岳飛龍 ，李培超

（上海工程技術(shù)大學 機械與汽車工程學院，上海 201620）

κ多孔介質(zhì)由于其獨特的結(jié)構(gòu)和特殊的性能得到廣泛關(guān)注，同時也吸引許多研究者專注于多孔介質(zhì)多物理場耦合問題的發(fā)展. 在多孔介質(zhì)熱流耦合問題的研究中，分析研究局部熱非平衡情形下多孔介質(zhì)圓管或平板強迫對流對換熱性能的提高具有重要意義[1?6]. 對于多孔介質(zhì)平板，較多學者研究了達西流動下的換熱分析. 例如，Yang等[7]研究了5種典型孔隙—流體界面的流體和固體溫度分布，同時得到努塞爾數(shù)隨參數(shù)變化的影響. 在Darcy線性流動模型的基礎(chǔ)上，又有學者提出Brinkman流動模型[8]，由于其能夠更好地滿足多孔介質(zhì)流動區(qū)域和純流體流動區(qū)域交界面處的無滑移條件，并可說明邊界之間的過渡流動，因此得到了廣泛的應(yīng)用[9?10]. Nield等[11]在該模型下考慮壁面恒溫邊界條件，研究飽和多孔介質(zhì)平行平板通道內(nèi)的強迫對流對換熱性能的問題，得到局部努塞爾數(shù)的表達式. 除此之外，還有很多學者研究了其他不同邊界條件下Brinkman流動下多孔介質(zhì)平板的換熱問題. 例如，Kuznetsov等[12]研究擾動流動條件下的多孔介質(zhì)平板中的溫度分布和努塞爾數(shù)分布，得出隨著無量綱頻率的增加會導(dǎo)致努塞爾數(shù)在幅值和相位上分布變化的結(jié)論；Cekmer等[13]提出上下壁面熱流非對稱邊界條件下Brinkman流動下多孔介質(zhì)平板的熱傳遞特性，且定義了平板上下表面以及整體的努塞爾數(shù)分布. 在此基礎(chǔ)上，還有許多學者考慮稀薄流體對傳熱的影響. 例如，Seetharamu等[14?15]分別對改變壁面熱流與溫度比值變化的邊界條件和上下壁面均勻熱流邊界條件下多孔介質(zhì)微平板通道內(nèi)填充稀薄氣體的換熱進行了數(shù)值模擬，得出了相關(guān)參數(shù)對換熱的影響.

同樣，對于多孔介質(zhì)圓管或圓環(huán)，很多研究者也研究了局部熱非平衡情形下基于Brinkman動量方程的換熱問題. 例如，Xu等[16]解決該模型下部分填充開孔金屬泡沫的圓管中的熱流交換問題，得到了努塞爾數(shù)的明確表達式；Wang等[17]得出多孔介質(zhì)微環(huán)內(nèi)氣態(tài)滑移流下流體和固體溫度分布的解析解；Xu等[18]對部分填充復(fù)合金屬泡沫圓管中充分發(fā)展的強制對流進行數(shù)值研究，得到相關(guān)參數(shù)對摩擦因數(shù)和努塞爾數(shù)的影響.

在之前的工作中[19]研究了達西流動下多孔介質(zhì)圓管的強迫對流換熱問題，推導(dǎo)得出非均勻入口邊界條件下的努塞爾數(shù)的解析解，并分析了相關(guān)參數(shù)對換熱性能的影響. 在此基礎(chǔ)上，本研究將分析同時基于Brinkman流動模型（即非達西流動模型）和局部熱非平衡（LTNE）模型下飽和多孔介質(zhì)圓管的強迫對流換熱問題. 通過使用COMSOL Multiphysics仿真軟件獲得流體和固體溫度、滲流速度和努塞爾數(shù)的數(shù)值解，并對參數(shù)如何影響多孔介質(zhì)圓管的換熱性能進行分析.

1 物理問題和數(shù)學模型

1.1 控制方程組

圖1為多孔介質(zhì)圓管強迫對流換熱問題的原理圖[19]. 圖中：Tw為壁面溫度，Tin為入口溫度. 為簡單起見，模型假設(shè)如下：1）多孔介質(zhì)為飽和的、均勻且各項同性的介質(zhì)；2）流體為穩(wěn)定的、不可壓縮的流體；3）忽略自然對流、擴散和輻射換熱；4）忽略軸向熱傳導(dǎo)；5）流動的熱物理性質(zhì)不受溫度影響.

圖1 多孔介質(zhì)圓管示意圖Fig. 1 Schematic diagram of porous media circular duct

本研究利用Brinkman動量方程，并采用反映局部熱非平衡現(xiàn)象的雙溫度場方程來描述傳熱問題. 在上述假設(shè)之下，三維圓柱坐標系下的Brinkman動量方程[20]和雙能量方程[19]可以寫為

式中：?為多孔介質(zhì)孔隙率；ks和kf為固體和流體的熱導(dǎo)率. 符號說明見表1.

表1 符號表Table 1 Symbol table

1.2 邊界條件

為求解控制方程式(1)至式(3)，對圖1所示的多孔介質(zhì)圓管外壁面上的無滑移速度邊界和溫度邊界條件以及入口處的溫度邊界條件規(guī)定為

式中：r0為 多孔介質(zhì)圓管的真實半徑；Tw為壁面溫度 ；Tin為入口處溫度.

1.3 無量綱化數(shù)學模型

為了將控制方程和邊界條件無量綱化，引入無量綱變量為

式中：T0為 參考溫度；Pe 為貝克來數(shù)；Bi為畢渥數(shù)，Da為Darcy數(shù)，κ為流體有效熱導(dǎo)率與固體骨架有效熱導(dǎo)率之比；M為流體有效動力黏度與實際動力黏度之比. 根據(jù)上述無量綱變量的定義，將控制方程式(1)至式(3)與邊界條件式(5)至式(7)無量綱化，可得

上述控制方程(8)至(10)與邊界條件(11)至(13)共同組成所求解問題的數(shù)學模型. 其中未知量為無量綱速度(U)和無量綱溫度(θs、θf). 物理模型中多孔介質(zhì)的無量綱半徑R0和長度l分別為1和5 0.

1.4 努塞爾數(shù)

努塞爾數(shù)表征壁面對流換熱的強烈程度，Li等[19]推導(dǎo)得出壁面平均努塞爾數(shù)的計算式為

將該式輸入到COMSOL Multiphysics軟件中，即可求得多孔介質(zhì)外表面的努塞爾數(shù)值，通過數(shù)值 大小就可以判斷出外壁面上對流換熱的強烈程度.

2 結(jié)果與討論

2.1 驗證

經(jīng)過仿真軟件求解可以得到U、θs、θf和Nu. 無量綱速度和溫度隨坐標的變化如圖2所示. 由圖2(a)可以看出，U隨R的增加逐漸降低；由 圖2(b)可以看出，雙溫度隨φ值的增加，先減少后增加，但流體無量綱溫度一直高于固體的無量綱溫度；由圖2(c)可以看出，溫度θs和θf隨Z的增加快速降低并趨于0.

圖2 無量綱速度和溫度隨坐標的變化Fig. 2 Variation of dimensionless velocity and temperature with coordinates

為驗證本研究中數(shù)值解的正確性，將Brinkman流動退化到Darcy流動的情形，并以努塞爾數(shù)隨Bi變化為例，驗證本文數(shù)值仿真結(jié)果與文獻[19]中努塞爾數(shù)的解析解的一致性，結(jié)果如圖3所示. 由圖3可以看出兩者具有很好的一致性. 因此，可以間 接驗證本文結(jié)果的正確性.

圖3 努塞爾數(shù)的變化Fig. 3 Variation of Nusselt number

2.2 努塞爾數(shù)分布特性

在之后的模型中，默認M，Pe，Bi，κ及Da 分別取0.1，50，100，0.033 988，1.

努塞爾數(shù)隨坐標的變化如圖4所示. 圖4(a)顯示了Nu隨坐標Z 的 變化，可知當Z < 5時，Nu快速減小，隨后趨于漸近值. 這意味著對流換熱在入口處最強烈，隨后快速減小. 這是由于對流換熱的強烈程度依賴于溫差的大小. 圖4(b)顯示了Nu隨φ值的變化，為先減小后增大的余弦函數(shù)，這是由入口條件所決定的，所以壁面的對流換熱強烈程度與入 口邊界條件有很大聯(lián)系.

圖4 Nu隨坐標的變化Fig. 4 Variations of Nu with coordinates

2 .3 參數(shù)研究

2.3.1 畢渥數(shù)的影響

Bi對 Nu 的影響如圖5所示. 由圖可見， Nu隨著Bi的增加先增加，后趨于一個漸近值. 這是因為隨著 Bi的增加，流體與固體骨架之間的熱交換速率逐漸變快，當Bi趨于無窮大時，LTNE模型退化為LTE模型（即局部熱平衡模型），此時流體與固體快速完成熱量交換，溫度場控制方程也由雙溫度場控制方程變?yōu)閱螠囟葓隹刂品匠? 當被退化到達西流時，Nu隨Bi的變化與文獻[19]中的解析解相同. 圖中可以看出Brinkman流動下的 Nu要低于Darcy流動的情形，這是由于Brinkman流動考慮到了剪切能量耗散，流體流速降低，導(dǎo)致對流換熱強烈程度減弱.

圖5 N u 隨B i的變化Fig. 5 Variations of Nu with Bi

2.3.2 貝克來數(shù)的影響

Pe 表征對流與擴散的相對比例，Pe 越大，就意味著對流越來越強烈. 圖6展示了Nu 隨Pe的變化，從圖中可以明顯看到Nu隨Pe單調(diào)增加，這就意味著Pe越大，壁面的對流換熱越強烈. 這是由于Pe的增加使管內(nèi)的對流程度增大，因此加快了熱量傳遞. 所以工程中可以通過提高Pe來增強多孔介質(zhì)圓管的換熱性能.

圖6 N u隨Pe的變化Fig. 6 Variations Nu of with Pe

2.3.3 導(dǎo)熱比的影響

κ為流體有效熱導(dǎo)率與固體骨架有效熱導(dǎo)率之比. 圖7展示了Nu隨κ的變化. 圖中可以看出，隨著κ的增加，Nu逐漸下降. 這是由于隨著κ的增加，固體的有效熱導(dǎo)率相對于液體的有效熱導(dǎo)率越來越小，固體內(nèi)部導(dǎo)熱變緩，溫度明顯降低. κ的增加嚴重影響了多孔介質(zhì)圓管內(nèi)溫度的傳遞，因此Nu隨著 κ的增加明顯降低.

圖7 Nu隨κ的變化Fig. 7 Variations Nu of with κ

2.3.4 黏度比的影響

圖8展示了Nu隨M的變化. 圖?中可以看出，Nu隨M的增大而減小.M表征黏度的大小，M越大，流體黏度越大，當M趨于1時，流體速度變得極其緩慢，熱量傳遞幾乎由熱傳導(dǎo)實現(xiàn). 因此，隨著M增加，Nu 呈現(xiàn)下降趨勢. 在工程中為提高熱量交換程度，可以通過減小流體的M 來實現(xiàn).

圖8 Nu隨 M的變化Fig. 8 Variations Nu of with M

2.3.5 達西數(shù)的影響

圖9展示了Nu隨Da的變化. 由圖可見，隨著Da的增加，Nu先增加，后趨于漸近值.Da表征多孔介質(zhì)滲透能力的大小，Da越大，滲透能力越強.隨著Da的增大，液體在多孔介質(zhì)中滲透越快，對流增強，換熱變快. 因此隨著Da的增加，Nu逐漸增大. 當Da達到某個值時，Nu趨于一個漸近值且?guī)缀醪辉僮兓?，工程中可以利用此?guī)律將Da調(diào)到合適的值即可得到較大的壁面換熱效率.

圖9 Nu隨D a的變化Fig. 9 Variations Nu of with Da

3 結(jié)語

本研究對多孔介質(zhì)圓管內(nèi)強迫對流換熱強烈程度進行研究，其中溫度場和流動場分別采用更加符合實際情況的局部熱非平衡控制方程和Brinkman流動方程，通過COMSOL Multiphysics軟件求解得到對流換熱的分布情況，并且分析了相關(guān)參數(shù)的影響：

1)Nu隨Z的增大先迅速減小，后趨于漸近值；Nu隨φ的變化強烈依賴于入口邊界條件的變化；

2)Nu隨Bi和Da的增大先增加，后趨于漸近值；Nu隨Pe的增加單調(diào)遞增；隨κ和M的增加，Nu逐漸降低，然后趨于一個漸近值；

3) κ、P e、B i對Nu的影響最為劇烈，Da、M對Nu的影響相對較小.