求數(shù)列和的三個(gè)“招數(shù)”

方偉

如果對(duì)近幾年高考試卷中的數(shù)列求和問題進(jìn)行分析，我們不難發(fā)現(xiàn)此類問題的難度一般不大，側(cè)重于考查考生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力.同學(xué)們只要熟練掌握常見的題目以及求和的思路，就能順利解答此類問題.筆者通過總結(jié)，歸納出了求數(shù)列和的三種常規(guī)思路.

一、并項(xiàng)求和

有時(shí)數(shù)列中的部分項(xiàng)具有相同的特征，我們可通過并項(xiàng)求和來解題，即把一些具有相同特征的項(xiàng)分在同一組內(nèi)，先將小組內(nèi)的項(xiàng)合并并求和，再綜合所得的結(jié)果即可求出數(shù)列的和.

在解答本題時(shí)，我們首先要對(duì)問題中所給的條件進(jìn)行分析，找到數(shù)列通項(xiàng)中蘊(yùn)含的規(guī)律：數(shù)列{bn}為周期函數(shù)，其最小周期為3.然后將數(shù)列中的每3項(xiàng)作為一組，并項(xiàng)進(jìn)行求和.

二、錯(cuò)位相減

錯(cuò)位相減主要用于解答通項(xiàng)形如 （其中 an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列）的數(shù)列求和問題.運(yùn)用錯(cuò)位相減法解答數(shù)列求和問題的主要思路是，在數(shù)列的前 n 項(xiàng)和式 的左右同乘以公比 q ，得到 后，再將兩式錯(cuò)開一位相減得到 ，只要對(duì)其稍作變形，即可得到數(shù)列的和.

該通項(xiàng)公式由等差數(shù)列和等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成，因此，可采用錯(cuò)位相減的思路來解題.在①式的左右同乘以3，得到②式，然后將兩式錯(cuò)開一位相減，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求得數(shù)列的和.

三、裂項(xiàng)相消

采用裂項(xiàng)相消的思路求和，需首先將數(shù)列的通項(xiàng)變形為兩項(xiàng)之差的形式，如? 等，這樣，和式中的一些項(xiàng)的絕對(duì)值就會(huì)相等，通過正負(fù)抵消便可轉(zhuǎn)化為0，達(dá)到了快速求和的目的.

并項(xiàng)求和、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消都是求數(shù)列和的常規(guī)思路.在求數(shù)列的和時(shí)，我們需首先仔細(xì)觀察數(shù)列的通項(xiàng)或者各項(xiàng)的特征，然后將某些具有相同特征的項(xiàng)合并，在和式的左右同乘以公比，將通項(xiàng)裂項(xiàng)，再進(jìn)行求和.

（作者單位：安徽省廬江第二中學(xué)）