崔冬玲

摘 要： 柯西積分定理與柯西積分公式是計算復(fù)積分的理論基礎(chǔ)，也是聯(lián)系復(fù)積分與留數(shù)相關(guān)知識的紐帶，在復(fù)變函數(shù)論中占有十分重要的地位。首先從應(yīng)用條件及結(jié)論上說明兩者間的聯(lián)系，再通過實際例子論述兩者之間的不同，以期在計算復(fù)積分時提供便捷。

關(guān)鍵詞：復(fù)積分;柯西積分定理;柯西積分公式

柯西積分定理和柯西積分公式與復(fù)積分的關(guān)系密切。而復(fù)積分無論從定義的角度看還是從計算的角度看，它均離不開實函數(shù)中的第二類曲線積分。因此，對坐標(biāo)的曲線積分非常成功地滲透到了復(fù)積分的計算中去，而此類積分的兩個標(biāo)志性的特點——格林公式、積分與路徑無關(guān)等相關(guān)內(nèi)容在復(fù)積分中也體現(xiàn)得淋漓盡致。特別是積分與路徑無關(guān)的問題，映射到復(fù)積分中即為柯西積分定理。柯西積分公式是為一類閉曲線上的復(fù)積分提供一種比較便捷的算法，它較利用積分與路徑無關(guān)以及復(fù)積分的基本算法有很大的優(yōu)越性。但柯西積分定理與柯西積分公式在名稱、應(yīng)用條件和結(jié)論等方面既有相似之處，又各有特色。下面針對以上問題展開討論，以免在應(yīng)用兩者時產(chǎn)生混淆，進而加深對柯西積分定理與柯西積分公式的理解。

一、柯西積分定理與柯西積分公式理論上的聯(lián)系

柯西積分定理與柯西積分公式在名稱上只差兩個字，它們均與復(fù)積分的計算有關(guān)，更確切地說，它們的結(jié)論都是以復(fù)積分的形式體現(xiàn)的。它們都是既適合單連通區(qū)域又適合復(fù)連通區(qū)域。從某種意義上講，柯西積分公式中包含了柯西積分定理的一些思想，具體體現(xiàn)在復(fù)連通區(qū)域的情形，即定理4中有定理2的影子。

從兩者的使用條件上看，柯西積分定理要求在積分曲線及其內(nèi)部解析，而柯西積分公式的條件略有降低，它只需在曲線所圍區(qū)域內(nèi)解析，在曲線及所圍區(qū)域上連續(xù)即可，因此，柯西積分公式的結(jié)論比柯西積分定理的結(jié)論在形式上要復(fù)雜。

從兩者的結(jié)論表達(dá)方式上看，柯西積分定理是被積函數(shù)在積分曲線所圍的區(qū)域內(nèi)解析，其積分值為零;而柯西積分公式中被積函數(shù)是一個分式，其在積分曲線所圍的區(qū)域內(nèi)有奇點，將作為分母，分子在積分曲線所圍的區(qū)域內(nèi)解析，整個的積分值等于。在具體的做題過程中，如何找到所謂的是關(guān)鍵所在。

總之，柯西積分定理與柯西積分公式在理論上既有相同之處，又有內(nèi)在的聯(lián)系，在具體應(yīng)用的過程中要仔細(xì)甄別，以達(dá)到事半功倍的效果。

二、柯西積分定理與柯西積分公式應(yīng)用上的不同

柯西積分定理是解決解析函數(shù)的復(fù)積分問題，而柯西積分公式是解決被積函數(shù)是分式的復(fù)積分問題。下面以實際的例子來說明二者在應(yīng)用時的相異性，以及在計算復(fù)積分時所體現(xiàn)出來的優(yōu)越性。

例1? 計算下列積分值

（1）（2）

解：（1）根據(jù)柯西積分定理：

（2）根據(jù)柯西積分定理：

注：這兩道題的被積函數(shù)的奇點均不在積分曲線內(nèi)，即被積函數(shù)在積分曲線所圍的區(qū)域內(nèi)是解析的，完全符合柯西積分定理的條件，直接得出結(jié)果實0。

例2? 計算

解：是被積函數(shù)的奇點，且都在曲線內(nèi)部。

注：該題主要體現(xiàn)的是柯西積分公式的應(yīng)用，它的特點在于：一方面是復(fù)連通區(qū)域上的柯西積分公式，另一方面是在整理被積函數(shù)的過程中，要將產(chǎn)生奇點的因式的系數(shù)化為1。具體體現(xiàn)在這個式子中，它不可以寫成，因為柯西積分公式里被積函數(shù)的分母是，的系數(shù)是1。同樣注意到兩條曲線與是互不相交且完全含于曲線的，而且類似這樣的曲線表達(dá)方式不唯一，只要滿足互不相交且完全含于整個的積分曲線內(nèi)即可，這個可以畫圖說明，也可以定量的寫出，只要滿足條件即可。

例3? 計算，其中是包含0與2的簡單閉曲線。

解：

注：該方法是柯西積分定理與柯西積分公式的一個結(jié)合。首先利用復(fù)連通區(qū)域上的柯西積分定理，這里注意兩條曲線與是互不相交且完全含于曲線的，而且類似這樣的曲線表達(dá)方式不唯一，只要滿足互不相交且完全含于整個的積分曲線內(nèi)即可，這個可以畫圖說明，也可以定量的寫出，只要滿足條件即可。然后利用復(fù)連通區(qū)域上的柯西積分公式，在用該公式的時候，先要弄清楚被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的奇點，讓產(chǎn)生奇點的因式作為分母，且的系數(shù)為1，其他的部分都作為分子，再利用公式，在分子代數(shù)值時要注意，誰是奇點就代誰的值，最后算出結(jié)果。

總之，柯西積分定理與柯西積分公式確實在理論和實際應(yīng)用中存在差異，但它們都是為計算曲線積分而服務(wù)的。在具體應(yīng)用的過程中也體現(xiàn)出二者相結(jié)合的現(xiàn)象。由于柯西積分定理的條件較強，而柯西積分公式的條件相對較弱，所以柯西積分公式的應(yīng)用更加廣泛。從實例中可以看出，兩者在計算復(fù)積分時體現(xiàn)了比基本計算方法更便捷。特別是遇到用定性的方式描述積分曲線，或者是積分曲線不容易用參數(shù)方程表示的時候，柯西積分定理與柯西積分公式便體現(xiàn)出其優(yōu)越性。

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【基金項目：1.淮南師范學(xué)院校級重點教學(xué)研究改革項目：“金課”建設(shè)目標(biāo)下大學(xué)數(shù)學(xué)線上線下混合式教學(xué)改革的研究（2020hsjyxm08）.2.安徽省質(zhì)量工程項目：線上課程（原MOOC）：微積分（2020mooc475）;3.淮南師范學(xué)院科研創(chuàng)新團隊建設(shè)計劃資助“微分代數(shù)系統(tǒng)的分析控制及應(yīng)用創(chuàng)新團隊”（XJTD202008）。】