2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(乙卷理)第21題分析

2021年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科第21題意境深遠(yuǎn)，堅(jiān)持熟而不俗、俗而不易、穩(wěn)中求變、變中出新的命題初心，科學(xué)把握必備知識(shí)與關(guān)鍵能力的關(guān)系，全面體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求.

【例1】(2021·全國乙卷理·21)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4．

(1)求p；

(2)若點(diǎn)P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．

【亮點(diǎn)】幾何背景下的最值或取值范圍問題，其實(shí)就是求函數(shù)的最值或值域問題，所以解題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系建立目標(biāo)函數(shù).怎么建立？特別是問題本身比較復(fù)雜抽象時(shí)，我們就需要深入分析，剝絲抽繭，厘清變化的脈絡(luò)，弄清楚目標(biāo)函數(shù)、自變量及其依賴關(guān)系，包括自變量的變化范圍，然后建立函數(shù)模型并恰當(dāng)?shù)慕饽?

【相似性與差異性對比分析】本題以著名的阿基米德三角形為背景考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的位置關(guān)系等知識(shí)，2008年山東理科第22題也是以阿基米德三角形為背景考查直線與拋物線的位置關(guān)系，兩題背景相同，出發(fā)點(diǎn)相同，也有異曲同工之妙.

相似性與差異性對比分析

【命題角度】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的位置關(guān)系等知識(shí)，第(1)問根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于p的等式，即可解出p的值；第(2)問設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，利用導(dǎo)數(shù)求出直線PA，PB的方程，進(jìn)一步可求得直線AB的方程，將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出|AB|以及點(diǎn)P到直線AB的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得△PAB面積的最大值.

【映射課程標(biāo)準(zhǔn)】本題創(chuàng)設(shè)了阿基米德三角形情境，通過創(chuàng)設(shè)情境，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探究的興趣，逐步揭示數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的脈絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生解決問題，解題的思路是抓住直線與拋物線相切這一核心關(guān)系，通過建模與解模實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo).

【數(shù)學(xué)思想方法】解題中應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、設(shè)而不求，整體代換、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法，從而突破了運(yùn)算中的難關(guān).

【考查能力】考查運(yùn)算求解、抽象概括和推理論證等數(shù)學(xué)能力.

【考查素養(yǎng)】考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，

同理可知，直線PB的方程為x2x-2y2-2y=0,

所以A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程x0x-2y-2y0=0，

可得x2-2x0x+4y0=0，

由韋達(dá)定理可得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，

由已知可得-5≤y0≤-3，

所以當(dāng)y0=-5時(shí)，

【相似題源】(2008·山東卷理·22)如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.

(1)求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

【作者單位、姓名】陜西省寶雞市麟游縣中學(xué) 韓紅軍

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(新高考Ⅰ卷)第16題分析

【亮點(diǎn)】本題引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，很好地落實(shí)了“立德樹人，服務(wù)選才，引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能，堅(jiān)持高考的核心價(jià)值，突出學(xué)科特色，重視數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)揮了數(shù)學(xué)學(xué)科高考的選拔功能，對深化中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用.本題以學(xué)生在初中接觸過的折紙問題為背景，考查合情推理、利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，實(shí)際上類似于初中數(shù)學(xué)中的找規(guī)律題，但有所創(chuàng)新，在常規(guī)試題中植入傳統(tǒng)文化，讓學(xué)生在讀題中感知數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，在解題中滲透德智體美勞等五育及應(yīng)用創(chuàng)新意識(shí).

【對比分析與往年試題的相似性及差異性】

1.(2017·全國卷Ⅱ理·3)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈

( )

A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞

( )

3.(2020·全國卷Ⅱ理·4)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)

( )

A．3 699塊 B．3 474塊

C．3 402塊 D．3 339塊

4.(2020·全國卷Ⅰ理·17)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項(xiàng)．

(Ⅰ)求{an}的公比；

(Ⅱ)若a1=1，求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和．

上面幾道試題與本題有相似性，特別是例1、例2、例3都是以數(shù)學(xué)文化為載體，考查數(shù)學(xué)建模、等差數(shù)列或等比數(shù)列，例4考查利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.本題與上面四題也有明顯的差異性，本題在知識(shí)的交匯點(diǎn)出題，綜合考查學(xué)生的“四基”“四能”和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【命題角度】本題以我國傳統(tǒng)文化剪紙藝術(shù)為背景，考查學(xué)生對數(shù)學(xué)建模、等差數(shù)列、等比數(shù)列、合情推理和演繹推理等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，在體現(xiàn)學(xué)科間知識(shí)滲透和交叉的同時(shí)，重在考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，解題的關(guān)鍵是利用合情推理找規(guī)律、考點(diǎn)定位及模型的建構(gòu)．積極落實(shí)中共中央國務(wù)院《深化新時(shí)代教育評價(jià)改革總體方案》提出的：穩(wěn)步推進(jìn)中高考改革，構(gòu)建引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系，改變相對固化的試題形式，增強(qiáng)試題開放性，減少死記硬背和“機(jī)械刷題”的現(xiàn)象.

【映射課程標(biāo)準(zhǔn)】

①引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界；

②認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值；

③數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.

【考查能力】讓考生體驗(yàn)從特殊到一般的探索數(shù)學(xué)問題的過程，重點(diǎn)考查考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題的能力，考查閱讀理解能力、空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力、從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力、運(yùn)算求解能力.

【考查素養(yǎng)】對數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)要求較高，需要通過實(shí)際情境構(gòu)建遞推關(guān)系，第一空作為過渡，第二空考查一般的情況，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也考查了數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

第一步，審題，要抓住關(guān)鍵詞——對稱軸，從而聯(lián)想到要分橫軸、縱軸兩種情形分類考慮；

第二步，從特殊到一般，進(jìn)行合情推理.通過直觀想象、數(shù)據(jù)分析等，合理利用圖式化，圖式化就是形式內(nèi)容的內(nèi)化過程，其結(jié)果是一種心理意義，即心理結(jié)構(gòu)，如圖：

得出對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5.

第三步，歸納、猜想，數(shù)學(xué)建模.

【備考建議】

(1)注重課標(biāo)，科學(xué)制定復(fù)習(xí)計(jì)劃

教師應(yīng)淡化自認(rèn)為的“經(jīng)驗(yàn)”，不唯經(jīng)驗(yàn)論，應(yīng)圍繞唯一的命題依據(jù)——《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版2020年修訂)》制定復(fù)習(xí)計(jì)劃，明確高考考試范圍、目標(biāo)、要求，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，在復(fù)習(xí)中不留盲點(diǎn).特別是一些不常考的內(nèi)容和形式，正是學(xué)生不重視的薄弱部分，更要加強(qiáng)復(fù)習(xí).

(2)注重教材，落實(shí)“四基”“四能”

近幾年的全國高考數(shù)學(xué)卷中，有很多基本題目是由教材問題稍加改造而成的，還有一些較難的題目是在挖掘教材問題吸收組題思想的基礎(chǔ)上加工、組合而成的.例如，本題就是由人教A版高中數(shù)學(xué)必修5(2007年1月第3版)第54頁第4題改編、拓展而成的.具體題目如下：

如果能將一張厚度為0.05 mm的報(bào)紙對折，再對折，再對折……對折50次后，報(bào)紙的厚度是多少？你相信這時(shí)報(bào)紙的厚度超過了地球和月球之間的距離了嗎？

此外，在復(fù)習(xí)教學(xué)中重視教材、回歸教材的另一個(gè)重要意義是：加強(qiáng)概念、公式、定理等重要知識(shí)及重要思想方法的聯(lián)系，以提升理解的深刻性、運(yùn)用的靈活性.“數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分的有機(jī)整體，它的生命在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系.”本題打通了知識(shí)間的聯(lián)系，因而顯得“活”，需要“想”.因此2022年的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不要鉆難題，要注重“四基”(基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))和“四能”(發(fā)現(xiàn)問題的能力、提出問題的能力、分析問題的能力、解決問題的能力)，立足于教材的基本概念、基本內(nèi)容、重要方法，把通法搞清楚，淡化技巧，注重應(yīng)用，學(xué)習(xí)開放，研究創(chuàng)新.要跳出過去那個(gè)記題型、記結(jié)論，記套路，反射式的、拼命刷題式的復(fù)習(xí)方案，因?yàn)槲覀兣囵B(yǎng)的是生動(dòng)的、有創(chuàng)新的、有能力的年輕人.

(3)注重知識(shí)整合和情境設(shè)置，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

一輪復(fù)習(xí)不是對已學(xué)知識(shí)的簡單重復(fù)和強(qiáng)化，而是一個(gè)再學(xué)習(xí)、提高綜合運(yùn)用能力的過程．我們要從一節(jié)課中跳出來，進(jìn)行主題式教學(xué)(深度學(xué)習(xí))設(shè)計(jì)和實(shí)施，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視情境創(chuàng)設(shè)和問題提出，注重主題(單元)教學(xué)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí).深度學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)的基本特征就是學(xué)生的主動(dòng)學(xué)、高階思維的參與、學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展.因此，教師在單元整體設(shè)計(jì)時(shí)要注重知識(shí)整合和情境設(shè)置，要多聯(lián)系生活實(shí)踐，注重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)在當(dāng)今時(shí)代的重要地位，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，樹立正確的學(xué)習(xí)目的；還要加強(qiáng)對數(shù)據(jù)整理、加工分析、解讀能力的考査，充分培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力和信息處理能力.教師在活動(dòng)設(shè)計(jì)時(shí)可以利用“問題鏈”，采用問題引領(lǐng)，讓學(xué)生獨(dú)立思考并且將其思維外顯、思維可視，讓學(xué)生充分地表達(dá)思考過程，教師再在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上梳理、提煉、形成解決問題的一般方法和思路.

【作者單位、姓名】江蘇省無錫市第六高級中學(xué) 王雅

江蘇省錫市青山高級中學(xué) 張啟兆

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(新高考Ⅰ卷)第22題分析

【例2】(2021·新高考Ⅰ卷·22)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

【亮點(diǎn)】該試題的亮點(diǎn)主要體現(xiàn)在下列幾個(gè)方面：

(1)以基本函數(shù)y=lnx為背景命制導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用試題，是高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，且?？汲Ｐ?，該題就是以基本函數(shù)y=lnx為載體，第一問考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用；第二問給定條件，考查不等式證明.

(3)高考考查極值點(diǎn)偏移問題由來已久，該試題第二問本質(zhì)上考查的就是極值點(diǎn)偏移問題(隱性).

(4)試題設(shè)置簡潔、精煉，直面重點(diǎn)、熱點(diǎn)，熟背景、入手易、方法多、得高分難，充分反映高考壓軸題把關(guān)、定向的作用.

【相似性與差異性的對比分析】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東使用)·21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

2021年是數(shù)學(xué)全國新高考Ⅰ卷啟用的第2年，分析2020年和2021年新高考Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用試題可以發(fā)現(xiàn)，2021年第22題導(dǎo)數(shù)試題在延續(xù)2020年第21題的命題風(fēng)格的基礎(chǔ)上，又進(jìn)行了很大程度的創(chuàng)新，對比兩年導(dǎo)數(shù)試題的相似性與差異性，對今后使用數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷地區(qū)師生的復(fù)習(xí)備考具有重要的啟迪意義.

【映射課程標(biāo)準(zhǔn)】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)對導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的總體要求是：通過豐富的實(shí)際背景理解導(dǎo)數(shù)的概念，掌握導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，并解決一些實(shí)際問題.具體到單調(diào)性，進(jìn)一步作了這樣的闡述：了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系.可以說，函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最主要的性質(zhì)之一，而2021年新高考Ⅰ卷第22題則將其詮釋得淋漓盡致！第(1)問f(x)的單調(diào)性自不必多說，就第(2)問而言，要證明不等式，需要將已知條件的等式變形轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，而后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性證得不等式，無論是從哪個(gè)視角切入，也無論運(yùn)用什么樣的方法技巧，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，都是必經(jīng)的過程.因此，2021年新高考Ⅰ卷第22題最大程度映射、吻合了《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，這也提醒我們，新一屆高三師生在復(fù)習(xí)備考的過程中，務(wù)必認(rèn)真研讀《課程標(biāo)準(zhǔn)》，弄清楚哪些知識(shí)是了解、哪些知識(shí)是理解、哪些知識(shí)是掌握、哪些知識(shí)是應(yīng)用.唯有吃透《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求，教師在指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)中才能避免走彎路，提高復(fù)習(xí)的針對性.

【考查能力】高考數(shù)學(xué)注重對數(shù)學(xué)能力的考查，2021年新高考Ⅰ卷第22題充分落實(shí)對數(shù)學(xué)能力的考查，第(2)問求解中將已知等式變形整理化為同構(gòu)式，然后抽象出方程的根，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等，考查抽象概括能力；通過不等式的證明考查推理論證能力；第(1)，(2)問導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算考查運(yùn)算求解能力；第(2)問將已知條件“同構(gòu)化”，將極值點(diǎn)偏移“隱性化”，考查創(chuàng)新意識(shí).總之，本題在突出對能力考查上具有很強(qiáng)的典型性.

【考查素養(yǎng)】2021年新高考Ⅰ卷第22題以素養(yǎng)為立意命題，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查在該題得到切實(shí)落實(shí).第(2)問將已知等式“同構(gòu)化”，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)等，考查數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；不等式轉(zhuǎn)化、推理、證明考查邏輯推理素養(yǎng)；求導(dǎo)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).高考強(qiáng)化對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，因此，新一屆高三復(fù)習(xí)備考中，在對高考命題規(guī)律分析時(shí)，不能忽視對核心素養(yǎng)的考查.關(guān)注了核心素養(yǎng)考查的變化趨勢，也就是關(guān)注了高考的命題趨勢.