角速度為

(6)

如圖2所示，剛落地的瞬間，各圓盤還未發(fā)生相對運動. 且各圓盤速度為質(zhì)心速度與相對質(zhì)心速度的疊加，由于繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)，各圓盤速度并不相同，因而錯開. 相鄰兩圓盤間速度差恒定：

Δv=ω1h,

(7)

設(shè)圓盤2～N的質(zhì)心速度為v，可得圓盤2～N的速度分別為

(8)

圖2 圓盤的錯開

只有最下方圓盤2在減速，加速度a2可由牛頓第二定律算出：

μ0(N-1)mg+μ1(N-2)mg=ma2.

(9)

上方所有圓盤在以相同的加速度a加速，以上數(shù)第k個圓盤為例，由牛頓第二定律有

μ1kmg-μ1(k-1)mg=ma,

整理得

a=μ1g.

(10)

因此，圓盤2將減速，圓盤3將加速，最終兩者共速，形成整體(這里不考慮兩者共速后仍有相對運動的情況)，有

v2-a2t1=v3+at1,

(11)

最終圓盤2與圓盤3錯開的距離可由運動學公式算出：

(12)

聯(lián)立式(8)～(11)，解得：

(13)

之后將圓盤2和3視為整體，這個整體在減速，上方圓盤在以相同的加速度加速. 重復(fù)式(8)～(11)的過程，可得圓盤3與圓盤4的錯開距離. 類似地，可得所有圓盤的錯開距離為

(14)

得到了錯開距離分布，可以算出各質(zhì)心的坐標. 以第k-1個圓盤的右邊緣為原點，上方第k～N個圓盤的質(zhì)心坐標為

xck=[m(-r+Δxk-1,k)+

m(-r+Δxk-1,k+Δxk,k+1)+…+

m(-r+Δxk-1,k+…+ΔxN-1,N)]·

[(N-K+1)m]-1.

(15)

聯(lián)立式(14)和式(15)，化簡得：

(16)

故圓盤塔不倒塌的條件是，k取任何值，xck≤0，即：當k在3～N中變化時，max{xck}≤0. 令d為此最大值：

(17)

d即為表征圓盤塔是否倒塌的判別條件：當d≤0時，圓盤塔不倒塌；d>0時，圓盤塔倒塌.

1.2 影響圓盤塔穩(wěn)定性的因素

通過改變各參量，觀察d的變化趨勢，即可知道此參量對圓盤穩(wěn)定性的影響. 以下逐次探究圓盤數(shù)量N、初速度v0、半徑r與厚度h、摩擦系數(shù)μ0和μ1的影響.

初始條件：r=0.04 m,h=0.02 m,v0=0.7 m/s,g=9.8 m/s2,μ0=0.2,μ1=0.5.

如圖3所示，固定其他參量的值，改變圓盤數(shù)量N.當圓盤數(shù)量增加時，d值增大，說明塔逐漸不穩(wěn)定. 故圓盤個數(shù)越多，塔越容易倒塌.

圖3 圓盤數(shù)量對穩(wěn)定性的影響

如圖4所示，固定其他參量值，改變v0. 當v0增加時，d值減小，說明塔越來越穩(wěn)定. 故底部圓盤v0越大，塔越不容易倒塌.

圖4 底部圓盤初速度對穩(wěn)定性的影響

如圖5所示，圓盤半徑與厚度對穩(wěn)定性的影響耦合性較強，且當圓盤尺寸較小時，塔更穩(wěn)定；圓盤尺寸較大時，塔更容易倒塌.

圖5 圓盤尺寸對穩(wěn)定性的影響

如圖6所示，摩擦對穩(wěn)定性的影響耦合性不強，且地面摩擦越大、圓盤間摩擦越小，d值越小，圓盤塔越穩(wěn)定.

圖6 摩擦對穩(wěn)定性的影響

2 特殊情況分析

2.1 “溜坡”

“溜坡”是指圓盤落地后翻回水平過程中上方圓盤的側(cè)滑. 由實驗可知“溜坡”發(fā)生的條件為：

1)圓盤厚度較大；

2)地面摩擦較大；

3)圓盤間摩擦較小.

下面用簡單模型計算“溜坡”產(chǎn)生的錯開距離.

模型假設(shè)：

1)N=3，即落地時只有2個圓盤；

2)地面摩擦無窮大，即下方圓盤做定軸轉(zhuǎn)動；

3)圓盤間摩擦為0.

如圖7所示，設(shè)圓盤錯開的距離為x，與地面的夾角為θ.取下方圓盤為參考系，引入慣性離心力、切向慣性力和科里奧利力，在圖7中標出方向. 設(shè)兩圓盤間作用力為FN，則FN作用線過上方圓盤質(zhì)心(保證上方圓盤力矩平衡)；再設(shè)幾何參量φ，已在圖中標出.

圖7 “溜坡”現(xiàn)象分析圖

對上方圓盤進行受力分析，垂直盤面方向受力平衡：

2mωvr+mgcosθ=mβlcosφ+mω2lsinφ+FN,

(18)

上方圓盤在平行盤面方向做變加速直線運動，由牛頓第二定律得

mgsinθ+mβlsinφ-mω2lcosφ=mar.

(19)

選取地面為參考系，對下方圓盤進行分析. 取與地面接觸點為轉(zhuǎn)軸，由角動量定理[1]得

mgcosθ·r+FN(r-x)=Iβ,

(20)

其中圓盤對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量I為

(21)

最后通過幾何關(guān)系關(guān)聯(lián)φ，l和x，可得cosφ和sinφ為

(22)

聯(lián)立式(19)～(22)，即可得到關(guān)于t的微分方程組，從而求解出x(t)與θ(t)，如圖8所示.

若要求圓盤翻回水平時錯開的距離，即求θ=0時x的值. 如圖8所示，可以看出錯開距離x≈0.03 m，而圓盤半徑只有0.04 m，故“溜坡”現(xiàn)象導(dǎo)致的額外錯開距離實際有重要影響.

圖8 x(t)和θ(t)的求解曲線

2.2 “破碎”

“破碎”現(xiàn)象指抽出最下方圓盤，上方圓盤在空中彼此分離的現(xiàn)象. “破碎”現(xiàn)象一般發(fā)生在圓盤間摩擦較大的情況. 下面用簡單的模型分析發(fā)生“破碎”現(xiàn)象的原因.

模型假設(shè)：

1)N=3，即空中只有2個圓盤；

2)最下方圓盤勻速抽出，即在慣性系對空中兩圓盤進行分析；

3)上方兩圓盤在“破碎”前無相對運動；

4)兩圓盤間壓力為0時發(fā)生“破碎”.

如圖9所示，設(shè)圓盤1對2的支持力為FN，摩擦力為μ1FN. 設(shè)圓盤轉(zhuǎn)角為θ，圓盤2和3的質(zhì)心C距離支點的水平距離為x，豎直距離為y.

圖9 “破碎”現(xiàn)象分析圖(整體)

對整體進行受力分析，由質(zhì)心運動定理[3]得

(23)

由整體的角動量定理可得

(24)

其中上方兩圓盤對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量I為

(25)

并有幾何關(guān)系：

(26)

對最上方圓盤做隔離分析. 設(shè)其所受摩擦力為f，支持為F，等效作用點為A點(位置無需討論)，如圖10所示.

圖10 “破碎”現(xiàn)象分析圖(最上方圓盤)

由質(zhì)心運動定理：

(27)

聯(lián)立(23)～(27)，得到x，y，θ，F(xiàn)關(guān)于t的微分方程組，從而解出F(t)曲線，如圖11所示.

圖11 不同μ1下的F(t)解

可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)(t)呈下降趨勢，當F下降到0時，即發(fā)生“破碎”現(xiàn)象. 當μ1逐漸增大時，可以看到F下降加快，說明圓盤間摩擦越大，越容易發(fā)生“破碎”現(xiàn)象. 圓盤在空中分離后便不再有相互作用，因此落地時的速度就是分離時的速度.

2.3 “彈跳”與“夭折”

“彈跳”現(xiàn)象指落地后上方圓盤又彈起的現(xiàn)象，它發(fā)生在圓盤的彈性(恢復(fù)系數(shù))較大、圓盤厚度較大時. 由于圓盤彈起后不再有摩擦力的作用，因此最終錯開的距離主要取決于恢復(fù)系數(shù)及彈起后各自的水平速度.

“夭折”現(xiàn)象指圓盤塔在最下方圓盤尚未被抽出時即倒塌，它發(fā)生在最下方圓盤初速度較小(即突然施加的水平力較小)及圓盤間摩擦較大時. 此情況下塔直接倒塌，不需計算錯開距離.

以上2種情況較為簡單，本文不做定量研究.

3 實驗驗證

實驗裝置如圖12所示，其中A為圓盤，B為光電門，C為定滑輪，D為500 g砝碼，E為細繩，F(xiàn)為擋光片. 通過從一定高度釋放砝碼來給予最下方圓盤突然的水平力，通過光電門來測量最下方圓盤的初速度.

圖12 實驗裝置設(shè)計圖

為實現(xiàn)題目要求，做了如下規(guī)定：

1)繩伸直時砝碼要接近地面，保證力的瞬時作用；

2)從一定高度釋放砝碼，保證足夠大的沖量將圓盤抽出；

3)光電門與擋光片的距離等于砝碼距離地面的高度，保證光電門所測為最下方圓盤的初速度.

實驗裝置的優(yōu)點在于，它能保證相同條件下實驗的可重復(fù)性：通過在相同高度釋放砝碼，可以使得最下方圓盤的初速度近似不變.

3.1 圓盤數(shù)量的影響

取直徑為50 mm、厚度為10 mm、表面磨砂的圓盤為實驗對象，保證最下方圓盤初速度v0≈(2.00±0.05) m/s，觀察當N=3，4，5，6，7，8時圓盤是否倒塌. 每組實驗重復(fù)5次，計算圓盤倒塌的概率P.

如圖13所示，可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)呈上升趨勢，說明圓盤數(shù)量越多，圓盤塔越容易倒塌. 這與理論分析的結(jié)果相符合.

圖13 圓盤數(shù)量與倒塌概率實驗結(jié)果

3.2 圓盤直徑的影響

取厚度為10 mm直徑分別為40，50，60，70，80 mm的圓盤為實驗對象，保證最下方圓盤初速度v0≈ (2.00±0.05) m/s，觀察當N=6時圓盤是否倒塌. 每組實驗重復(fù)5次，計算圓盤塔倒塌的概率P.

如圖14所示，數(shù)據(jù)呈下降趨勢，說明直徑越大，塔越穩(wěn)定，與理論求得曲面圖5中h=0.01 m對應(yīng)曲線的結(jié)論相同.

圖14 圓盤直徑與倒塌概率實驗結(jié)果

3.3 最下方圓盤初速度的影響

取直徑為50 mm，厚度為10 mm，表面磨砂的圓盤為實驗對象，堆疊數(shù)N=6. 由于實驗無法保證每次初速度嚴格相同，故設(shè)置一系列速度區(qū)間來探究最下方圓盤初速度的影響趨勢. 每個速度區(qū)間重復(fù)實驗5次，計算圓盤塔倒塌的概率P.

速度為1.2～2.8 m/s，區(qū)間間隔0.2 m/s，共8個區(qū)間，由小到大分別編號為1～8，實驗結(jié)果如圖15所示. 由數(shù)據(jù)的下降趨勢可知，最下方圓盤初速度越大，圓盤塔倒塌概率越低，說明塔越穩(wěn)定. 這與理論分析結(jié)論相符合.

圖15 圓盤初速度與倒塌概率實驗結(jié)果

3.4 圓盤表面摩擦系數(shù)的影響

為保證其他條件不變，采取表面處理的方式改變圓盤表面的摩擦系數(shù). 表面處理方式包括：粘貼防滑膜、不處理、輕度打磨、重度打磨. 經(jīng)測量[4]，4種圓盤的摩擦系數(shù)μ1分別為0.66，0.56，0.50，0.42. 多次重復(fù)實驗，不同摩擦系數(shù)圓盤的倒塌概率無法呈現(xiàn)明顯的規(guī)律. 這可能是由于摩擦系數(shù)不同導(dǎo)致的穩(wěn)定性改變小于隨機因素導(dǎo)致的穩(wěn)定性波動范圍，因而其倒塌概率無法產(chǎn)生顯著的變化趨勢. 實驗結(jié)果如圖16所示.

圖16 圓盤表面摩擦系數(shù)與倒塌概率實驗結(jié)果

4 結(jié)束語

本文對抽出圓盤塔最下方圓盤后，塔是否倒塌的條件做了探究，并對影響塔穩(wěn)定性的因素進行了分析. 此外，本文對圓盤抽出過程中的4種特殊情況做出了探究. 實際上，圓盤抽出過程還會出現(xiàn)反向錯開等情況，此類情況的發(fā)生可能有多種原因(如“彈跳”現(xiàn)象或圓盤間摩擦過小)，為避免復(fù)雜的分類討論，本文暫未對這類情況進行深入研究.