劉瑞
摘要:平均指標(biāo)是我們?nèi)粘I钪凶畛S玫囊环N統(tǒng)計分析指標(biāo),它廣泛學(xué)習(xí)、工作和生活中。本文以初一年級某小組10名學(xué)生的打字速度為例,闡述了統(tǒng)計工作中算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)三種平均指標(biāo)的種類和生活中的計算及運(yùn)用。
關(guān)鍵詞:平均指標(biāo)?算術(shù)平均數(shù)?眾數(shù)?中位數(shù)?種類?運(yùn)用
一、平均指標(biāo)的含義和種類
平均指標(biāo)又叫平均數(shù),它是反映社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體在某一條件下的一般水平或者代表水平。常用平均數(shù)表示,是一種反映總體數(shù)量特征的總量指標(biāo)。也是我們?nèi)粘I钪凶畛S玫囊环N統(tǒng)計分析指標(biāo),它廣泛用于學(xué)習(xí)、工作和生活中,對我們認(rèn)識事物,了解總體具有重要的作用。
二、平均指標(biāo)的種類和計算
常用的平均指標(biāo)有算數(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)。其中算數(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)是統(tǒng)計中分析總體分布趨勢最常用的指標(biāo)。
以下數(shù)據(jù)是某學(xué)校初一10名同學(xué)每分鐘的打字測試成績。(單位:字/分鐘)
我們以初一年級某小組10名學(xué)生的打字成績?yōu)槔齺黻U述算數(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的計算及運(yùn)用。
該組學(xué)生的打字成績分布呈現(xiàn)出最小值為19字/分鐘,最大值67字/分鐘,成績相差48字/分鐘的特征。要進(jìn)一步了解該組學(xué)生的打字速度分布情況我們可以用算數(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)三種常用的平均指標(biāo)進(jìn)行計算分析。
(一)算數(shù)平均數(shù)的計算和運(yùn)用
算數(shù)平均數(shù)又叫均值,是統(tǒng)計中用得最普遍的一種統(tǒng)計指標(biāo)。算數(shù)平均數(shù)有簡單算數(shù)平均數(shù)和加權(quán)算數(shù)平均數(shù)兩種。
該例題中的資料為原始數(shù)據(jù),未經(jīng)分組,數(shù)值為總體各單位的標(biāo)志值,所以適合采用簡單算數(shù)平均數(shù)計算分析。
計算得到該組學(xué)生的平均打字速度為35.5字/分鐘。
通過EXCEL表格中的統(tǒng)計函數(shù)AVERAGE也可以得到該組學(xué)生的平均打字速度為35.5字/分鐘。
該組10名學(xué)生的打字速度參差不齊,最慢的學(xué)生19字/分鐘,最快的學(xué)生達(dá)到67字/分鐘,本組學(xué)生的打字速度相差48字/分鐘。在了解現(xiàn)象總體的情況時,我們需要一個切確的數(shù)值做代表了解該組學(xué)生總體的打字速度,而算數(shù)平均數(shù)就可以把該組10名學(xué)生的打字速度平均化、抽象化和一般化。即可以用平均打字速度35.5字/分鐘代表該組學(xué)生的打字成績,我們也可以說該組10名學(xué)生的打字速度為35.5字/分鐘,這樣就可以了解到總體一般情況。
算數(shù)平均數(shù)是反映總體集中趨勢,進(jìn)行總體分布分析很重要的一個指標(biāo)。它計算簡單,代表性很強(qiáng)。同時算數(shù)平均數(shù)的反應(yīng)非常靈敏,容易受到極值的影響,任何一個變量值的變化都會對平均數(shù)產(chǎn)生影響。
算數(shù)平均數(shù)的運(yùn)用在我們的學(xué)習(xí)、工作和生活中無處不在。在學(xué)習(xí)中,學(xué)生經(jīng)常需要計算自己考試成績的平均分,了解自己的成績水平;工作中我們的財務(wù)人員時常會計算一個單位的平均工資收入,計算到大家的平均工作時間等等;企業(yè)中常常會計算月平均銷售額,月平均銷量、月平均利潤等來了解一個企業(yè)的運(yùn)營情況;在生活中我們也時常需要了解到一個總體的平均身高、平均年齡、平均體重等。通過平均數(shù)的計算,我們既可以了解到總體分布的集中趨勢,也可以對不同空間、不同地區(qū)、不同單位的同類現(xiàn)象進(jìn)行對比研究,同時也可以對總體進(jìn)行數(shù)量上的推斷估計。
(二)眾數(shù)(mode)的計算和運(yùn)用
眾數(shù)是一個現(xiàn)象總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值。它是一個位置平均數(shù),其大小不受任何變量值的影響。特別是當(dāng)一個現(xiàn)象總體的極端值較明顯的時候,眾數(shù)在平均指標(biāo)中的作用尤為明顯。
在以上案例中,該組10名學(xué)生的打字成績出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值有兩個,分別是31和36,這兩個變量值都出現(xiàn)了2次。因此我們可以判斷為該組10名學(xué)生的打字成績的眾數(shù)為31和36,這里特別值得注意的是眾數(shù)是一個現(xiàn)象總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值,強(qiáng)調(diào)的是標(biāo)志值,不是出現(xiàn)的次數(shù),以免把次數(shù)2當(dāng)做眾數(shù)來看待。
從圖中我們可以看出該組10名學(xué)生的打字成績出現(xiàn)了兩個比較明顯的集中分布趨勢。
從本案例中,可以說明一組數(shù)列中眾數(shù)并不是唯一不變的,一個現(xiàn)象總體中可以只有一個眾數(shù),也可能有兩個眾數(shù)、三個眾數(shù)、甚至是多個眾數(shù),眾數(shù)的具體個數(shù)要看其總體標(biāo)志值的分布情況。
眾數(shù)在我們的生活中起著非常重要的作用。平時我們在選班委的時候通常以票數(shù)最高的同學(xué)作為班長的人選,在選票中票數(shù)最多者實(shí)際上就是我們統(tǒng)計中的眾數(shù);通過調(diào)查發(fā)現(xiàn),成年女性穿得最多的鞋子尺碼為230碼,230碼就是成年女性鞋碼的眾數(shù);在企業(yè)的銷售中,銷量最好的產(chǎn)品其實(shí)也是眾數(shù),通過眾數(shù)我們可以看出消費(fèi)者對產(chǎn)品的喜好程度,通過眾數(shù)的分析可以幫助企業(yè)做生產(chǎn)銷售方面的決策。
(三)中位數(shù)的計算和運(yùn)用
中位數(shù)(median)是某組數(shù)據(jù)通過排序以后,位置排在最中間的數(shù)值。中位數(shù)的計算不受極端值的影響,通過計算中位數(shù)值可以了解標(biāo)志值在總體中的位置。
中位數(shù)的計算首先要看判斷數(shù)列的性質(zhì),奇數(shù)數(shù)列中位置排在最中間的只有一個數(shù),該數(shù)則是中位數(shù);對于偶數(shù)數(shù)列來說,位置排在中間的有兩位,計算中位數(shù)的時則需取位置處于中間兩位數(shù)的算數(shù)平均數(shù)。當(dāng)一組數(shù)列的數(shù)字較少的情況下我們很容易找出中位數(shù)的位置,但是當(dāng)數(shù)字較多的情況下我們很難一眼分辨出中位數(shù),這個時候我們可以采用公式來確定中位數(shù)的位置,再根據(jù)位置找到對應(yīng)的中位數(shù)。
以上案例中的數(shù)列為偶數(shù)數(shù)列,計算中位數(shù)的時候需要根據(jù)公式確定中位數(shù)的位置。,計算結(jié)果為5.5,則表示的是中位數(shù)處于第5位和第6位之間,對應(yīng)找到第5位和第6位分別是33和35,計算得到其中位數(shù)為34。中位數(shù)34意味著該組10名學(xué)生的中間水平為打字速度34字/分鐘。通過計算中位數(shù),其他同學(xué)也可以對照中位數(shù)來比較自己在總體中的位置,大致估計到自己的排名情況。
除了中位數(shù)之外,我們還可能會用到上四分位數(shù)和下四分位數(shù)了解在總體位置分布情況,在這里不做重點(diǎn)講述。生活中我們經(jīng)常會說到我的工資收入處于“中等水平”,這里所說的中等水平就是指位置處于中間階段,也就是中位數(shù)。
三、三種平均數(shù)的相互關(guān)系
平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是分析研究總體分布的重要指標(biāo),平均數(shù)的計算考慮了所有變量值對其的影響,是分析中最重要的指標(biāo)。在分析運(yùn)用的時候還需要根據(jù)總體數(shù)據(jù)的具體分布情況來選擇最恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計指標(biāo)。當(dāng)總體分布出現(xiàn)極端值比較明顯的時候,容易對平均數(shù)產(chǎn)生較大的影響,這時可以考慮眾數(shù)和中位數(shù)來確定總體的集中趨勢。總體中眾數(shù)的集中程度非常明顯的時候,眾數(shù)又是非常不錯的選擇。
參考文獻(xiàn)
[1]以核心問題引領(lǐng),構(gòu)建活動性課堂—“平均數(shù)”教學(xué)設(shè)計與思考[J].李月紅.數(shù)學(xué)大世界(上旬).2021(02)
[2]淺析如何讓孩子行走在“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”的路上—以“平均數(shù)”教學(xué)為例[J].陸敏雅.考試周刊.2021(14)
[3]探究中構(gòu)建?思辨中理解—“平均數(shù)”教學(xué)設(shè)計與思考[J].周鳳梅.江西教育.2021(05)
[4]巧用“橫線”,深化“平均數(shù)”的認(rèn)識—《平均數(shù)》一課的教學(xué)案例分析[J].白紅美.好家長.2021(26)
[5]幫你分辨平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)[J].范召霞.初中生輔導(dǎo).2012(Z2)
[6]生活化教學(xué)模式在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中的運(yùn)用優(yōu)勢—以“平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)”的教學(xué)為例新.李軍課程(中).2016,(09)