用正交變換化實對稱矩陣為對角陣的簡便方法

史亞丹

湖南信息學院 通識教育學院 湖南 長沙 410100

1 引言

矩陣的對角化是線性代數(shù)的一個重要研究內容,其中實對稱矩陣的正交對角化將二次型化為標準形更是將線性代數(shù)和解析幾何緊密結合在一起。任意實對稱矩陣都可以通過正交變換相似對角化,當實對稱矩陣的特征值是重根時,常見的方法是用Schmidt正交法將重根對應的特征向量正交化,再進行單位化[1]。但是Schmidt正交化的公式較為繁多且計算復雜,導致許多學生在解題過程中容易忘記公式或計算錯誤。很多數(shù)學研究工作者對此做了大量研究,提出了不同的求解方法[2-8]。這些方法中包含了線性方程組法、矩陣變換法、向量空間法等,理解略有些復雜。

本文通過正交向量組中向量的兩兩正交性,以及自由未知量的不同選擇,研究了n階實對稱矩陣A=（aij）n×n（aij=aji）有n-1重根特征值時的正交對角化問題,給出了快速求解正交矩陣的簡便方法,然后用例題進行詳細說明。

2 直接正交對角化的簡便方法

設λi為n階實對稱矩陣A的n-1重根特征值,對應可以得到一組n-1個線性無關的特征向量,進而正交對角化。

現(xiàn)將（λiE-A）x=0的系數(shù)矩陣化為行最簡型為

（其中a12,a13,…,a1n不全為零）。則（λiE-A）x=0的一個同解方程組為

以此類推,可獲得屬于特征值λi的一組正交的特征向量。與常規(guī)方法比較,上述方法更直觀簡便,且避開了Schmidt正交化法,減少了計算量。

3 直接正交對角化方法的舉例

3.1 三階實對稱矩陣的正交對角化

若三階實對稱矩陣具有重根的特征值,則重根最多為二重根。

ξ1,ξ2,ξ3兩兩正交,單位化得

3.2 四階實對稱矩陣的正交對角化

若四階實對稱矩陣具有重根的特征值,則重根最多為三重根。

當λ=6時,由（6E-A）x=0得到特征向量ξ4=（-1 1-1 1）T.

ξ1,ξ2,ξ3,ξ4兩兩正交,單位化后得到正交矩陣

3.3 五階實對稱矩陣的正交對角化

若五階實對稱矩陣具有重根的特征值,則重根最多為四重根。

λ1=λ2=λ3=λ4=1,λ5=-4

當λ=1時,

對應的同解方程組為x1+x2+x3+x4+x5=0.取后4個未知數(shù)為自由未知量,得到屬于λ=1的第一個特征向量為ξ1=（-1 1 0 0 0）T;令前4個未知數(shù)為自由未知量,得到屬于λ=1且與ξ1正交的第二個特征向量為ξ2=（0 0 0 1-1）T;觀察可知與ξ1和ξ2都正交的特征向量可設定為 （a a b c c）T,代入同解方程組中可得b=-2a-2c,可取第三個正交特征向量為ξ3=（1 1-4 1 1）T;第四個正交特征向量依然可設為 （a a b c c）T,且與ξ3也正交,又可得2b=a+c,綜合可得到ξ4=（1 1 0-1-1）T.

當λ=-4時,由 （-4E-A）x=0得到特征向量ξ5=（1 1 1 1 1）T.ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5兩兩正交,單位化得到

得到正交矩陣P=（p1,p2,p3,p4,p5）,使得PTAP=diag（1,1,1,1,-4）.

4 結語

Schmidt正交化法的公式和計算都較為繁雜,較難被學生掌握。而現(xiàn)有的文獻中給出的方法中,或涉及解方程組,計算量較大;或需要學生去掌握向量空間的相關知識點,理解困難。本文中提供的方法較為直觀簡便,將線性方程組的求解與特征向量的正交化合二為一,既簡化了計算又容易理解,因此更容易被學生掌握。