朱麗平

(西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710089)

1 問(wèn)題重申

對(duì)于不同的鋼種在熔煉過(guò)程中，需加入不同量、不同種類的合金，以使其所含合金元素達(dá)標(biāo)，最終使得成品鋼在某些物理性能上達(dá)到要求。通過(guò)利用數(shù)學(xué)理論對(duì)歷史脫氧合金化環(huán)節(jié)數(shù)據(jù)分析建立模型，預(yù)測(cè)合金元素收得率，合理配料，最終達(dá)到降低鋼水脫氧合金化成本。依據(jù)2019年MathorCup高校數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽D題數(shù)據(jù)建立優(yōu)化模型研究合金配料，得到了不同鋼種的合金配料方案，并隨機(jī)抽取了25組完整數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果顯示模型可在保證鋼材質(zhì)量的前提下，有效降低配料成本。

2 深度分析

通過(guò)查閱相關(guān)文獻(xiàn)并對(duì)問(wèn)題的深度分析，鋼水脫氧合金化成本問(wèn)題的優(yōu)化可以采用目標(biāo)優(yōu)化模型對(duì)其研究。尋找一種方法既能保證鋼水質(zhì)量又能降低合金鋼的生產(chǎn)成本，且可以滿足不同鋼種的要求，這就要求模型具有一定的智能性、自主性等特點(diǎn)，而單純的多目標(biāo)優(yōu)化模型是無(wú)法滿足的。因此對(duì)所給數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)研究，選擇粒子群算法模型進(jìn)行優(yōu)化比較合理，并能達(dá)到在線預(yù)測(cè)并優(yōu)化投入合金的種類及數(shù)量的能力，實(shí)現(xiàn)鋼水脫氧合金化成本的控制。

3 建立模型并求解

3.1 目標(biāo)優(yōu)化模型的構(gòu)建

為實(shí)現(xiàn)降低本增加效益，在進(jìn)行鐵合金配料比計(jì)算時(shí)考慮了兩個(gè)不同的指標(biāo)[3]。

(1)判斷所冶煉的鋼種是否符合鋼種實(shí)際要求，可以在加入鐵合金之后測(cè)出各元素在鋼水中的含量，并將該含量與鋼種規(guī)程要求的含量進(jìn)行比較，若是比較之后的誤差小，則表示此次鐵合金的配料比合理，其誤差的計(jì)算公式如下所示：

(1)

(2)以鐵合金成本為另一個(gè)目標(biāo)，其計(jì)算表達(dá)式為

(2)

式中：xj∈Rn和oj∈R分別為輸入和輸出；wi和ixj分別為輸入權(quán)值和輸出權(quán)值；bi為偏置值；N為樣本個(gè)數(shù)為L(zhǎng)為隱藏神經(jīng)元層數(shù)。算法開(kāi)始時(shí)wi和bi的值隨機(jī)給定，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的目標(biāo)是確定輸出權(quán)值β=[β1,β2,…,βL]，最小化下式：

(3)

在 RBF 網(wǎng)絡(luò)中輸出權(quán)值為β=HT其中

(4)

HT是H的偽逆，T=[t1,t2,…,tN]為目標(biāo)變量。

3.2 基于粒子群優(yōu)化的多目標(biāo)優(yōu)化模型

本文采用多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行求解同時(shí)采用目標(biāo)空間和決策空間的擁擠距離作為個(gè)體的密集程度[6]，該算法具有求解快速的特點(diǎn),如下所示：

(5)

式中：AS為外部檔案的大?。籶i和pj分別是檔案中個(gè)體i和j的位置；CD(pi)為粒子i的擁擠距離向量。當(dāng)外部檔案的解個(gè)數(shù)超出預(yù)設(shè)的最大檔案容量時(shí)，采用非支配排序的方式比較檔案中個(gè)體的擁擠距離向量，隨機(jī)選擇出非支配等級(jí)最低的個(gè)體(決策空間和目標(biāo)空間的擁擠距離均較小)從外部檔案中移除，使得算法在目標(biāo)空間和決策空間均保持良好的收斂性和多樣性。本文提出相應(yīng)的改進(jìn)算法(記為 IM-D2MOPSO[8]))當(dāng)粒子在選擇全局最優(yōu)時(shí)，如果在一定概率p內(nèi)，則選擇種群中的個(gè)體為全局最優(yōu)，否則選擇外部檔案的個(gè)體作為全局最優(yōu)。概率p的計(jì)算方法如下：

(6)

式中：pmax和pmin分別為最大和最小概率；k和N分別是當(dāng)前和最大迭代次數(shù)?？梢钥闯?，概率p隨著迭代次數(shù)k的增大而逐漸減小，保證了后期的開(kāi)發(fā)能力。

3.3 模型的求解

根據(jù)處理好以后的附件 1 和附件 2 數(shù)據(jù)，選取 7A06113 的爐次號(hào)，使用 Eviews 的Genr函數(shù)計(jì)算求解矩陣，求得系數(shù)的數(shù)值如表1所示。

表1 系數(shù)Bs矩陣的計(jì)算值

矩陣Ts求解結(jié)果如下：

TT=[169.75 111.21 1165.79931.07 -507.38 431.82]T

使用Matlab中的 Linprog()函數(shù)，求解以上不等式后，由Matlab 求得結(jié)果得：x1=0；x2=13.4 kg；x3=650.9 kg；x4=1 550 kg；x5=636.4 kg；x6=0。最小成本 Z=f_opt=19 611元，如表2 所示。

從表2可知，最小成本Z=19 611元。而該爐次的實(shí)際用量如表3所示。

表2 該爐次優(yōu)化后的合金配料

表3 該爐次實(shí)際的合金配料

即該爐次實(shí)際成本為22 436.2 元。

由于大部分鋼號(hào)的數(shù)據(jù)缺失，針對(duì)鋼號(hào)為 HRB400B 的鋼產(chǎn)品再次隨機(jī)挑選爐次，進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)算得平均減少成本 10.32%。因此經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的合金配料方案， 既能使 C、Mn、S、P、Si 等元素達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，還能達(dá)到降低成本防止浪費(fèi)的目的?？尚械暮辖鹋淞系姆桨甘潜３值C鐵石油焦增碳劑等合金配料的投入量不變，適當(dāng)降低錳硅合金 FeMn68Si18 的使用量，大約 10%。碳化硅的主要使用量有 132 kg 和 88 kg 兩種，與優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較并保證效果的前提下，建議碳化硅投入量為 88 kg 為宜。

通過(guò)利用上述模型，本文求解出了5類鋼種的合金配料方案，并計(jì)算出了其所需的成本，如表4所示。

表4 合金配料成本表 元

4 模型的檢驗(yàn)

為了對(duì)上述所建立的模型進(jìn)行檢驗(yàn)，本文隨機(jī)挑選了25組爐號(hào)，并給出了這25組爐號(hào)優(yōu)化后的合金配料加入量成本，和實(shí)際脫氧合金化時(shí)所加入的合金配料成本之間的比較(如圖1所示)，可以看出優(yōu)化后的成本整體上低于實(shí)際加入的鐵合金成本，說(shuō)明所提模型能在保證鋼材質(zhì)量的同時(shí)，有效降低鐵合金加入量成本，其所得的決策解可以作為鋼廠煉鋼生產(chǎn)中的參考，提高生產(chǎn)效益。

圖1 實(shí)際成本與優(yōu)化后成本比較

5 結(jié) 語(yǔ)

總之，該模型首先從數(shù)學(xué)角度提供合金配比的參考性建議，提高鋼鐵冶金企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)鋼鐵冶金企業(yè)的節(jié)能降耗，增加經(jīng)濟(jì)效益，減少企業(yè)的研發(fā)成本。其次，科學(xué)調(diào)節(jié)鋼水成分，減小企業(yè)的研發(fā)成本。同時(shí)使學(xué)生練習(xí)運(yùn)用數(shù)學(xué)理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。