希爾伯特變換理論及其應(yīng)用

楊帆 李新霞

摘要：希爾伯特變換廣泛應(yīng)用于在數(shù)學(xué)與信號處理領(lǐng)域，通過希爾伯特變換，能夠從復(fù)雜的信號中提取到瞬時參數(shù)——瞬時振幅、瞬時頻率和瞬時相位，使得我們對短信號和復(fù)雜信號的瞬時參數(shù)的定義及計算成為可能，能夠?qū)崿F(xiàn)真正意義上的瞬時信號的提取。通過在MATLAB平臺上實現(xiàn)簡單的希爾伯特變換，觀察對比原信號與變換后的信號之間關(guān)系，結(jié)合數(shù)學(xué)推導(dǎo)，能對希爾伯特變換有清楚認(rèn)識。

在通信理論中最早引入了復(fù)數(shù)道分析方法，利用它可以比較方便地從地震記錄中分離出波的瞬時振幅、瞬時頻率、瞬時相位等參數(shù)。本文在熟悉希爾伯特變換基礎(chǔ)上，基于MATLAB平臺，繪制三瞬曲線圖，有利于掌握該變換及基本理論。

關(guān)鍵詞：希爾伯特變換 信號提取 復(fù)數(shù)道分析 三瞬曲線

Abstract： The Hilbert transform is widely used in the field of mathematics and signal processing. The Hilbert transform enables the extraction of instantaneous parameters - instantaneous amplitude， instantaneous frequency and instantaneous phase - from complex signals， making it possible to define and calculate the instantaneous parameters of short signals and complex signals， enabling the real sense of instantaneous signal extraction. By implementing a simple Hilbert transform on MATLAB platform， observing and comparing the relationship between the original signal and the transformed signal， combined with mathematical derivation， we can have a clear understanding of Hilbert transform.

The complex channel analysis method was first introduced in the communication theory， using which the instantaneous amplitude， instantaneous frequency， instantaneous phase and other parameters of the wave can be separated from the seismic record relatively easily. In this paper， based on the familiarity with Hilbert transform， we plot the three-instantaneous curve based on MATLAB platform， which is beneficial to master the transform and the basic theory.

Keywords： Hilbert transform， signal extraction， complex channel analysis， three-transient curve

1 希爾伯特變換的數(shù)學(xué)原理

把某一實函數(shù)， 的希爾伯特變換定義[1]為

2 在MATLAB平臺上希爾伯特變換的實現(xiàn)

為了掌握希氏變換，我們利用MATLAB平臺，借助環(huán)境自帶的變換函數(shù)，實現(xiàn)了基本的希爾伯特變換[7]。給定一個正弦信號y=sin（2πx+π/6），下面繪制出其經(jīng)過Hilbert變換后的信號曲線。

3 實驗測試結(jié)果與分析

實驗中，我們繪制了原始sin函數(shù)信號，通過簡單的Hilbert變換后，得到了變換后的圖像，很明顯可以看出，經(jīng)過Hilbert變換后圖像翻轉(zhuǎn)，其函數(shù)的相位變化了π/2，實驗圖像十分符合預(yù)期分析，具體情況如圖1所示。最后我們將兩個圖像橫坐標(biāo)對齊，比較在同一個相位下，y值的情況，為了直觀地看到sin圖像變成了cos函數(shù)圖像。

4 復(fù)數(shù)道分析及三瞬曲線圖

4.1復(fù)數(shù)道分析原理和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

由傅里葉分析得知，任何一種振動都可以把它視為無數(shù)個頻率不同的簡諧振動的疊加結(jié)果[9]。質(zhì)內(nèi)傳播時，由于實際介質(zhì)的影響，它的振幅、頻率和相位都將發(fā)生變化。過來說根據(jù)這些參數(shù)的變化也就可能了解實際介質(zhì)性質(zhì)的變化。因此，引入復(fù)道分析法在一個振動中提取參數(shù)[10]。

在坐標(biāo)系中設(shè)橫軸 f（t）為實軸，代表復(fù)數(shù)道實部，縱軸為虛軸，p（t）代表復(fù)數(shù)道虛部， u（t）為復(fù)數(shù)地震道。今矢量 u（t）與實軸夾角為θ，則復(fù)數(shù)道的實部和虛部p（t）可以分別表示為

4.2 三瞬曲線物理意義及圖像

原始地震剖面包含豐富的地質(zhì)信息。通過不同的數(shù)字變換手段將原始地震剖面中的多種可利用的信息賦予明確概念，并且單獨地提取出來[12，13]。地震信息剖面，揭示出原始地震剖面中不易被發(fā)現(xiàn)的地質(zhì)異?，F(xiàn)象、油氣存在情況，它們的具體的物理意義如下。

4.2.1 瞬時振幅

瞬時振幅也稱瞬時包絡(luò)或反射強(qiáng)度，它相當(dāng)于地震道的包絡(luò)函數(shù)。實際上，它是在某一給定時刻對地震道能量作粗略平滑的一個度量[14]。實驗測試了復(fù)雜函數(shù)x=（1+0.5* cos （2* pi *5*t））.* cos （2* pi *50*t+A* sin （2* pi *10*t）），繪制了三瞬曲線圖，具體情況如圖3所示。

4.2.2 瞬時頻率

瞬時頻率則是根據(jù)地震道中心頻率所作的逐點抽樣所得，它實際上相當(dāng)于瞬時相位的時間導(dǎo)數(shù)[15]。實驗上測試結(jié)果如圖4所示。

4.2.3 瞬時相位

瞬時相位是某一瞬間的相位，即所反映的是在某一時刻地震道與其虛地震道的夾角，它是同一時刻子波真實相位的度量。

基于以上分析，前面實驗都是簡單的三角函數(shù)信號模型，我們進(jìn)一步進(jìn)行測試，給定任意函數(shù)包絡(luò)，以指數(shù)函數(shù)為例，并利用Hilbert求解包絡(luò)以及瞬時頻率，并給出對應(yīng)的Hilbert譜。具體情況如圖8所示。

5 結(jié)論

本文從希爾伯特變換的數(shù)學(xué)過程推導(dǎo)和圖像分析解釋，并簡單介紹了當(dāng)前希爾伯特變換廣泛應(yīng)用的場景，從理論上說明了其受廣泛應(yīng)用的原因，鑒于其自身強(qiáng)大的對信號提取能力，希爾伯特變換將會在更多的領(lǐng)域結(jié)合前沿的理論技術(shù)，發(fā)揮出更大的潛力。為了掌握基本的希爾伯特變換原理，本文在MATLAB環(huán)境中進(jìn)行了希氏變換，分析了實驗結(jié)果。最后又著重介紹了基于復(fù)數(shù)道分析法的地震波信號過程，結(jié)合三瞬曲線的物理意義，繪制出了三瞬曲線圖，增加了理論和實驗的認(rèn)識。

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基金項目：國家自然科學(xué)基金項目（11775108）

第一作者：楊帆（1996-），男，漢族，江蘇人，碩士研究生，主要從事核科學(xué)技術(shù)研究。

* 通訊作者：李新霞（1978-），男，漢族，博士生導(dǎo)師，教授。研究方向：核聚變