王玉生

不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，在解答求函數(shù)的定義域、求最值、求參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題時(shí)，常需通過(guò)解不等式來(lái)獲得問(wèn)題的答案.因此，熟悉并掌握幾類常見不等式及其解法是很有必要的.下面主要談一談三類不等式及其解法，希望能為同學(xué)們解不等式提供幫助.

一、a?x>（<） b 型

解a·x>b的一元一次不等式，一般要先根據(jù)實(shí)際常數(shù) a 的取值，分為三種情況：大于0、小于0、等于0進(jìn)行討論.當(dāng) a >0時(shí)， ;當(dāng) a <0時(shí)， ;當(dāng) a =0且 b <0時(shí)，x ∈ R ;當(dāng) a =0且 b ≥0時(shí)，不等式的解集為?.若遇到a?x< b 型的不等式，當(dāng) a ≠0時(shí)，只需改變不等式的符號(hào)即可，當(dāng) a =0且 b >0時(shí)，x ∈ R ;當(dāng) a =0且 b ≤0時(shí)，不等式的解集為?.

例1.解不等式-8x -6≥4（2- x）+3.

分析：該不等式為一元一次不等式，較為簡(jiǎn)單，只需將不等式化簡(jiǎn)為a?x> b 的形式，然后分析 a 的符號(hào)，便可求出問(wèn)題的答案.

解：先去掉括號(hào)得-8x -6≥8-4x +3，再通過(guò)移項(xiàng)和合并同類項(xiàng)可得-4x ≥17，解得 .

二、ax2+ bx + c >（<）0型

當(dāng)遇到形如 的一元二次不等式時(shí)，一般要先令這個(gè)不等式左邊的式子為0，即 ，然后運(yùn)用求根公式求出方程的兩個(gè)根 ，再按照 a 的取值分 a >0和 a <0兩種情況進(jìn)行討論.若 a >0且△>0，則 ax 2+ bx + c >0的解集為 或 的解集為 ;若a >0且△=0，則 的解集為 ， 的解集為?;若 a >0且△<0，則? 的解集為R， 的解集為? .當(dāng) a <0時(shí)，只需將在不等式的左右同乘以-1，改變不等式的符號(hào)即可.

例2.若不等式 的解集是 ，且 ，求不等式 的解集.

分析：題目中的兩個(gè)不等式均是一元二次不等式，可先用韋達(dá)定理建立 a、b、c 與α、β之間的關(guān)系，求得 b、c 的表達(dá)式，然后將不等式 轉(zhuǎn)化成為只含有α、β的不等式，解這個(gè)不等式便可求得不等式的解集.

解：由韋達(dá)定理可得 ，

三、 型

對(duì)于形如 的分式不等式，我們首先要將不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)的不等式，即?? 若變形后的不等式為一元二次不等式，可按照 型不等式的解法進(jìn)行求解;若變形后的不等式為三次或三次以上的不等式，就需將不等式左邊的式子進(jìn)行因式分解，運(yùn)用“穿針引線法”來(lái)求不等式的解集.

例3.解不等式

分析：這是一個(gè)分式不等式，我們需先將不等式變形為一個(gè)一元二次不等式，然后求出一元二次方程的兩個(gè)根.又因?yàn)橄禂?shù) a =2>0，因此它的解集為 x < x1或 x > x2.解：由 x +1 x <3可得 x +1-3x x <0，則 x（2x -1）>0，令 x（2x -1）=0，則 x =0或 x =12，又因?yàn)橄禂?shù) a =2>0，因此它的解集為 或者 .

在解分式不等式時(shí)，去分母是解題的關(guān)鍵，不必要時(shí)不可用去分母的方法求解.

不等式最高次項(xiàng)的系數(shù)對(duì)不等式的解集影響較大，因此在解不等式時(shí)，一定要先對(duì)最高次項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行分類討論，或確定最高次項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)，然后將不等式變形為一次、二次方程，求得方程的根，再來(lái)確定不等式的解集.必要時(shí)可以畫出對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，借助圖象來(lái)分析不等式的解集.

（作者單位：甘肅省徽縣第一中學(xué)）