提煉基本圖形 培養(yǎng)幾何直觀

郭海英

（杭州學(xué)軍中學(xué)教育集團(tuán)文淵中學(xué)，浙江 杭州 310000）

對(duì)“幾何直觀”的理解

對(duì)它的認(rèn)識(shí)：“直觀”就是當(dāng)人們接觸事物時(shí)，借助于觀察、經(jīng)驗(yàn)、想象等所產(chǎn)生的對(duì)事物及其關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)。而幾何直觀則是借助于見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生的對(duì)事物的性質(zhì)或數(shù)量關(guān)系的直接感知與認(rèn)識(shí)，幾何直觀是一種運(yùn)用圖形認(rèn)識(shí)事物的能力。標(biāo)準(zhǔn)指出：“幾何直觀”是指利用圖形描述和分析問(wèn)題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直接地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)揮重要作用，

它的意義：20 世紀(jì)最偉大數(shù)學(xué)家希爾伯特在名著《幾何直觀》一書(shū)中談到：

第一層意思，圖形可以幫助刻畫(huà)和描述問(wèn)題。一旦用圖形把一個(gè)問(wèn)題描述清楚，就有可能使這個(gè)問(wèn)題變得直觀、簡(jiǎn)單。

第二層意思，圖形可以幫助發(fā)現(xiàn)、尋找解決問(wèn)題的思路。

第三層意思，圖形可以幫助表述一些結(jié)果，可以幫助記憶一些結(jié)果。

如何幫助學(xué)生建立幾何直觀

第一 要充分的發(fā)揮圖形帶來(lái)的好處。

第二 要讓學(xué)生養(yǎng)成一個(gè)畫(huà)圖的好習(xí)慣。

第三 重視變換，讓圖形動(dòng)起來(lái)，把握?qǐng)D形與圖形之間的關(guān)系。

第四 要在學(xué)生的頭腦中留住些圖形(比如基本圖形）。

無(wú)論是在“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)還是在其他領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中，都應(yīng)重視幾何直觀的培養(yǎng)。

在中考中有許多試題是根據(jù)基本圖形來(lái)巧妙設(shè)置的，這樣既考查學(xué)生提煉圖形和運(yùn)用圖形的能力，更是對(duì)“幾何直觀”的一種培養(yǎng)?；緢D形具有廣闊的拓展空間，根植于基本圖形的試題屢見(jiàn)不鮮。挖掘基本圖形，有助于更好的培養(yǎng)發(fā)散性思維，提高學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。今天我們通過(guò)展示一些案例跟大家談?wù)勗诘诙啅?fù)習(xí)中提煉基本圖形的方法。

（一）K 字型圖

案例1.如圖，AB ⊥BD 于點(diǎn)B，CD ⊥BD 于點(diǎn)D，P 是BD上一點(diǎn)，AP ⊥PC,且AP=PC. 你能得到什么結(jié)論？

這時(shí)我們每個(gè)同學(xué)都能得出結(jié)論：有兩個(gè)全等三角形，有對(duì)應(yīng)邊相等，這個(gè)基本圖形，我們給它一個(gè)名稱叫K 字型。如果把條件AP=PC 去掉，那么就能得出兩個(gè)三角形相似。接下來(lái)用K 字型圖可以比較快的解決下面的幾個(gè)習(xí)題。

變式1.如圖，已知AB ⊥BD,CD ⊥BD,AP ⊥PC,且P為BD 中點(diǎn)，AB=2，BD=6，那么CD=_______直線l2過(guò)點(diǎn)B(0,2)且與x軸平行，直線l1與直線l2相交于點(diǎn)P。點(diǎn)E為直線l2上一點(diǎn)，反比例函數(shù)

案例2：在平面直角坐標(biāo)系XOY中，直線l1過(guò)點(diǎn)A(1,0)且與y軸平行，的圖像過(guò)點(diǎn)E 與直線l1相交于點(diǎn)F。

1.若點(diǎn)E 與點(diǎn)P 重合，求k的值；

2.連接OE、OF、EF。若k＞2，且△OEF 的面積為△PEF 的面積的2 倍，求E 點(diǎn)的坐標(biāo)；

3.是否存在點(diǎn)E及y軸上的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△PEF 全等？若存在，求E 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

變式1：如圖，直線L1 過(guò)點(diǎn)A(1,0)且與y軸平行，直線L2過(guò)點(diǎn)B(0,2)且與x軸平行，直線L1與直線L2相交于點(diǎn)P.點(diǎn)E為直線L2上一點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)E 與直線L1相交于點(diǎn)F，存在點(diǎn)E及y軸上的點(diǎn)M，使得以M、E、F為頂點(diǎn)，且以EF為直角邊的三角形與△PEF 相似，則點(diǎn)E 的坐標(biāo)____▲___.

（二）K 字圖的變形

案例2.若直線QE ∥y 軸，將含45°角的直角三角板如圖所示放置，你能夠得出什么結(jié)論？

現(xiàn)在老師已經(jīng)添了兩條輔助性，這對(duì)解決本題就不會(huì)顯得有多大難度了，可以證明兩個(gè)三角形全等，但是其實(shí)這也是前面K 字型圖的變形，也可以用K 字型圖來(lái)解答?，F(xiàn)在我們來(lái)回顧一道2011年紹興的中考題24 題，這是一道很典型的以基本圖形中K 字變形圖作為解題的突破口，就可以輕松拿下了。

對(duì)中考第二輪復(fù)習(xí)教學(xué)來(lái)說(shuō)，我們尤其要重視基本圖形的提煉和挖掘，如果把一道綜合題比喻成一座房子的話，那么具體的知識(shí)點(diǎn)就好比磚頭、鋼筋、水泥等，而基本題、基本圖形就好比一堵墻、一個(gè)房間。墻與墻之間、房子與房子之間如何搭建，就是解題的思路了。在考場(chǎng)上，面對(duì)每一道題目，都要求學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)對(duì)解題思路作出選擇和判斷，如果熟悉一些基本圖形，無(wú)疑能提高他們探索解題思路的速度。當(dāng)基本圖形直接看不出時(shí)，就能想到去構(gòu)造基本圖形。如果把這個(gè)K 字型圖的直角加以變形，我們可以把這三個(gè)角變?yōu)橄嗟?，頂點(diǎn)不同，但都在一條線上，構(gòu)成兩個(gè)三角形（或三個(gè)）其中兩邊上的兩個(gè)是相似，這就是我們接下來(lái)要來(lái)運(yùn)用的“一線三等角”這一基本圖形。其實(shí)也是一個(gè)K字型的變形。

（三）一線三等角

案例1 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，點(diǎn)P為x 軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)P 不與O、A 重合），連接CP，過(guò)點(diǎn)P 作PD 交AB 于點(diǎn)D.

1.求點(diǎn)B 的坐標(biāo)；

2.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△OCP為等腰三角形，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

這一問(wèn)題的解答是：填上常用輔助性過(guò)點(diǎn)B 作BE 垂直O(jiān)A,根據(jù)已知條件就可以把點(diǎn)B 的坐標(biāo)得出，第2 小題要用到分類思想，不過(guò)在讀題目是要注意條件“x 軸上”，所以考慮的范圍要擴(kuò)大到x 軸的負(fù)半軸，第3小題如果能發(fā)現(xiàn)在同一條線段上又不同頂點(diǎn)的三個(gè)角相等，就顯得很容易了，用“一線三等角”這個(gè)基本圖形，存在相似三角形，所以就可以通過(guò)OP×PA=OC×AD，從而求得結(jié)果。

案例2 .如圖.直角梯形OABC 的直角頂點(diǎn)O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA，OC分別在x 軸、y 軸的正半軸上.OA ∥BC，D 在BC上，，AB=3,∠OAB=45°，D 是BC上一點(diǎn)，CD=.E、F 分別是線段OA、AB上的兩動(dòng)點(diǎn)，且始終保持∠DEF=45°，設(shè)OE=x，AF=y.

1.證明△ODE ∽△AEF，并確定y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系；

2.當(dāng)△AEF 是等腰三角形時(shí)，將△AEF 沿EF 折疊，得到△A′EF，

求△A′EF 與五邊形OEFBC 重疊部分的面積.

解決本題也是跟上面一樣的思路，不過(guò)現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們自己可以做了吧，證明相似，用的是一線三等角這個(gè)基本圖形，關(guān)鍵是第2 小題，更能體現(xiàn)這個(gè)基本圖形的優(yōu)勢(shì)，因?yàn)椤鰽EF 是等腰三角形，其中的點(diǎn)E、F 都是動(dòng)點(diǎn)，但是如果能想到只要滿足△ODE 是等腰了，那么△AEF 自然也一定是等腰三角形，這就容易多了，因?yàn)椤鱋DE 中只有一個(gè)點(diǎn)E 是動(dòng)點(diǎn)，研究起來(lái)就比較方便，現(xiàn)在我們就只要分三類情況來(lái)討論解決，畫(huà)出每一種狀態(tài)圖，請(qǐng)同學(xué)們?cè)囋嚢?。相信自己肯定行?/p>

總而言之，利用基本圖形及其結(jié)論，能夠?qū)?fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，幫助學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)抓住問(wèn)題的本質(zhì)，并可以防止解題中無(wú)關(guān)信息的干擾，提高我們的思維水平。