Liouville定理的幾種新證明方法

方權(quán)清,阮其華

(莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，福建 莆田 351100)

0 引言

有界整函數(shù)一定是常值函數(shù),這就是復(fù)變函數(shù)論中經(jīng)典的Liouville定理。盡管Liouville定理非常簡(jiǎn)潔,但它卻是復(fù)變函數(shù)論中一個(gè)非常有意義的結(jié)果。這個(gè)結(jié)果不僅在復(fù)變函數(shù)論中有廣泛的應(yīng)用,在偏微分方程中也有廣泛應(yīng)用。例如,Navier-Stokes方程的解[1]、Riemannian流形上的古典解[2]等問題的研究。

對(duì)于實(shí)軸上定義的有界無窮可微函數(shù),不能期望它恒為常值函數(shù)。但是對(duì)于復(fù)變函數(shù)而言,有界無窮可微函數(shù)一定是常值函數(shù)。這也說明了復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的某些性質(zhì)存在巨大的差異,復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)并不是實(shí)變函數(shù)性質(zhì)的機(jī)械平移。

通常,復(fù)變函數(shù)論中關(guān)于Liouville定理的證明是利用Cauchy不等式,得到有界的整函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是0,從而得到這樣的整函數(shù)是常值函數(shù)。復(fù)變函數(shù)f(z)＝u(x,y)＋i v(x,y)在區(qū)域D上解析當(dāng)且僅當(dāng)在區(qū)域D上u,v是C2實(shí)變函數(shù),并且滿足Cauchy-Riemann方程。Liouville定理指出了有界整函數(shù)f(z)必為常值函數(shù)。Liouville定理的證明在很多文獻(xiàn)上可以見到,例如文[3－5]。

對(duì)于解析函數(shù),由于實(shí)部和虛部是共軛調(diào)和函數(shù)。調(diào)和函數(shù)在偏微分方程中已有一些非常經(jīng)典的結(jié)果,因此本文中也利用偏微分方程已有的一些結(jié)果和方法給出Liouville定理的新證明。在偏微分方程中,證明一個(gè)調(diào)和函數(shù)的最大值和最小值只能在區(qū)域的邊界取到。比較常見的一種證法是用拓?fù)涞姆椒?證明如果這個(gè)函數(shù)在內(nèi)部取到最大值(或最小值),那么函數(shù)的最大值點(diǎn)(或者最小值點(diǎn))構(gòu)成的集合既是開集又是閉集。受這種方法的啟發(fā),本文也嘗試用拓?fù)涞姆椒ㄗC明Liouville定理。

本文分別從拓?fù)?、多元微積分、偏微分和復(fù)變函數(shù)論的角度給出Liouville定理的幾種不同證明方法,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)各個(gè)分支之間的聯(lián)系。

1 拓?fù)湟暯窍翷iouville定理的證明

在用拓?fù)涞姆椒ㄗC明Liouville定理之前,首先討論對(duì)復(fù)平面C賦予度量拓?fù)鋾r(shí),一個(gè)非空集合既是開集又是閉集,那么它應(yīng)該是全集。

值得一提的是,龔昇用上面所講的拓?fù)涞姆椒ㄗC明Liouville定理,在證明的過程中提到:一個(gè)連通集的非空子集,如果既開又閉,那么這個(gè)子集一定是集合本身[9]。但筆者認(rèn)為這個(gè)說法有不嚴(yán)謹(jǐn)之處。例如對(duì)于R上的離散拓?fù)?即R中的任何一個(gè)子集都是拓?fù)渲械脑?而言,顯然R是連通的,但是對(duì)R的任何一個(gè)非空真子集,在離散拓?fù)湎率羌乳_又閉的。因此,這個(gè)結(jié)果實(shí)際上不僅與集合的連通性有關(guān),還與集合賦予的拓?fù)溆嘘P(guān)。在下面的引理中,首先證明由復(fù)平面C的度量d(z1,z2)＝ z1－z2誘導(dǎo)的拓?fù)?這個(gè)結(jié)果是對(duì)的。在此基礎(chǔ)上,受文[9]的啟發(fā),用這個(gè)結(jié)果從拓?fù)涞慕嵌茸C明Liouville定理。

2 多元微積分視角下Liouville定理的證明

定理2 設(shè)n元函數(shù)f(x)在x0的開鄰域U內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),x0是其駐點(diǎn),那么:

3 偏微分視角下Liouville定理的證明

用偏微分的方法給出Liouville定理的第三種證明方法。注意到對(duì)復(fù)變函數(shù)中的解析函數(shù)而言,實(shí)部和虛部都是調(diào)和的。調(diào)和函數(shù)在偏微分方程中已經(jīng)有非常成熟的結(jié)果了。因此,借助偏微分方程已有的結(jié)果,也可以證明Liouville定理。在此,首先介紹偏微分方程中關(guān)于調(diào)和函數(shù)的一些結(jié)論,這些結(jié)果也可以參考偏微分方程的書籍,例如文[11]。理可證,v是常值函數(shù)。從而f(z)是常值函數(shù)。

4 復(fù)變函數(shù)視角下Liouville定理的證明

其中,B是以z0為球心的“球”, V 為球的“體積”。

故f(z)＝f(z0)。由z∈C的任意性知,f(z)是常值函數(shù)。